Fandom

Math Wiki

Momentul unei forțe

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments3 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Momentul unei forte in raport cu un punct.png

Momentul unei forţe în raport cu un punct Edit

Fixat fiind punctul O, definim momentul forţei \vec F \! în raport cu polul O \! prin vectorul \vec M_0, \! dat de relaţia:

\vec M_0 = \overrightarrow {OP} \times \vec F ,\!

unde P este punctul de aplicaţie al forţei \vec F. \!

Dacă vom schimba polul momentului din O \! în O', \! rezultă:

\vec M_0 = \overrightarrow {O'P} \times \vec F = \left ( \overrightarrow {O'O} + \overrightarrow {OP} \right ) \times \vec F= \overrightarrow {O'O} \times \vec F + M_O \!

Prin urmare, momentul unei forţe este un vector legat, el depinzând de polul O. În schimb, scalarul \vec F \cdot M_O \! este invariant la schimbarea polului. Într-adevăr, avem relaţia:

\vec F \cdot \vec M_O = \vec F \left ( \overrightarrow {O'O} \times \vec F \right ) + \vec F \cdot \vec M_O. \!

Cuplul (\vec F, \vec M_O) \! formează torsorul forţei \vec F \! în raport cu polul O. \vec F \cdot \vec M_O \! reprezintă scalarul torsorului.

Fie \delta \! o axă de versor \vec u, \;  O, O' \in \delta. \! Din formula de schimbarea a polului, rezultă:

\vec u \cdot \vec M_O \!

Rezultă că scalarul \vec u \cdot \vec M_O \! este independent de alegerea polului pe axa \delta.\! Prin urmare, scalarul \vec u \cdot \vec M_O \! defineşte momentul forţei faţă de axa \delta. \!

Momentul unui sistem de forţe Edit

Considerăm sistemul material M, supus forţelor \vec F_i, \! aplicate în în punctele P_i, \; i= \overline{1, n}. \! Definim rezultanta sistemului de forţe \{ \vec F_i \}_{i = \overline {1, n}} \! prin vectorul:

\vec R= \sum_{i=1}^n  \vec F_i,\!

respectiv, momentul rezultant al sistemului de forţe \{ \vec F_i \}_{i = \overline {1, n}} \! în raport cu polul O, prin vectorul:

\vec M_O = \sum_{i=1}^n \overrightarrow {OP_i} \times \vec F_i. \!

Cuplul (\vec R, \vec M_O) \! defineşte torsorul sistemului de forţe \{ \vec F_i \}_{i = \overline {1, n}} \! în raport cu polul O. Schimbând polul O \! în O', \! rezultă:

\vec M_{O'} = \sum_{i=1}^n (\overrightarrow {O'O} + \overrightarrow {OP_i}) \times \vec F_i = \overrightarrow {O'O} \times \vec R + \vec M_O. \!

De aici, obţinem:

\vec R \cdot \vec M_{O'} = \vec R \cdot (\overrightarrow {O'O} \times \vec R) + \vec R \cdot \vec M_O = \vec R \cdot \vec M_O. \!

Deci, scalarul torsorului \vec R \cdot \vec M_O este invariant la schimbarea polului.

Momentul unei forţe în raport cu o axă Edit

Momentul unei forte in raport cu o dreapta.png

Momentul forţei \vec F \! faţă de o axă \Delta \! se defineşte ca proiecţia momentului forţei \vec F \! faţă de un punct care aparţine axei \Delta, \! pe această axă:

M_{\Delta} = pr_{\Delta} \vec M_0 (\vec F) =\vec {\delta} \cdot \vec M_0 (\vec F) \!
M_{\Delta} (\vec F) = \vec {\delta} \cdot (\overrightarrow {OA} \times \vec F) = \begin{vmatrix} a & b& c \\ x & y & z \\ X & Y & Z \end{vmatrix} \!

unde \delta = vers \Delta = a \vec i + b \vec j + c \vec k. \!

Se observă că dacă \Delta \! coincide cu axa Ox:

\delta = vers Ox = \vec i. \!

momentul forţei \vec F \! în raport cu axa Ox este:

M_{Ox} = yZ -zY = L. \!

Analog:

M_{Oy} = zX - xZ = M; \; \; M_{Oz} = xY - yX = N. \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki