FANDOM


Pierre Fermat

Pierre Fermat

Numele ei provine de la Pierre Fermat. Nu trebuie confundată cu marea teoremă a lui Fermat.

Enunţ Edit

Teoremă. Dacă p este un număr prim şi a un număr întreg oarecare (poate fi chiar divizibil cu p!) atunci:

$ a^p \equiv a \; (mod \; p). \! $


Dacă p nu divide a, avem altă variantă a teoremei:

$ a^{p-1} \equiv 1 \; (mod \; p). \! $

Demonstraţie Edit

Fie p un număr prim şi a un număr întreg prim cu p (adică un număr care nu este multiplu de p). Considerăm primii (p-1) multipli ai lui a şi resturile împărţirii lor prin p:

$ a, 2a, 3a, \cdots , (p-1)a, \; \; \; r_1, r_2, r_3, \cdots , r_{p-1}. \! $

Conform teoremei 1 de la Teoria numerelor, aceste resturi sunt diferite între ele şi diferite de zero, deci sunt numerele $ 1, 2, \cdots , p-1 \! $ aşezate eventual într-o altă ordine.

Avem deci:

$ a = \mathcal M p +r_1, \; 2a = \mathcal Mp+ r_2, \cdots , (p-1)a = \mathcal Mp +r_{p-1}. \! $

Înmulţind aceste egalităţi membru cu membru. Avem:

$ ( \mathcal M p +r_1)(\mathcal Mp+ r_2) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \! $

căci prin înmulţire obţinem patru membri, din care trei sunt multipli de p.

Mai departe:

$ ( \mathcal M p +r_1 \cdot r_2)(\mathcal Mp+ r_3) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \cdot r_3. \! $

Astfel, prin inducţie se poate demonstra că:

$ ( \mathcal M p +r_1 )(\mathcal Mp+ r_2) \cdots (\mathcal Mp+ r_{p-1}) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot \cdots \cdot r_{p-1}. \! $

Deci:

$ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) a^{p-1} = \mathcal Mp + r_1 r_2 \cdots r_{p-1}. \! $

Numerele $ r_1, r_2, \cdots r_{p-1} \! $ fiind numerele $ 1, 2, \cdots p-1 \! $ aşezate eventual în altă ordine, produsul lor $ r_1 \cdot r_2 \cdot \cdots \cdot r_{p-1} \! $ este egal $ 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot (p-1). \! $

Obţinem:

$ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) a^{p-1} = \mathcal Mp + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) \! $

adică:

$ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) (a^{p-1} -1) = \mathcal Mp. \! $

Dar produsul $ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) \! $ nu se divide prin p căci acesta este prim. Astfel teorema lui Fermat este demonstrată.

Observaţie Edit

Există valori ale lui a pentru care o putere a lui a cu exponent mai mic decât p-1 este congruentă cu 1. Deoarece şirul resturilor date de puterile lui a se repetă după ce întâlnim restul 1 (teorema 1 de la Teoria numerelor) şi deoarece $ a^{p-1} \! $ dă restul 1, se vede că primul rest nu poate apărea decât la un exponent care este divizor al lui p-1. Se deduce propoziţia:


Dacă $ a^{\delta} \equiv 1 \; (mod \; p) \! $ (notaţiile sunt aceleaşi) atunci $ \delta | p-1. \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit