Fandom

Math Wiki

Mișcarea unei particule încărcate în câmp electric alternativ

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Mişcarea în câmp electric alternativ (sinusoidal) Edit

Mecanismul străpungerii unui anumit gaz supus unei diferenţe de potenţial alternativ este funcţie de frecvenţa câmpului aplicat şi de presiunea gazului. Principalele particule răspunzătoare de acest fenomen sunt electronii care, absorbind energie de la câmpul electric alternativ, determină, prin cedarea acesteia în urma ciocnirilor, ionizarea atomilor sau moleculelor neutre şi crearea de noi purtători de sarcină.

Procesul absorbţiei energiei de la un câmp electric alternativ de către o particulă încărcată cu sarcină electrică se deosebeşte de cel de absorbţie de energie de la un câmp continuu tocmai datorită schimbării periodice a polarităţii acestuia.

Într-un câmp electric alternativ descris de ecuaţia: \overrightarrow E = \overrightarrow E_0 \sin \omega t , soluţiile ecuaţiei de mişcare:

 m \cdot \frac {d^2 \overrightarrow r (t)}{d t^2} = e \overrightarrow E_0 \sin \omega t   (3.3)

sunt:

 \overrightarrow v (t) =  \overrightarrow v_0 - \frac {e \overrightarrow E_0}{m \omega} \cos \omega t   (3.4)

şi

\overrightarrow r (t) = \overrightarrow r_0 + \overrightarrow v_0 t - \frac {e \overrightarrow E_0}{m \omega^2} \sin \omega t   (3.5)
Miscarea unei particule încarcate în câmp electric alternativ.png

Ecuaţia (3.5) ne spune că mişcarea particulei este rezultatul compunerii a două mişcări: o mişcare rectilinie uniformă cu viteza pe care o avea la intrarea în câmp ( \overrightarrow v_0 ) şi o mişcare oscilatorie armonică cu amplitudinea \frac {e E_0}{m \omega^2} şi cu frecvenţa câmpului electric care-i determină această mişcare (Fig.3.1).

Comparând legea de variaţie a vitezei (3.4) cu legea de variaţie a câmpului electric, se poate observa că între cele două mărimi este un defazaj de 900

Din punct de vedere fizic aceasta înseamnă că particula este mai întâi accelerată de către câmp, pentru ca, la schimbarea polarităţii acestuia, să-i cedeze înapoi energia câştigată. Această afirmaţie calitativă poate fi verificată calculând viteza medie a particulei:

<\overrightarrow v> = \frac {1}{T} \int_ 0^T {\overrightarrow v (t) dt} = \frac {\overrightarrow v_0}{T} \int_0^T {dt} - \frac {e \overrightarrow E_0}{m \omega} \frac {1}{T} \int_0^T {\cos \omega t dt}  = \overrightarrow v_0   (3.6)

Concluzia pe care o putem trage este extrem de simplă dar şi sugestivă: într-un câmp electric alternativ, dacă nu există ciocniri, particula încărcată nu câştigă (în medie) energie de la acesta. Energia câştigată de particulă în semialternanţa câmpului în care ea este accelerată este cedată acestuia în semialternanţa imediat următoare. Este evident că practic nu este posibilă o mişcare fără ciocniri. Dar, se poate aproxima că într-un gaz în care drumul liber mediu al particulei este mult mai mare decât amplitudinea oscilaţiei ei, lucrurile se petrec conform concluziei desprinse din ecuaţia (3.6). Este cazul plasmelor de joasă presiune întreţinute în câmpuri de radiofrecvenţă.

Câmp electric alternativ în prezenţa ciocnirilor Edit

Dacă se consideră un electron într-un câmp electric alternativ de forma  \vec E = \vec E_0 e^{j \omega t}

mişcarea având loc în prezenţa ciocnirilor lui cu particulele neutre, caracterizată frecvenţa este vc, atunci ecuaţia lui de mişcare este:


 m_e \frac {d \vec v_e}{dt} = - e \vec E_0 e^{j \omega t} - v_c m_e \vec v_e   (3.59)

Rezolvarea acestei ecuaţii conduce la o soluţie de forma:

 \vec v_e (t) = \frac {- e \vec E}{ m_e (v_c + j \omega)}   (3.60)

în care s-a neglijat un termen de forma  \vec C e^{- v_c t} , care se anulează rapid în timp în cazul unei frecvenţe mari de ciocnire. Ţinând seama de relaţiile care definesc mobilitatea electronilor şi densitatea de curent electronic:

 \vec v_e = - \mu_e \vec E   (3.61)


 \vec j_e = - n_e e \vec v_e = n_e e \mu_e \vec E   (3.62)


 \vec j_e = \sigma \vec E   (3.63)

în care n_e \! este densitatea de electroni, şi de relaţia (3.60), rezultă pentru conductibilitatea electronică,  \sigma_e , o expresie de forma:

 \sigma_e = \sigma_{er} + j \sigma_{ei}  \!   (3.64)

în care:

 \sigma_{er} = \frac{n_e e^2}{m_e} \frac{v_c}{v_c^2 + \omega^2}   (3.65)

şi

 \sigma_{el} =- \frac{n_e e^2}{m_e} \frac{\omega}{v_c^2 + \omega^2}   (3.66)

Această formă a conductibilităţii gazului îi conferă acestuia o impedanţă electrică complexă, compusă dintr o parte rezistivă şi o parte reactivă. Se poate observa că dacă se face raportul celor două conductibilităţi rezultă o funcţie numai de frecvenţa câmpului şi frecvenţa de ciocnire. Măsurându-se cele două componente ale conductibilităţii la o frecvenţă cunoscută a câmpului, se va putea calcula frecvenţa de ciocnire Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): ν_c \!

, deci şi secţiunea eficace de ciocnire corespunzătoare acestui proces. Totodată, din punct de vedere electric, gazului ionizat i se poate atribui o admitanţă complexă de forma:

 \overline Y_g = \frac {1}{\overline Z_g} = \xi \frac{n_e e^2}{m_e} \cdot \frac{v_c}{v_c^2 + \omega^2} - j \psi \frac{n_e e^2}{m_e} \cdot \frac{\omega}{v_c^2 + \omega^2}   (3.67)

în care ξ şi ψ sunt constante care depind în primul rând de geometria incintei de descărcare.

Partea rezistivă a impedanţei este responsabilă de energia absorbită de electroni de la câmpul electric alternativ, puterea absorbită de unitatea de volum de gaz (densitatea de putere) prin intermediul electronilor fiind:

 p_\approx = \frac 1 T \int_0^T j_er E_r dt = \frac 1 T \int_0^T \sigma_{er} E_r^2 dt = \frac {n_e e^2 E_0^2}{2 m_e} \cdot \frac {v_c}{v_c^2 + \omega^2} \!   (3.68)

Analizând relaţia (3.68), se pot face două observaţii interesante:

  • în absenţa ciocnirilor (v_c= 0) \!, energia absorbită de gaz de la câmpul

electric alternativ este nulă, de unde rezultă rolul ciocnirilor în acest proces.

  • energia absorbită de gaz de la câmpul electric alternativ este maximă atunci când \omega =v_c \!.

Pe de altă parte, comparând densitatea de putere absorbită de la câmpul alternativ cu cea absorbită de la un câmp continuu (\omega =0) \!

 p_= = j_e E_= = \frac {n_e e^2}{m_e v_c} E^2_=   (3.69)

se poate introduce noţiunea de câmp efectiv:

 E_{ef}^2 = \frac 1 2 \frac {v_c^2}{v_c^2 + \omega^2} E_0^2  (3.70)

La presiuni mai ridicate şi frecvenţe mari, mecanismul străpungerii este mai simplu decât în curent continuu deoarece nu este necesară prezenţa proceselor de emisie secundară. Condiţia de străpungere rezultă din ecuaţia de conservare:

 \frac {dn_{\epsilon}}{dt} = \left ( \frac {dn_{\epsilon}}{dt} \right )_{c \tilde a stiguri} -  \left ( \frac {dn_{\epsilon}}{dt} \right )_{pierderi} = 0   (3.71)

Câştigurile se datorează proceselor de ionizare iar pierderile, fenomenelor de difuzie şi recombinare. Pentru ca plasma să poată fi întreţinută în absenţa unui agent de ionizare extern, doar în prezenţa câmpului electric de radiofrecvenţă, este necesar ca energia dobândită de un electron între două ciocniri succesive ionizante să fie cel puţin egală cu energia de ionizare a atomilor saumoleculelor gazului "materie primă".

Dacă se introduc notaţiile:

D - coeficientul de difuzie
Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): ν_r \!

- frecvenţa de recombinare

v_i \! - frecvenţa ciocnirilor ionizante
\Lambda \! - lungimea caracteristică de difuzie

atunci, condiţia de străpungere (3.71) devine:

 \left [ (v_t  - v_r) - \frac {D}{\Lambda^2}  \right ] n
_e = 0   (3.72)

La presiuni mai mici procesele de ataşare electronică pot fi neglijate Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): (ν_r \ll v_i )

şi condiţia de străpungere devine:
 v_t - \frac {D}{\Lambda^2} = 0   (3.73)

Dacă se ţine seama de faptul că frecvenţa de ionizare, care poate fi exprimată din relaţia (3.68) (v_t =\frac {p_\approx}{n_e e V_t}) şi coeficientul de difuzie, definit în teoria cinetică a gazelor, sunt date de relaţiile:

 v_t = \frac {e E_0^2}{2 m_e V_i} \frac {v_c}{v_c + \omega^2}   (3.74)
 D = \frac 1 3 <v_e><\lambda_e>   (3.75)

în care  V_i \! este potenţialul de ionizare al particulelor neutre, iar  D = <v_e> \! şi <\lambda_e> \! sunt viteza medie şi drumul liber mediu al electronilor, atunci termenul din dreapta al relaţiei (3.73) devine:

 \frac {e E_0^2 v_c}{2 m_e V_i (v_c^2 + \omega^2)} = \frac {<v_e> <\lambda_e>}{3 \Lambda^2}   (3.76)

Dacă, în continuare, se ţine seama de faptul că frecvenţa de ciocnire este proporţională cu presiuneaNu s-a putut interpreta (eroare lexicală): (ν_c ∝ p) \! , şi că energia medie a electronilor, W_e = \frac {m_e v_e^2}{2} trebuie să fie de acelaşi ordin de mărime cu energia de ionizare (pentru ca ionizarea prin ciocnire să poată avea loc) atunci, pentru un gaz dat şi pentru \omega \gg v_c, rezultă:

Camp de strapungere.png
 E_0 p \Lambda = const \times \omega   (3.77)

Aceasta înseamnă că, pentru o frecvenţă dată, dependenţa dintre intensitatea câmpului de străpungere şi presiune este cea prezentată în Fig.3.11, curba a. La presiuni mai ridicate se pot neglija pierderile prin difuzie, deoarece ciocnirile devin preponderente, şi condiţia de străpungere (3.72) devine:

 v_t = v_r \!   (3.78)

deoarece Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): ν_r \!

este proporţională cu presiunea gazului, condiţa de străpungere devine o relaţie de forma: 
 \frac E p = const   (3.79)

care este reprezentată grafic prin dreapta b din Fig.3.11.

Ţinând seama de comportările gazului în cele două situaţii (la presiuni mai coborâte, respectiv mai ridicate), dependenţa calitativă a intensităţii câmpului de străpungere de presiunea gazului este reprezentată de curba c din Fig.3.11.

Se poate observa că ea prezintă un minim, presiunea corespunzătoare lui reprezentând presiunea optimă la care amorsarea şi întreţinerea descărcării într-un câmp de radiofrecvenţă se poate realiza cu un consum minim de energie.

De regulă, în aceste condiţii optime, pulsaţia câmpului de radiofrecvenţă este egală cu frecvenţa de ciocnire (\omega = v_c) \! şi energia absorbită de gaz de la câmpul electric este maximă (vezi relaţia (3.68)).

Câmp electric alternativ şi câmp magnetic static Edit

În capitolul precedent am subliniat importanţa pentru plasmă a prezenţei câmpurilor magnetice exterioare. De aceea vom considera acum că peste câmpul electric alternativ se aplică şi un câmp magnetic static şi omogen pe direcţia Oz.

Evident ecuaţia de mişcare (3.59) trebuie completată cu termenul corespunzător forţei Lorentz:

 m_e = \frac {d \vec {v_e}}{dt} = - e \vec E_0 e^ {j \omega t} - e (\vec v \times \vec B_0) - v_c m_e \vec v_e   (3.80)

Admiţând pentru viteză o soluţie de tip armonic, proiectând ecuaţia precedentă pe cele trei axe de coordonate şi ţinând seama de expresia pulsaţiei ciclotronice, se obţine următorul sistem de ecuaţii:


\left\{ \begin{array}{lr} 

(j \omega + v_c) v_x + \omega_c v_y = - \frac {e} {m_e} E_{ox} & (3.81)

\\  \\

(j \omega + v_c) v_y - \omega_c v_x = - \frac {e} {m_e} E_{oy} & (3.82)

\\ \\

(j \omega + v_c) =  - \frac {e} {m_e} E_{ox} & (3.83)

\end{array} \right.

ale cărui soluţii sunt:


\left\{ \begin{array}{lr}
v_x = - \frac {e}{m_e} \left [ \frac {v_c + j \omega}{(v_c + j \omega)^2 + \omega^2_c} E_{ox} - \frac {\omega_c}{(v_c + j \omega)^2 + \omega_c^2 } E_{oy} \right ]  & (3.84)

\\ \\

v_y = - \frac {e}{m_e} \left [ \frac {\omega_c}{(v_c + j \omega)^2 + \omega_c^2} E_{ox} + \frac {v_c + j \omega}{(v_c + j \omega)^2 + \omega_c^2} E_{oy} \right ] & (3.85)

\\ \\

v_z = - \frac {e}{m_e} \frac {1}{v_c + j \omega} E_{oz} & (3.86)

\end{array} \right.

Din analiza acestor soluţii se poate observa că viteza electronului în direcţia câmpului magnetic nu este influenţată de acesta.

Soluţiile (3.84)-(3.86) se pot scrie şi tensorial, într-o formă mai condensată:

 v_i = \mu_{ij} E_j \; \; (i, j = x, y, z)   (3.87)

\mu_{ij} fiind tensorul mobilităţii complexe, cu următoarele componente:



\left \{ \begin{array}{lr}
\mu_{xx} = \mu_{yy}= - \frac {e}{m_e} \frac {v_c + j \omega}{(v_c + j \omega)^2 + \omega_c^2} & (3.88)
\\ \\
\mu_{xy} = \mu_{yx} = - \frac {e}{m_e} \frac {\omega_c}{(v_c + j \omega)^2 + \omega_c^2} & (3.89)
\\ \\
\mu_{zz} = - \frac {e}{m_e} \frac {1}{v_c + j \omega} & (3.90)
\\ \\
\mu_{xz} = \mu_{zx} = \mu_{yz} = \mu_{zy} = 0 & (3.91)
\end{array} \right .

Deci, se poate observa că într-un câmp electric alternativ şi un câmp magnetic static, plasma devine un mediu anizotrop din punct de vedere al proprietăţilor sale electrice.

Calculând energia puterea absorbită de electronii din unitatea de volum, se obţine expresia:

 p_{\approx} = \frac {n_e v_c e^2}{4 m_e} \left [ \frac {1}{(\omega + \omega_c)^2 + v_c^2} + \frac {1}{(\omega - \omega_c)^2} \right ] E^2_0   (3.92)

din care, prin comparaţie cu energia absorbită numai de la un câmp continuu ( \omega = 0, \; \omega_c = 0 )

 p_= = \frac {n_e e^2}{m_e v_c} E^2_=   (3.93)

se obţine expresia câmpului electric efectiv:

 E^2_{ef} = \frac {v^2_c}{4} \left [ \frac {1}{(\omega + \omega_c)^2 + v^2_c} + \frac {1}{(\omega - \omega_c)^2 + v^2_c} \right ] E_0^2   (3.94)

Prezenţa câmpului magnetic are un efect pronunţat de creştere a câmpului electric efectiv mai ales la presiuni joase, acolo unde frecvenţa de ciocnire poate deveni mult mai mică decât frecvenţa câmpului electric şi mai ales atunci când se lucrează în condiţii apropiate de rezonanţă  (\omega \cong \omega_c
). În aceste condiţii termenul al doilea din paranteză devine foarte mare, contribuind la mărirea eficienţei de transfer energetic de la câmpul electric spre electroni. Fizic, aceasta se explică prin aceea că amplitudinea oscilaţiei electronilor şi viteza lor într-un plan perpendicular pe câmpul magnetic cresc în timp, limitate fiind doar de ciocnirile cu atomii gazului sau cu pereţii incintei de descărcare.

Sintetizând ideile mai importante din cele prezentate în paragrafele precedente, se poate concluziona că, în funcţie de presiunea gazului "materie primă" şi de frecvenţa câmpului electric care furnizează energia necesară amorsării şi menţinerii stării de plasmă, străpungerea gazului poate fi controlată de trei mecanisme de bază: difuzie, mobilitate şi generarea de electroni secundari la electrozi sau în urma impactului cu pereţii incintei de descărcare.

La presiuni şi frecvenţe foarte joase, străpungerea în câmp alternativ este foarte asemănătoare, până la analogie, cu străpungerea în curent continuu şi de aceea nu vom insista asupra ei.

La presiuni joase şi frecvenţe mari, atunci când drumul liber mediu al electronilor este mare în comparaţie cu dimensiunile incintei de descărcare şi probabilitatea de ionizare prin ciocnire electron-atom este mică, străpungerea gazului este controlată de emisia secundară de electroni de pe suprafaţa electrozilor (dacă descărcarea este în contact cu ei) sau a incintei în care se află gazul "materie primă". În acest caz este necesar ca semiperioada oscilaţiilor să fie mai mare decât timpul necesar electronilor să parcurgă distanţa dintre electrozi sau dintre pereţi, astfel încât mişcarea electronilor între cele două suprafeţe să fie în fază cu câmpul, iar energia cinetică dobândită de ei să fie suficient de mare pentru a produce emisia electronică secundară la impact electronic. De aceea, intensitatea câmpului de străpungere depinde aproape în exclusivitate de natura materialului electrozilor sau incintei şi de geometria constructivă a acesteia. Dacă peste câmpul electric se suprapune un câmp magnetic constant, suficient de intens pentru ca electronii să revină în locul unde au fost generaţi cu energia necesară emisiei secundare, atunci este posibil ca aprinderea descărcării să fie controlată doar de prezenţa electronilor secundari la un singur electrod sau la un singur perete.

La presiuni mai mari (aprox. 10-2 torr), atunci când frecvenţa de ciocnire devine mult mai mare decât frecvenţa câmpului şi amplitudinea oscilaţiei electronilor devine comparabilă cu dimensiunile incintei de descărcare, apare un nou mecanism de pierdere a electronilor datorită ciocnirii în fiecare semiperioadă a norului de electroni care se formează cu pereţii acesteia. În aceste condiţii intensitatea câmpului electric necesar amorsării plasmei trebuie să fie mai mare pentru a compensa acest mecanism de pierdere iar străpungerea va fi în principal controlată de mobilitatea electronilor.

La presiuni mai mari de 10-2 torr şi frecvenţe din domeniul radio sau microundelor, atunci când drumul liber mediu al electronilor şi amplitudinea oscilaţiilor sunt mici în comparaţie cu dimensiunile incintei de descărcare, străpungerea gazului este determinată de fenomenul de difuzie a electronilor. Apariţia descărcării staţionare este condiţionată de stabilirea echilibrului dinamic între generarea de electroni prin ionizarea gazului de către electronii acceleraţi în câmpul electric şi scăderea numărului lor datorită difuziei (pierderile prin recombinare sunt semnificative doar în cazul concentraţiilor mari de sarcină). Experimental s-a constatat că mărirea distanţei dintre electrozi în anumite limite poate conduce la o micşorare a intensităţii câmpului electric necesar amorsării descărcării deoarece creşte probabilitatea ca un electron să ionizeze un atom înainte ca el să difuzeze la pereţii incintei. De asemenea, mai ales la presiuni mai coborâte (limita inferioară a domeniului precizat), suprapunerea unui câmp magnetic static peste câmpul electric alternativ are ca rezultat o micşorare a coeficientului de difuzie cu un factor \frac {v_c^2} {v_c^2 + \omega_c^2}
, şi deci o reducere a câmpului necesar străpungerii.

Vezi și Edit

Also on Fandom

Random Wiki