FANDOM


Momentul unei forte in raport cu un punct

Momentul unei forţe în raport cu un punct Edit

Fixat fiind punctul O, definim momentul forţei $ \vec F \! $ în raport cu polul $ O \! $ prin vectorul $ \vec M_0, \! $ dat de relaţia:

$ \vec M_0 = \overrightarrow {OP} \times \vec F ,\! $

unde P este punctul de aplicaţie al forţei $ \vec F. \! $

Dacă vom schimba polul momentului din $ O \! $ în $ O', \! $ rezultă:

$ \vec M_0 = \overrightarrow {O'P} \times \vec F = \left ( \overrightarrow {O'O} + \overrightarrow {OP} \right ) \times \vec F= \overrightarrow {O'O} \times \vec F + M_O \! $

Prin urmare, momentul unei forţe este un vector legat, el depinzând de polul O. În schimb, scalarul $ \vec F \cdot M_O \! $ este invariant la schimbarea polului. Într-adevăr, avem relaţia:

$ \vec F \cdot \vec M_O = \vec F \left ( \overrightarrow {O'O} \times \vec F \right ) + \vec F \cdot \vec M_O. \! $

Cuplul $ (\vec F, \vec M_O) \! $ formează torsorul forţei $ \vec F \! $ în raport cu polul O. $ \vec F \cdot \vec M_O \! $ reprezintă scalarul torsorului.

Fie $ \delta \! $ o axă de versor $ \vec u, \; O, O' \in \delta. \! $ Din formula de schimbarea a polului, rezultă:

$ \vec u \cdot \vec M_O \! $

Rezultă că scalarul $ \vec u \cdot \vec M_O \! $ este independent de alegerea polului pe axa $ \delta.\! $ Prin urmare, scalarul $ \vec u \cdot \vec M_O \! $ defineşte momentul forţei faţă de axa $ \delta. \! $

Momentul unui sistem de forţe Edit

Considerăm sistemul material M, supus forţelor $ \vec F_i, \! $ aplicate în în punctele $ P_i, \; i= \overline{1, n}. \! $ Definim rezultanta sistemului de forţe $ \{ \vec F_i \}_{i = \overline {1, n}} \! $ prin vectorul:

$ \vec R= \sum_{i=1}^n \vec F_i,\! $

respectiv, momentul rezultant al sistemului de forţe $ \{ \vec F_i \}_{i = \overline {1, n}} \! $ în raport cu polul O, prin vectorul:

$ \vec M_O = \sum_{i=1}^n \overrightarrow {OP_i} \times \vec F_i. \! $

Cuplul $ (\vec R, \vec M_O) \! $ defineşte torsorul sistemului de forţe $ \{ \vec F_i \}_{i = \overline {1, n}} \! $ în raport cu polul O. Schimbând polul $ O \! $ în $ O', \! $ rezultă:

$ \vec M_{O'} = \sum_{i=1}^n (\overrightarrow {O'O} + \overrightarrow {OP_i}) \times \vec F_i = \overrightarrow {O'O} \times \vec R + \vec M_O. \! $

De aici, obţinem:

$ \vec R \cdot \vec M_{O'} = \vec R \cdot (\overrightarrow {O'O} \times \vec R) + \vec R \cdot \vec M_O = \vec R \cdot \vec M_O. \! $

Deci, scalarul torsorului $ \vec R \cdot \vec M_O $ este invariant la schimbarea polului.

Momentul unei forţe în raport cu o axă Edit

Momentul unei forte in raport cu o dreapta

Momentul forţei $ \vec F \! $ faţă de o axă $ \Delta \! $ se defineşte ca proiecţia momentului forţei $ \vec F \! $ faţă de un punct care aparţine axei $ \Delta, \! $ pe această axă:

$ M_{\Delta} = pr_{\Delta} \vec M_0 (\vec F) =\vec {\delta} \cdot \vec M_0 (\vec F) \! $
$ M_{\Delta} (\vec F) = \vec {\delta} \cdot (\overrightarrow {OA} \times \vec F) = \begin{vmatrix} a & b& c \\ x & y & z \\ X & Y & Z \end{vmatrix} \! $

unde $ \delta = vers \Delta = a \vec i + b \vec j + c \vec k. \! $

Se observă că dacă $ \Delta \! $ coincide cu axa Ox:

$ \delta = vers Ox = \vec i. \! $

momentul forţei $ \vec F \! $ în raport cu axa Ox este:

$ M_{Ox} = yZ -zY = L. \! $

Analog:

$ M_{Oy} = zX - xZ = M; \; \; M_{Oz} = xY - yX = N. \! $

Resurse Edit