Fandom

Math Wiki

Mișcarea particulei încărcate în câmpuri electrice și magnetice

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Particula electrica.jpg

Introducere Edit

200731625346330960753426950008950.jpg

În acest capitol vom face o trecere în revistă a interacțiunilor dintre particulele purtătoare de sarcină electrică în exces și câmpurile electrice și magnetice. Prezentarea va fi făcută doar din perspectiva proceselor care se petrec într-un gaz ionizat, fără pretenția de a acoperi totalitatea fenomenelor care au loc în cazul interacțiunilor sarcină-câmp. De asemenea, vom trata doar interacțiunea particulă individuală-câmp, neglijând interacțiunile electrice dintre particulele încărcate. Dintre cele două variante posibile: tratarea cazului cel mai general și particularizarea concluziilor pentru cazuri mai simple sau tratarea cazurilor simple și generalizarea rezultatelor, am ales varianta a doua deoarece convingerea autorului este aceea că fizica poate fi înțeleasă mai ușor dacă lucrurile sunt prezentate de la simplu spre complex.

În toată tratarea ce urmează ne vom referi la o particulă de masă m, încărcată cu sarcina electrică e, fără a specifică natura ei decât atunci când este necesar. Concluziile sunt valabile atât pentru electroni cît și pentru ionii pozitivi sau negativi.

Mișcarea în câmp electric static Edit

(Vezi articolul: Mișcarea unei particule în câmp electric static)

Mișcarea unei particule încărcate în câmp electric alternativ Edit

(Vezi articolul: Mișcarea unei particule încărcate în câmp electric alternativ)

Câmp magnetic omogen cu mici variații în timp Edit

Să considerăm acum că particula se deplasează într-un câmp magnetic omogen care variază foarte puțin în timpul unei perioade de rotație T_c \! a particulei. Pornind de la relația de definiție a momentului magnetic, variația în timp a acestuia va fi:

 \frac {d \mu_m}{dt} = \frac {d}{dt} \left (\frac {W _ {\bot}}{B} \right )  = \frac {1}{B} \cdot \frac {d W_{\bot}}{dt} - \frac {W_{\bot}}{B^2} \cdot \frac {dB}{dt}   (3.37)

Presupunând cunoscută variația în timp a câmpului magnetic și considerând-o lent variabilă în timp, putem scrie că variația energiei asociate mișcării pe o direcție perpendiculară pe cîmpul magnetic este egală cu variația ei într-o perioadă a mișcării de rotație:  \frac {d W_{\bot}}{dt} = \frac {\Delta W_{\bot}}{T_c} Astfel, relația (3.37) devine:

 \frac {d \mu_m} {dt} = \frac 1 B \cdot \frac {\Delta W_{\bot}}{T_c} - \frac {W_{\bot}}{B^2} \cdot \frac {dB}{dt}   (3.38)
Particula în câmp magnetic lent variabil în timp.png

Considerând închisă traiectoria pe care se deplasează sarcina și aplicând teorema variației energiei cinetice, se poate scrie:

\Delta W_{\bot} = \oint \vec F \cdot d \vec l = \oint e (\vec {E} + \vec v_{\bot}\times \vec B ) \cdot d \vec l = e \oint \vec E \cdot d \vec l + e \oint (v_{\bot} \times \vec B) \cdot d \vec l      (3.39)

Deoarece vectorul rezultat al produsului vectorial \vec {v_{\bot}} \times \vec {B} este perpendicular pe vectorul  d \vec l (Fig.3.7), ultima integrală din relația (3.39) este nulă. Aplicând teorema lui Stokes, transformând integrala de linie în una de suprafață și ținând seama de ecuația lui Maxwell \nabla \times \vec E = - \frac {d \vec B}{dt}, vom obține:

 \Delta W_{\bot} = e \oint \vec E \cdot d \vec l = e \int_{(S)} (\nabla \times \vec E) \cdot d \vec S = -e \frac {d \vec B}{dt} \int_{(S)} d \vec S   (3.40)

Dacă traiectoria este una circulară, cu raza rc, ținând seama de faptul că normala la suprafață și vectorul \vec B \! sunt antiparaleli (Fig.3.7), va rezulta:

 \Delta W_{\bot} = -e \frac {d \vec B}{dt} \pi r_c^2 \vec n= \pi r_c^2 e \frac {d B}{dt}   (3.41)

Avînd în vedere expresiile lui rc (3.12) și Tc (3.13), relația (3.41) devine:

 \Delta W _{\bot} = \frac {T_c W_{\bot}}{B} \cdot \frac {dB}{dt}   (3.42)

care, înlocuită în relația (3.38), va da:

 \frac {d \mu_m}{dt} = 0   (3.43)

ceea ce înseamnă că în câmpuri magnetice omogene, lent variabile în timp, momentul magnetic al particulei încărcate este un invariant adiabatic: (\mu_m=const.). În această situație și fluxul magnetic printr-o spiră Larmor este constant. Astfel, dacă inducția câmpului magnetic crește, raza de girație se va micșora și invers.

Rezultatele prezentate în paragrafele 3.3 și 3.4 își găsesc aplicația în procesul de încălzire a plasmelor. Fermi și Alfvén au denumit acest mecanism “compresie adiabatică” sau “pompaj magnetic”.

Compresie adiabatica.png

Încălzirea plasmei prin compresie adiabatică are loc în trei etape prezentate în Fig.3.8. Câmpul magnetic necesar realizării capcanei magnetice este obținut cu ajutorul mai multor bobine care pot fi activate independent în diferite momente de timp, astfel încât geometria liniilor de câmp să poată fi modificată. Spirele marcate cu “× ” sunt active la un moment dat. La începutul procesului, plasma este introdusă în capcană prin dopul din stânga sub un astfel de unghi încât să nu poată ieși prin dopul din dreapta (Fig.3.8a) Aceasta este etapa de injecție. Simultan cu injecția este crescută intensitatea câmpului magnetic pe toată lungimea capcanei, astfel încât va avea loc o compresie radială (Fig.3.8b). Drept consecință, crește atât energia cinetică asociată mișcării transversale, cât și concentrația și temperatura corespunzătoare ei (mecanism Alfvén). A treia etapă a procesului este compresia axială (Fig.3.8c) în care dopurile magnetice sunt deplasate simultan spre centrul capcanei (de fapt este vorba de dezactivarea dopurilor laterale și activarea celor mediane). În timpul compresiei axiale, particulele încărcate se ciocnesc cu dopurile magnetice aflate în mișcare, câștigând de la acestea energie cinetică (mecanism Fermi) și determinând creșterea temperaturii longitudinale și a densității plasmei. La sfârșitul acestor procese plasma va ocupa un volum mai mic, va avea o temperatură cinetică mai mare și se va concentra în zona centrală a capcanei.

Pentru ca fenomenele să decurgă așa cum au fost descrise mai sus, este necesar ca durata de creștere (\tau \!) a câmpului magnetic să fie mai mare decât perioada precesiei Larmor (Tc), pentru ca momentul magnetic să rămână constant și procesul să fie adiabatic. De asemenea, pentru ca procesul să nu fie influențat de ciocniri, trebuie ca durata de creștere a câmpului magentic să fie mai mică decât timpul mediu dintre două ciocniri (\tau_c \!):


 \tau_c > \tau > T_c   (3.44)

Câmpuri electrice și magnetice statice și omogene Edit

Câmp magnetic încrucisat cu câmp electric.png

Fig.3.9 – Câmp magnetic încrucișat cu câmp electric.

Să considerăm o particulă încărcată care intră într-un un câmp magnetic suprapus peste un câmp electric, ambele statice și omogene (Fig.3.9).

Ecuația de mișcare a particulei este:

 m \frac {d \vec v}{dt} = e \vec E + e (\vec v \times \vec {B_0})   (3.45)

Având în vedere faptul că axa Oz a fost aleasă în lungul câmpului magnetic, proiectând ecuația de mișcare pe cele trei axe de coordonate, rezultă următoarele ecuații scalare:


\begin{cases}
 \frac {d v_x}{dt} = \frac {e E_x}{m} + \frac {e B_0}{m} v_y &   (3.46) \\ \\
\frac {d v_y}{dt} = \frac {e E_y}{m} - \frac {e B_0}{m} v_x  &  (3.47) \\ \\
\frac {d v_z}{dt} = \frac {e E_z}{m} &  (3.48)

			\end{cases}

Deoarece câmpul electric este static, din ecuația (3.48) rezultă că accelerația particulei în direcția câmpului magnetic este constantă. Deci, de-a lungul direcției Oz particula va avea o mișcare rectilinie uniform accelerată.

Pentru analizarea mișcării pe direcția perpendiculară pe câmpul magnetic, vom scrie sub formă complexă expresia vitezei într-un plan perpendicular pe câmpul magnetic:

 v_{\bot} = v_x + j v_y  \; (3.49)

ținând seama de ecuațiile (3.46) și (3.47), expresia variației în timp a vitezei perpendiculare este:

 \frac {d v_{\bot}}{dt} = \frac {e}{m} (E_x + j E_y) - j \frac {e B_0}{m} (v_x + j v_y)   (3.50)

Notând cu  E_{\bot} = E_x + j E_y , obținem ecuația diferențială:

 \frac {d v_{\bot}}{dt} + j \frac {e B_0}{m} v_{\bot} = \frac {e}{m} E_{\bot}   (3.51)

Presupunem soluția acestei ecuații diferențiale ca fiind o combinație liniară dintre soluția ecuației omogene și o soluție particulară a ecuației neomogene:

 v_{\bot} = v_{om} + v_d   (3.52)

Soluția ecuației omogene:

 \frac {d v_{om}}{dt} + j \frac {e B_0}{m} = 0   (3.53)

este:

 v_{om} = const. \cdot e^{- j \frac {e B_0}{m} t} = 0   (3.54)

care exprimă mișcarea ciclotronică, cu pulsația  \omega_c = \frac {e B_0}{m} , determinată de existența componentei vitezei perpendiculare pe câmpul magnetic.

Din motive de conservare a energiei, soluția particulară a ecuației (3.51) o presupunem de forma unei viteze constante vd. Aceasta înseamnă că derivatele în raport cu timpul ale componentelor vx și vy ale vitezei sunt nule. Cu această condiție, din ecuațiile (3.47) și (3.46) rezultă expresiile celor două componente:

\begin{cases}
v_x = \frac {E_y}{B_0} = \frac {E_y B_0}{B_0^2} &   (3.55)  \\ \\
v_y = - \frac {E_x}{B_0} = - \frac {E_x B_0}{B_0^2} &  (3.56)
		
\end{cases}

Cu aceste componente, expresia vectorială a soluției particulare va fi:

 \vec{v_d} = \vec {e_x} v_x + \vec {e_y} v_y = \vec {e_x} \frac {E_y B_0}{B_0^2}  - \vec {e_y} \frac {E_x B_0}{B_0^2}   (3.57)

Analizând atent expresia (3.57) vom observa că numărătorii termenilor din partea dreaptă reprezintă componentele produsului vectorial  \vec E \times \vec {B_0} Așadar:

 \vec {v_d} = \frac {\vec E \times \vec {B_0}}{B_0^2}   (3.58)

Se poate observa că această viteză este perpendiculară pe planul determinat de vectorii câmp electric-câmp magnetic și ea nu depinde de semnul sarcinii.

Pentru că toate sarcinile, indiferent de semnul lor, se vor deplasa în aceeași direcție, această viteză a fost denumită viteză de drift a plasmei. În concluzie, având în vedere expresiile (3.48), (3.54) și (3.58) ale componentelor vitezelor particulei, se poate afirma că mișcarea particulelor încărcate în câmpuri electrice și magnetice statice și omogene este rezultatul compunerii a trei mișcări:

Driftul plasmei in campuri incrucisate.png

(a) o mișcare rectilinie uniform accelerată în direcția câmpului magnetic;

(b) o mișcare circulară uniformă în jurul liniilor de câmp magnetic (mișcarea ciclotronică);

(c) o mișcare de drift, într-o direcție perpendiculară pe planul determinat de vectorii câmp electric și magnetic. În timp ce sensul primelor două mișcări este funcție de semnul sarcinii, viteza de drift are același sens indiferent de tipul de particulă încărcată.


În Fig.3.10 este exemplificată traiectoria unei astfel de mișcări, pentru o particulă pozitivă. Pentru simplificare, direcția câmpului electric a fost aleasă în planul xOz.

Pentru că plasma în ansamblul ei se va deplasa în aceeași direcție, câmpurile electrice și magnetice încrucișate se folosesc pentru extragerea jetului de plasmă din incintele în care sunt generate.

Considerații analitice Edit

\vec f = q (\vec E + \dot {\vec r} \times \vec B) \!
\vec E = - \nabla \varphi - \frac{\partial \vec A}{\partial t} \!
\vec B = \nabla \times \vec A \!
\frac{d \vec p}{dt} = -q \nabla \varphi- q \frac{\partial \vec A}{\partial t} + q [\dot {\vec r} \times (\nabla \times \vec A)] = \!
= -q \nabla \varphi - q \frac{\partial \vec A}{\partial t} - q [(\dot {\vec r} \cdot \nabla) \vec A - \nabla (\dot {\vec r} \cdot \vec A)] = \!
 = - q \nabla \varphi - q \left [ \frac{\partial \vec A}{\partial t} + (\dot {\vec r} \cdot \nabla) \vec A \right ] + q \nabla (\dot {\vec r} \cdot \vec A) \!
= - q \nabla \varphi - q \frac{d \vec A}{dt} + q \nabla (\dot {\vec r} \cdot \vec A) = - q \frac{d \vec A}{dt} - \nabla [q \varphi - q (\dot {\vec r} \cdot \vec A)] \!


\frac{d}{dt} (\vec p + q \vec A) = - \nabla (q \varphi - q \dot {\vec r} \cdot \vec A) \!
\Rightarrow \!
\frac{d}{dt} \vec P = - \nabla V = \vec F \!
\Rightarrow \!
V= q \varphi - q \dot {\vec r} \cdot \vec A \!
\Rightarrow \!
L(\vec r, \dot {\vec r}) = \frac 1 2 m \dot {\vec r}^2 + q \dot {\vec r} \cdot \vec A (\vec r, t) - q \varphi (\vec r, t). \!
 \!
 \!
 \!
 \!

Vezi și Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki