FANDOM


Un dublet $ (M, \cdot) \! $ format dintr-o mulţime nevidă M şi o operaţie algebrică pe M se numeşte semigrup dacă operaţia algebrică respectivă este asociativă. Dacă operaţia algebrică are şi element neutru, semigrupul $ (M, \cdot) \! $ se numeşte monoid. Dacă operaţia algebrică este comutativă, monoidul se zice comutativ.


Observaţie. De multe ori, în cazul unui semigrup se specifică doar mulţimea subiacentă M (fară a se mai specifica operaţia algebrică de pe M; dacă este pericol de confuzie atunci şi aceasta trebuie neapărat menţionată).


Exemple.

1. Considerăm o mulţime nevidă T: $ T \neq \varnothing. \! $ şi $ M= \mathcal P(T) \! $ mulţimea părţilor acesteia. Atunci $ (M, \cap), (M, \cup) \! $, $ (M, \triangle) \! $ sunt monoizi comutativi.[1]

2.Dacă $ A \neq \varnothing, \! $ atunci $ \mathit ({Hom}(A),o) \; \; 1_A \! $ este monoid necomutativ.

Pe mulţimea $ \mathbb N \! $ a numerelor naturale vom defini două operaţii algebrice:

  • adunarea, notată "$ + \! $"
  • scăderea, notată "$ \cdot $"

în raport cu care $ \mathbb N \! $ devine monoid.


Note Edit

  1. Operaţia $ \triangle\! $ reprezintă diferenţa simetrică a două mulţimi: $ A \triangle B \overset {def}{=}( A \setminus B) \cup (B \setminus A). \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit