Monoid

Un dublet $(M, \cdot) \!$ format dintr-o mulţime nevidă M şi o operaţie algebrică pe M se numeşte semigrup dacă operaţia algebrică respectivă este asociativă. Dacă operaţia algebrică are şi element neutru, semigrupul $(M, \cdot) \!$ se numeşte monoid. Dacă operaţia algebrică este comutativă, monoidul se zice comutativ.

Observaţie. De multe ori, în cazul unui semigrup se specifică doar mulţimea subiacentă M (fară a se mai specifica operaţia algebrică de pe M; dacă este pericol de confuzie atunci şi aceasta trebuie neapărat menţionată).

Exemple.

1. Considerăm o mulţime nevidă T: $T \neq \varnothing. \!$ şi $M= \mathcal P(T) \!$ mulţimea părţilor acesteia. Atunci $(M, \cap), (M, \cup) \!$, $(M, \triangle) \!$ sunt monoizi comutativi.

2.Dacă $A \neq \varnothing, \!$ atunci $\mathit ({Hom}(A),o) \; \; 1_A \!$ este monoid necomutativ.

Pe mulţimea $\mathbb N \!$ a numerelor naturale vom defini două operaţii algebrice:

• adunarea, notată "$+ \!$"
• scăderea, notată "$\cdot$"

în raport cu care $\mathbb N \!$ devine monoid.

Vezi şi

• Lege de compoziţie
• Semigrup
• Grup

Resurse

• Lecţii de algebră p. 94 (copie la Wikia)
• Wolfram MathWorld