Fandom

Math Wiki

Mica teoremă a lui Fermat

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Pierre Fermat.jpg

Pierre Fermat

Numele ei provine de la Pierre Fermat. Nu trebuie confundată cu marea teoremă a lui Fermat.

Enunţ Edit

Teoremă. Dacă p este un număr prim şi a un număr întreg oarecare (poate fi chiar divizibil cu p!) atunci:

a^p \equiv a \; (mod \; p). \!


Dacă p nu divide a, avem altă variantă a teoremei:

a^{p-1} \equiv 1 \; (mod \; p). \!

Demonstraţie Edit

Fie p un număr prim şi a un număr întreg prim cu p (adică un număr care nu este multiplu de p). Considerăm primii (p-1) multipli ai lui a şi resturile împărţirii lor prin p:

a, 2a, 3a, \cdots , (p-1)a, \; \; \; r_1, r_2, r_3, \cdots , r_{p-1}.  \!

Conform teoremei 1 de la Teoria numerelor, aceste resturi sunt diferite între ele şi diferite de zero, deci sunt numerele 1, 2, \cdots , p-1 \! aşezate eventual într-o altă ordine.

Avem deci:

a = \mathcal M p +r_1, \; 2a = \mathcal Mp+ r_2, \cdots , (p-1)a = \mathcal Mp +r_{p-1}. \!

Înmulţind aceste egalităţi membru cu membru. Avem:

( \mathcal M p +r_1)(\mathcal Mp+ r_2) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \!

căci prin înmulţire obţinem patru membri, din care trei sunt multipli de p.

Mai departe:

( \mathcal M p +r_1 \cdot r_2)(\mathcal Mp+ r_3) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \cdot r_3. \!

Astfel, prin inducţie se poate demonstra că:

( \mathcal M p +r_1 )(\mathcal Mp+ r_2) \cdots (\mathcal Mp+ r_{p-1}) = \mathcal Mp + r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot \cdots \cdot r_{p-1}. \!

Deci:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) a^{p-1} = \mathcal Mp + r_1 r_2 \cdots r_{p-1}. \!

Numerele r_1, r_2, \cdots r_{p-1} \! fiind numerele 1, 2, \cdots p-1 \! aşezate eventual în altă ordine, produsul lor r_1 \cdot r_2 \cdot \cdots \cdot r_{p-1} \! este egal 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot (p-1). \!

Obţinem:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) a^{p-1} =  \mathcal Mp + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) \!

adică:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) (a^{p-1} -1) = \mathcal Mp. \!

Dar produsul 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (p-1) \! nu se divide prin p căci acesta este prim. Astfel teorema lui Fermat este demonstrată.

Observaţie Edit

Există valori ale lui a pentru care o putere a lui a cu exponent mai mic decât p-1 este congruentă cu 1. Deoarece şirul resturilor date de puterile lui a se repetă după ce întâlnim restul 1 (teorema 1 de la Teoria numerelor) şi deoarece a^{p-1} \! dă restul 1, se vede că primul rest nu poate apărea decât la un exponent care este divizor al lui p-1. Se deduce propoziţia:


Dacă a^{\delta} \equiv 1 \; (mod \; p) \! (notaţiile sunt aceleaşi) atunci \delta | p-1. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki