Fandom

Math Wiki

Modelul matematic al spațiului fizic

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Reallusion 3.gif

Introducere Edit

Spațiul nu reprezintă o însușire a vreunor lucruri în sine, nici pe acestea în raporturile lor reciproce, adică nici o determinare a lor care ar fi inerentă obiectelor însele și care ar subzista, chiar dacă am face abstracție de toate condițiile subiective ale existenței (Immanuel Kant, Expunerea transcedentală a conceptului de spațiu, cf. [37], p. 77). Pentru a defini spațiul fizic, vom da un model al punctelor și direcțiilor sale. Acesta va ține seama de faptul că, în mecanica clasică, spațiul este infinit (fără început sau sfârșit), omogen (simetria la translații) și izotrop (simetria la rotații). În particular, doi observatori trebuie să evalueze lungimea unui obiect în mod identic, mărimea obținută coincizând la amândoi, independent de mișcarea instrumentelor de măsură ori a obiectului.

Punctele spațiului fizic Edit

Considerăm mulțimea \mathbb R^3= \mathbb R \times \mathbb R \times\mathbb R \! numită și spațiu aritmetic. Elementele sale, notate A, B, C, \cdots \! se numesc punctele spațiului fizic.

Folosim scrierea A=(x_A, y_A, z_A). \!

Pe \mathbb R^3 \! introducem o structură de spațiu metric. Mai precis, dacă P= (x_P, y_P, z_P) \! și Q=(x_Q, y_Q, z_Q), \! atunci distanța euclidiană dintre punctele spațiului fizic este:

d(P, Q) = \sqrt{\sum(x_Q-x_P)^2} \!   (1)

Spațiul metric complet E_3= (\mathbb R^3, d) \! dă modelul punctelor spațiului fizic.

Direcțiile spațiului fizic Edit

Pe \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \! introducem următoarea relație de echivalență:

(A, B) \rho (C, D) \!

dacă, prin definiție, avem:

\begin{cases} x_B-x_A = x_D- x_C \\  y_B-y_A = y_D- y_C \\ z_B-z_A = z_D -z_C. \end{cases} \!   (2)

Elementul  (A, B) \! se notează cu \overrightarrow {AB} \! și poartă denumirea de segment orientat. A este originea segmentului orientat, iar B extremitatea sa. Două segmente orientate aparținând aceleiași clase de echivalență se numesc echipolente.

Elementele mulțimii \mathbf {VL} = \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 / \rho \! sunt numite vectori liberi sau direcții ale spațiului fizic. Ele se notează cu \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {CD}, \vec x, \vec y, \cdots \!

Pe mulțimea \mathbf {VL} \! introducem o structură de spațiu liniar real. Aceasta este dată de operațiile:

1) "+": \mathbf {VL} \times \mathbf {VL} \rightarrow \mathbf {VL} \! definită prin formula:

\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}= \overrightarrow {AC} \! (regula lui Chasles);   (3)

2) "\cdot \!": \mathbb R \times \mathbf{VL} \rightarrow \mathbf{VL} \! definită prin formula:


\lambda \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}, \!

unde

\begin{cases} x_C-x_A=\lambda \cdot (x_B-x_A) \\ y_C-y_A=\lambda \cdot (y_B-y_A) \\ z_C-z_A=\lambda \cdot (z_B-z_A).   \end{cases} \!   (4)

Operațiile +, \cdot \! sunt bine definite, adică nu depind de alegerea reprezentanților claselor de echivalență. Vectorii \vec x, \vec y, \! unde \vec y = \lambda \cdot \vec x, \! poartă denumirea de vectori coliniari.

Spațiul T \mathbb R^3 = (\mathbf{VL}, +, \cdot) \! se numește spațiul vectorilor liberi sau spațiul tangent la \mathbb R^3 . \!

Să considerăm punctele O=(0, 0, 0), \;  I=(1, 0, 0), \; J=(0, 1, 0), \; K=(0, 0, 1) \! din E_3. \! Vectorii \vec i \overset{not}{=}\overrightarrow{OI}, \; \vec j \overset{not}{=}\overrightarrow{OJ}, \; \vec k \overset{not}{=}\overrightarrow{OK} \! formează o bază a lui T \mathbb R^3. \! Aceasta se numește baza canonică a spațiului vectorilor liberi. Ea dă orientarea spațiului.

În particular, putem scrie:

\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A) \cdot \vec i +  (y_B-y_A) \cdot \vec j + (z_B-z_A) \cdot \vec k. \!   (5)

Spațiul T \mathbb R^3 \! este organizat ca spațiu liniar euclidian. Astfel formula produsului său scalar este:

\Phi (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \sum(x_B-x_A) \cdot (x_C-x_A) \overset{not}{=} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}. \!   (6)

Cu ajutorul produsului scalar definim unghiul \varphi \in [0, \pi] \! format de vectorii \vec x, \vec y. \! Formula sa este:

\cos \varphi = \frac{\vec x \cdot \vec y}{\sqrt {{\vec y}^2} \cdot \sqrt {{\vec y}^2}} \overset{not}{=} \cos (\vec x, \vec y). \!   (7)

Mărimea |\vec x| = \sqrt {{\vec y}^2} \! se numește lungimea (modulul, norma) vectorului \vec x. \!


Spațiul T \mathbb R^3 \! este dotat cu o topologie de tip produs. Aceasta este introdusă cu ajutorul filtrelor de vecinătăți. Mai precis, fie \vec a_0 \in T \mathbb R^3. \! Atunci există și sunt unici scalarii reali x_0, y_0, z_0 \! astfel încât:

\vec a_0 = x_0 \vec i + y_0 \vec j + z_0 \vec k. \!   (8)

Mulțimea:

B(\vec a_0, \varepsilon)= \{ x \vec i+ y \vec j+ z \vec k \; | \; |x-x_0|, |y-y_0|, |z-z_0| < \varepsilon \} \!   (9)

este o vecinătate a vectorului \vec a_0. \! Sistemul fundamental de vecinătăți al lui \vec a_0 \! este:

\nu = \{ B(\vec a_0, \varepsilon) \; | \; \varepsilon >0 \}. \!   (10)


Observăm că lungimea vectorilor liberi definește o normă pe T \mathbb R^3. \! Aceasta generează, la rândul ei, o topologie a lui T \mathbb R^3. \! care, dat fiind faptul că dim_{\mathbb R^3}T \mathbb R^3 < + \infty, \! va coincide cu topologia de mai sus.

Se arată ușor că operațiile cu vectori din T \mathbb R^3. \! sunt continue în raport cu topologiile produs ale lui T \mathbb R^3 \times T \mathbb R^3, \! respectiv \mathbb R \times T \mathbb R^3. \! Astfel, T \mathbb R^3. \! este un spațiu liniar topologic.

Spațiul liniar euclidian și topologic T \mathbb R^3. \! modelează direcțiile spațiului fizic.

În final, observăm că cele două modele, cel al punctelor și cel al direcțiilor, sunt interrelaționate, în sensul că:

d(P, Q) = \sqrt {{\overrightarrow{PQ}}^2}. \!   (11)

Spațiul vectorilor legați Edit

Fie A un punct din E_3. \! Atunci introducem mulțimea VL_A= \{ \overrightarrow {AB} \; | \; B \in E_3 \}. \!

Elementele mulțimii VL_A \! se mai numesc și vectori legați în punctul A. Aplicația bijectivă f_A: VL_A \rightarrow VL \! dată de formula f_A (\overrightarrow{AB})= \overline{AB}, \! unde B \in E_3, \! permite inducerea structurii liniare euclidiene și topologice a lui T \mathbb R^3 \! pe VL_A. \! În particular:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=  \overline{AB} \cdot \overline{AC}, \!   (12)

unde B, C \in E_3. \!


Trebuie precizat că diferite mărimi fizice vectoriale (forță, viteza, etc.) cu care lucrează mecanica teoretică sunt exprimate analitic prin tipuri diferite de vectori: liberi, legați, alunecători (sau glisanți). De exemplu, forța aplicată unui punct material se reprezintă printr-un vector legat. În schimb, vectorul viteză unghiulară al unui corp rigid se află în mișcare de rotație în jurul unei axe fixe este dat printr-un vector alunecător. O altă mărime vectorială, momentul unui cuplu de forțe ce acționează asupra unui solid rigid, poate fi considerată drept vector liber.

Geometria spațiului fizic Edit

Vom considera geometria spațiului fizic ca fiind de tip euclidian.

O mulțime de puncte din E_3, \! notată D, constituie o dreaptă dacă există A \in E_3 \! și vectorul \overline {\tau} \! cu proprietatea că:

D = \{ M \in E_3 \; : \; \overline{AM} = \lambda \cdot \overline {\tau}, \; \lambda \in \mathbb R \}, \!   (13)

unde \vec {\tau} \in T_A \mathbb R^3. \!

O mulțime de puncte din E_3, \! notată P, constituie un plan dacă există A \in E_3 \! și vectorii necoliniari \overline{\tau}, \overline{\nu} \! cu proprietatea că:

P = \{ M \in E_3 \; : \; \overline{AM} = \alpha \cdot \overline {\tau} + \beta \cdot \overline{\nu}, \; \alpha, \beta \in \mathbb R \} \!   (14)

În mod echivalent:

P = \{ M \in E_3 \; : \; \overrightarrow{AM} = \alpha \cdot \vec {\tau} + \beta \cdot \vec{\nu}, \; \alpha, \beta \in \mathbb R \} \!   (15)

unde \vec {\tau}, \vec{\nu} \in T_A \mathbb R^3. \!


Spațiile liniare \mathit{Sp} (\{\overline{\tau}\}), \; \mathit{Sp} (\{\overline{\tau}, \overline{\nu} \}) \! (adică, acoperirile liniare ale sistemelor de vectori \{\overline{\tau}\}), \! respectiv \{\overline{\tau}, \overline{\nu}\}), \! dotate cu operațiile induse pe T \mathbb R^3, \!) poartă denumirea de spații directoare ale dreptei D, respectiv planului P.

Două drepte (plane) sunt paralele dacă nu au puncte comune (intersecția lor este vidă) și spațiile lor directoare coincid. O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu are puncte comune cu acesta și spațiul director al dreptei este un subspațiu director al planului.

Fiind date două drepte coplanare D_1, D_2 \! ai căror vectori directori sunt \overline{\tau}, \overline{\nu} \! vom spune că, prin definiție, unghiul format de acestea este \angle (\overline{\tau}, \overline{\nu}). \!


O familie de puncte (M_p)_{p \in \overline {0, n}} \! este afin dependentă dacă există numerele reale (\alpha_p)_{p \in \overline{0, n}} \! cu proprietatea \sum_{p=0}^n \alpha_p=1 \! și punctul M \in E_3 \! (numit baricentru) astfel încât:

\overline{OM} = \sum_{p=0}^n \alpha_p \cdot \overline{OM}_p \; \; \forall O \in M_3. \!   (16)

O familie de puncte din E_3 \! care nu este afin dependentă va fi considerată afin independentă. Folosim notația:

M \overset{not}{=} \sum_{p=0}^n \alpha_p \cdot M_p. \!   (17)

O familie de puncte (M_p)_{p \in \overline{0, n}} \! este afin dependentă dacă și numai dacă vectorii \overline{M_O M_1}, \cdots , \overline{M_0M_n} \! sunt liniar dependenți. Astfel, punctele A, B, C \in E_3 \! sunt coliniare dacă și numai dacă familia lor este afin dependentă.

Aplicația F: E_3 \rightarrow E_3 \! se numește afină dacă pentru orice A, B \in E_3 \! și \alpha, \beta \in \mathbb R, \! unde \alpha+\beta=1, \! are loc relația:

F(\alpha A + \beta B) = \alpha \cdot F(A) + \beta \cdot F(B). \!   (18)

Introducem funcția T: T \mathbb R^3 \rightarrow T \mathbb R^3 \! prin formula T (\overline{AB}) = \overline{F(A) F(B)}, \! unde A, B \in E_3. \! Aceasta va fi, evident, liniară.


Aplicația F: E_3 \rightarrow E_3 \! se numește izometrică dacă d(A, B) = d(F(A), F(B)), \! unde A, B \in E_3. \! Atunci F este bijectivă, iar F^{-1} \! este izometrică. O aplicație izometrică este, în mod obligatoriu, și afină. În acest caz, funcția T asociată acesteia devine o aplicație ortogonală sau un operator izometric.

Dându-se o aplicație izometrică F, va exista o bază ortonormată a spațiului T \mathbb R^3 \! în raport cu care matricea de reprezentare a operatorului T să se scrie sub forma:

\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \pm 1   \end{pmatrix}, \!   (19)

unde \alpha \in [0, 2 \pi]. \![1]   (20)

Atunci când aplicația F admite un punct fix (F(A) = A, \! unde A \in E_3 \!), iar matricea operatorului T este:

\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 &  1   \end{pmatrix}, \!   (21)

spunem că aplicația F desemnează o rotație a spațiului fizic de unghi \alpha \! în jurul punctului A.

Se poate demonstra că orice rotație a spațiului fizic în jurul punctului A este o rotație în jurul unei axe ce trece prin A. Așa cum se poate observa în structura matricei de reprezentare a operatorului T, vectorul director al acestei axe este acel vector din baza ortonormată căruia îi corespunde ultima coloană a matricei.

Rotațiile spațiului fizic joacă un rol determinant în mecanica teoretică.

Repere carteziene Edit

(Vezi și articolul: Coordonate carteziene)

Spațiul fizic este studiat cu ajutorul reperelor carteziene, adică al dubletelor \mathcal R = (\mathcal O, \vec {\mathcal B}), \! unde \mathcal O \in E_3 \! iar \vec {\mathcal B} \! este o bază a lui T_O \mathbb R^3, \!

În cele ce urmează, vom da o reprezentare grafică a acestor repere. Așadar, fie \mathcal B = \{ \overline e_1, \overline e_2, \overline e_3 \} \! o bază a lui T \mathbb R^3. \! Considerăm că baza \mathcal B \! este ortonormată, adică \overline e_i \cdot \overline e_j = \delta_{ij}, \! unde \delta \! este simbolul lui Kronecker. Baza \mathcal B = \{ \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \} \! a spațiului T_O \mathbb R^3 \! se introduce conform relațiilor \vec e_i \in \overline e_i, \! unde 1 \le i \le 3. \! Când \mathcal B \! este baza canonică a lui T \mathbb R^3, \! \mathcal R \! se numește reper canonic al spațiului fizic.

Construim în E_3 \! trei drepte perpendiculare D^1, D^2, D^3, \! concurente în punctul O (v. fig.). Dreapta D^i = \{ \mathcal B \in E_3 \; | \; \overrightarrow {OB} = \lambda \cdot \vec e_i, \; \lambda \in \mathbb R \} \! se notează O_x^i \! și se numește axă de coordonate a reperului \mathcal R, \! unde 1 \le i, j \le 3.\! Planul P^{ij} = \{ \mathcal B \in E_3 \; | \; \overrightarrow{OB} = \alpha \cdot \vec e_i + \beta \cdot \vec e_j, \; \alpha, \beta \in \mathbb R \} \! se notează Ox^ix^j \! și se numește plan de coordonate al reperului \mathcal R, \! unde i \neq j \! și 1 \le i, \; j \le 3. \! La rândul său, reperul \mathcal R \! se notează cu Ox^1x^2x^3 și se numește sistem (triedru) de axe de coordonate.

Triedru de coordonate.png

Fie M \in E_3. \! Coordonatele lui M în \mathcal R \! sunt scalarii reali x^u \! cu proprietatea că:

\overrightarrow{OM} = \sum_{u=1}^3 x^u \cdot \vec e_u. \!   (22)

De asemenea, \overline{OM} = \sum_{u=1}^3 x^u \cdot \overline e_u. \!

Au loc relațiile următoare:

\overline e  = \alpha_{u1} \cdot \vec i + \alpha_{u2} \cdot \vec j + \alpha_{u3} \cdot \vec k, \; \; u= 1, 2, 3, \!   (23)

unde numerele \alpha_{u1} = \cos (\overline e_u , \vec i), \; \alpha_{u2} = \cos (\overline e_u, \vec j), \; \alpha_{u3} = \cos (\overline e_u, \vec k) \! se mai numesc și cosinușii directori ai vectorului \overline e_u \! în raport cu baza canonică a lui T \mathbb R^3. \! Evident, det (\alpha_{ij}) \neq 0. \!

Atunci:

\overline{OM} = \sum_{u=1}^3 x^u \cdot \overline e_u =  \!
= (x^1 \alpha_{11} + x^2 \alpha_{21} + x^3 \alpha_{31}) \vec i + (x^1 \alpha_{12} + x^2 \alpha_{22} + x^3 \alpha_{32}) \vec j + (x^1 \alpha_{13} + x^2 \alpha_{23} + x^3 \alpha_{33}) \vec k. \!   (24)

În acest mod, punctul M este raportat la reperul \mathcal R. \! Într-adevăr, conform relației (5) avem:

\begin{cases} x^1 \alpha_{11} + x^2 \alpha_{21} + x^3 \alpha_{31}= x_M-X_O \\   x^1 \alpha_{12} + x^2 \alpha_{22} + x^3 \alpha_{32} = y_M-y_O \\ x^1 \alpha_{13} + x^2 \alpha_{23} + x^3 \alpha_{33} = z_M-z_O. \end{cases} \!   (25)

Astfel, numerele x^u \! sunt unic determinate pe baza elementelor x_M-x_O, \; y_M-y_O, \; z_M-z_O, \; \alpha_{uv}. \! Relațiile (25) sunt relațiile de raportare ale punctului M la reperul \mathcal R. \!

În acest reper, segmentul orientat \overrightarrow{OM} \! va fi reprezentat de segmentul de dreaptă OM dotat cu o săgeată care îl indică pe M. Deci, din punct de vedere grafic, prin segment orientat se înțelege un segment de dreaptă pa care s-a stabilit un sens de parcurs, ales aici de la O către M. Punctul O este originea (punctul de aplicație) al lui \overrightarrow{OM}, \! iar M este extremitatea sa. Dreapta OM se numește dreapta-suport a segmentului orientat \overrightarrow {OM}. \!

Fie acum A \in E_3, \! cu A \neq 0. \! Atunci, vectorul \overrightarrow{AM} \! va fi reprezentat sub forma unui segment orientat în reperul \mathcal R. \! Mai mult, ducând paralele prin A la axele de coordonate Ox^i, \! obținem reprezentarea grafică a reperului \mathcal R = (A, \vec{\mathcal B}). \!

Utilizarea segmentelor orientate în studiul spațiului fizic poartă denumirea de metoda grafică. Un exemplu clar în acestă privință este dat de regula paralelogramului: dacă are loc relația \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}, \! atunci punctele O, A, C \! și respectiv  B \! sunt vârfurile unui paralelogram.

Numărul x^u = \overline{OM} \cdot \overline e_u \! reprezintă proiecția vectorului \overline{OM} \! pe direcția \overline e_u. \! În general, prin proiecția vectorului \overline{a} \! pe direcția \overline{b} \! vom înțelege numărul |\overline a| \cdot \cos (\overline a, \overline b) = \frac {\bar a \cdot \bar b}{|\bar b|} \; \overset{not}{=} \; a_b. \!

Să considerăm vectorul \bar v = \frac{\bar b}{|\bar b|}, \! unde \bar b \neq 0. \! Acesta se numește versorul sau vectorul-unitate al direcției b. Atunci, vectorul \bar p = a_b \cdot \bar v = \frac{\bar a \cdot \bar b}{|\bar b|^2} \cdot \bar b \! se numește vectorul-proiecție pe direcția \bar b \! al vectorului \bar a. \!

Vectorul \bar p \! admite următoarea caracterizare specifică analizei în spații cu produs scalar (prehilbertiene). Fie V subspațiul liniar generat de vectorul \bar b \! în T \mathbb R^3. \! Atunci, pe baza teoremei Schmidt, există și este unic vectorul \bar p \in V \! (numit și proiecția ortogonală a vectorului \bar a \! pe V) astfel încât:

|\bar a- \bar p| = \; \underset{\bar v \in V}{inf} \; |\bar a - \bar v| = dist \; (\bar a, V). \!   (26)

În cazul de față, acestă proprietate poate fi justificată în mod direct. Astfel, cum V= \mathbb R \bar b, \! ca să găsim numărul real \lambda_0 \! pentru care \bar p = \lambda_0 \bar b, \! calculăm expresia de mai jos:

E(\lambda) = |\bar a - \lambda \bar b|^2 = (\bar a - \lambda \bar b)^2 = {\bar a}^2 + \lambda ^2 {\bar b}^2 - 2 \lambda (\bar a \cdot \bar b), \; \; \lambda \in \mathbb R. \!   (27)

Discriminatul trinomului de gradul al II-lea în \lambda \! este:

\Delta_{\lambda} = 4 \left [(\bar a \cdot \bar b)^2 - {\bar a}^2 \cdot {\bar b}^2 \right ] = -4 (\bar a \times \bar b)^2  \le 0 ,\!   (28)

conform identității lui Lagrange.

Minimul expresiei E(\lambda), \! care are loc pentru:

\lambda_0 = \frac{\bar a \cdot \bar b}{|\bar b|^2}, \!   (29)

este:

E(\lambda_0) = - \frac{\Delta_{\lambda_0}}{4 {\bar b}^2} \cdot |\bar a \times \bar b|^2. \!   (30)

Așadar:

\bar p = \frac{\bar a \cdot \bar b}{|\bar b|^2} \cdot \bar b. \!   (31)

Aceste noțiuni se transpun cu ușurință în cazul vectorilor legați. De exemplu, dacă \vec a \in T_A \mathbb R^3, \; \; \vec a \in \bar a, \! unde A \in E_3, \! atunci vectorul-proiecție pe direcția \bar b \! a lui \bar a \! este \vec p \in T_A \mathbb R^3, \; \; \vec p \in \bar p. \! Din punct de vedere grafic, semnificația mărimii \vec p \! este imediată (vezi fig.).


Reprezentare a vectorului-proiectie.png

Note Edit

  1. Matricea de reprezentare \mathcal M \! a operatorului T verifică relația formală:
    (T(\overline e_1) \; T(\overline e_2) \; T(\overline e_3) ) = (\overline e_1 \; \overline e_2 \; \overline e_3 ) \cdot \mathcal M, \! unde \{ \overline e_1 \; \overline e_2 \; \overline e_3  \} \! este o bază a spațiului T \mathbb R^3. \!

Vezi și Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki