Mișcare oscilatorie armonică

Exemplu de oscilator liniar armonic: Sistem resort-masă neamortizat

Generalităţi

Mișcarea oscilatorie armonică este acel tip de mișcare oscilatorie în care mărimile caracteristice se pot exprima prin funcții trigonometrice (sinus, cosinus) sau prin funcții exponențiale de argument complex. Amplitudinea este constantă, iar accelerația este proporţională cu elongaţia şi de semn opus acesteia.

Acele oscilaţii care nu sunt armonice, se pot descompune în serii Fourier de funcții.

În calcule sunt utile formula lui Euler şi alte formule:

${\bigg |}e^{i\omega }{\bigg |}^{2}=1.\!$

$\rho e^{i\omega }=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi )=a+ib.\!$

$\rho ^{2}{\bigg |}e^{i\omega }{\bigg |}^{2}=\rho ^{2}=a^{2}+b^{2}.\!$

$tg\varphi ={\frac {b}{a}}\!$

Mişcarea oscilatorie armonică apare foarte des în situaţiile practice. De exemplu: bătăile inimii, pe care Galilei le utiliza pentru a cronometra mişcările pe care le studia.

Reprezentări ale oscilaţiei armonice

Reprezentarea fazorială

$\omega ={\frac {\Delta \alpha }{\Delta t}}\;\Rightarrow \;\Delta \alpha =\omega \Delta t\!$

$\alpha =\omega t,\;\;A=R\!$

$\sin \alpha ={\frac {y}{A}}\;\Rightarrow \;y=A\sin \omega t\!$

Condiţia de maxim: $y\rightarrow y_{max}=A\!$

$\sin(\omega t+\varphi _{0})=\pm 1,\;\;\omega t+\varphi _{0}={\frac {\pi }{2}}\;\;\Rightarrow \;\;\omega t={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{0}\!$

$t={\frac {{\frac {\pi }{2}}-\varphi _{0}}{\omega }}\!$

Generalizare:

$t={\frac {(2k+1){\frac {\pi }{2}}-\varphi _{0}}{\omega }}.\!$

Ecuaţia vitezei:

$v=v_{0}\cos \alpha \!$

$v=\omega A\cos(\omega t+\varphi _{0})\!$

Viteza este maximă în t= \frac{2 k \pi - \varphi_0}{\omega}

Ecuaţia acceleraţiei:

$a_{cp}=\omega ^{2}\cdot R=\omega ^{2}\cdot A\!$

$a=-\omega ^{2}\cdot A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}\cdot y.\!$

$a_{max}=-\omega \cdot A\!$

Reprezentare fazorială

$\varphi _{0}\!$ este faza iniţială.

Reprezentare analitică reală

$y_{(t)}^{(r)}=a\sin(\omega t+\varphi _{0})\!$

$\omega =2\pi \nu ={\frac {2\pi }{T}}\!$

t	0	${\frac {T}{12}}\!$	${\frac {T}{8}}\!$	${\frac {T}{6}}\!$	${\frac {T}{4}}\!$	${\frac {T}{2}}\!$	${\frac {3T}{4}}\!$	T
$\omega t\!$	0	$\pi \!$	${\frac {\pi }{6}}\!$	$\frac{\pi}{4} \!$	$\frac{\pi}{3} \!$	$\pi \!$	${\frac {3\pi }{2}}\!$	$2 \pi \!$
$\sin \!$	0	0,5	0,7	0,86	1	0	-1	0

Reprezentare analitică complexă

$z=a+bi \!$

$|z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\!$

Formula lui Euler:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi \!$

$\left.{\begin{matrix}y_{(t)}^{(r)}=a\cos(\omega t+\varphi _{0})\\y_{(t)}^{(i)}=a\sin(\omega t+\varphi _{0})\end{matrix}}\right\}\;y_{(t)}=a\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}.\!$

Exemple de oscilatori liniar armonici

Resortul elastic

Mișcarea unui corp este o mișcare oscilatorie dacă se repetă periodic în timp. Mișcarea oscilatorie are loc în jurul unei poziții de echilibru. O deplasare a corpului din poziția de echilibru presupune existența unei forțe care să readucă corpul în poziția de echilibru. În poziția de echilibru această forță este zero (din definiția echilibrului). Considerăm un corp de masă m legat de un resort care oscilează fără frecare în lungul axei Ox.

Studiem mișcarea centrului de masă al corpului:

$F_{e}=-ky;\;\;-ky=ma\!$

$ky=-m\cdot \omega ^{2}\cdot A\cdot \sin \omega t\!$

$k\cdot A\cdot \sin \omega t=-m\cdot \omega ^{2}\cdot A\cdot \sin \omega t\!$

$k=m\omega ^{2}\!$

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}};\;\;{\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {k}{m}}}\!$

$\omega = \frac {2 \pi}{T} \!$

$T=2\pi \cdot {\sqrt {\frac {m}{k}}}.\!$

Aşadar, perioada resortului elastic este direct proporţională cu ${\sqrt {m}}\!$ şi invers proporţională cu ${\sqrt {k}},\!$ deci nu depinde de mărimi variabile şi nu poate fi influenţată.

Gruparea resorturilor
Paralel	Serie
$k_{p}=k_{1}+k_{2}\!$ $T_{p}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k_{p}}}}\!$	$y=y_{1}+y_{2}\!$ ${\frac {1}{k_{s}}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}\!$ $k_{s}={\frac {k_{1}k_{2}}{K_{1}+k_{2}}}\!$ $T_{s}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k_{s}}}}.\!$

Pendulul matematic

(Detalii la articolul: Pendul)

a - elongaţie unghiulară: $a\rightarrow y\!$

$a_{0}=\!$ amplitudine unghiulară: $a_{0}\rightarrow A\!$

$G_{n}=G\cos \alpha ;\;\;G_{t}=G\sin \alpha \!$

$G_n \!$ la poziţia de extrem este anulată de tensiunea din fir:

$G_{t}=mg\sin \alpha \!$

$m\omega 2y=-mg\cdot {\frac {y}{l}}\!$

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}};\;\;T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}.\!$

Sistemul cu un grad de libertate

Cazul cel mai simplu de mişcare oscilatorie este acela al unui sistem cu un singur grad de libertate, adică al unui sistem a cărui mişcare este descrisă complet dacă se cunoaşte modul în care variază, în funcţie de timp, o singură mărime de stare, liniară.

Ecuaţia mişcării este:

$ms+hs+ks=F(t),\!$

unde:

• m - masa punctului material
• s - elongaţia mişcării
• ks - forţa elastică
• hs - forţa de rezistenţă a mediului vâscos.

Studiul forţelor conservative

Putem aborda problema şi din punctul de vedere al forțelor conservative:

$\vec F = - \frac {\partial U}{\partial \vec r} \!$

la oscilatorul liniar considerat rezultă:

$F = - \frac {\partial U}{\partial x} \!$

unde U este energia potențială.

Din condiția de echilibru a corpului ($F = 0 \!$) rezultă:

$\left ( \frac {\partial U}{\partial x} \right )_{x=x_0} =0. \!$   (1)

unde $x_0 \!$ este coordonata poziției de echilibru ($x_0 \!$ este soluția ecuației $\frac{\partial U}{\partial x}=0 \!$).

Pentru deplasări $x-x_0 \!$ mici, putem dezvolta energia potențială U în serie Taylor în jurul lui $x_0: \!$

$U(x) = U(x_0)+ \left ( \frac {\partial U}{\partial x} \right )_{x=x_0} (x-x_0) + \frac 1 2 \left ( \frac {\partial^2 U}{\partial x^2} \right )_{x=x_0} (x-x_0)^2. \!$   (2)

în care am neglijat termenii de ordin superior. Al doilea termen din (2) este zero datorită condiției de echilibru (1).

Mărimea $k =\left ( \frac {\partial^2 U}{\partial x^2} \right )_{x=x_0} \!$ se numește constantă elastică.

Deci:

$U(x)= U(x_0)+ \frac{k(x-x_0)^2}{2} \!$   (3)

Putem alege $x_0=0 \!$ (translatăm originea axei Ox în centrul de masă al corpului) și $U(x_0)=0 \!$ (energia potențială de referință este nulă). Astfel energia potențială a oscilatorului liniar devine:

$U= \frac{kx^2}{2} \!$   (4)

care reprezintă grafic o parabolă. Pentru deplasări mici în jurul poziției de echilibru energia potențială reală (curba punctată) poate fi aproximată prin relația (4).

Forța:

$F =- \frac {\partial U}{\partial x} \overset {(4)}{=} -kx \!$   (5)

va readuce corpul în poziția de echilibru dacă se opune deplasării. Astfel condiția de echilibru stabil în punctul $x_0 \!$ este:

$k>0. \!$   (6)

Deoarece pentru valori ale lui x pozitive sau negative dar suficient de mici (pentru a fi valabilă relația (4)) funcția $U(x)\!$ este crescătoare, rezultă că în poziția de echilibru stabil ($x_0 \!$) energia potențială $U(x)\!$ are un minim.

Funcția lui Hamilton pentru oscilatorul liniar are expresia:

$H=T+ U = \frac {mv^2}{2}+ U= \frac {p^2}{2m}+ \frac {kx^2}{2} \!$   (7)

Ecuațiile lui Hamilton sunt:

$\begin{cases} \dot x= \frac {\partial H}{\partial p} = \frac p m \! \\ \\ \dot p = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx \end{cases}$   (8)

Eliminând p din cele două relații:

$p= m \dot x \; \; \; \dot p = m \ddot x \!$

$\Rightarrow \; \; \Rightarrow \; m \ddot x = -kx \; \Rightarrow \; \ddot x + \frac k m x =0 \!$

$\dot p = -kx \; \; \dot p = -kx \!$

rezultă ecuația:

$\ddot x + \omega_0^2 x=0 \!$   (9)

unde:

$\omega_0=\sqrt {\frac k m} \!$   (10)

este pulsația proprie a oscilatorului.

Ecuația (9) este o ecuație diferențială de ordinul doi, fără termenul cu derivata de ordinul întâi și omogenă (fără termenul liber) cu coeficienți constanți.

Soluția generală a ecuației (9) ce descrie o mișcare oscilatorie armonică (amplitudinea și pulsația rămân constante) este:

$x= \mathcal C_1 e^{i \omega_0 t} + \mathcal C_2 e^{-i \omega_0 t} \!$   (11)

sau una din formulele echivalente:

$x=A \cos (\omega_0 t + \varphi) \!$   (12)

$x=A \sin (\omega_0 t + \varphi) \!$   (12')

$x=a \sin \omega_0 t + b \cos \omega_0 t \!$   (13)

$x=A e^{i (\omega_0 t + \varphi)} = A [\cos (\omega_0 t + \varphi) + i \sin (\omega_0 t + \varphi)] \!$   (14)

Se poate arăta ușor că relațiile (11) – (14) verifică ecuația (9). Forma (14) este foarte comodă în aplicații, deoarece calculele cu exponenți sunt mai ușor de efectuat. Partea reală a expresiei (14) coincide cu (12). Astfel se poate utiliza reprezentarea oscilațiilor prin numere complexe (1.14), iar în rezultatul final se reține partea reală. În (12), A este amplitudinea oscilației, $\omega_0 \!$ este pulsația oscilației, $\varphi \!$ este faza inițială, iar $\omega_0 t + \varphi \!$ este faza momentană (integrală) a oscilației. Elongația $x(t) \!$ fiind o funcție periodică de timp ia aceeași valoare când timpul crește cu o perioadă T, $x(t) = x(t+T), \!$

$x= A \cos (\omega_0 t + \varphi) = A \cos [\omega_0 (t+T) + \varphi ] = A \cos (\omega_0 t + \varphi + 2 \pi) \!$   (15)

unde am folosit faptul că perioada cosinusului este $2 \pi. \!$ Din (15) rezultă:

$\omega_0 T = 2 \pi \; \Rightarrow \; T_0 = \frac {1}{\nu_0} = \frac {2 \pi}{\omega_0} = 2 \pi \sqrt \frac m k \!$   (16)

unde $\nu_0 \!$ este frecvența (numărul de oscilații efectuate în unitatea de timp).

Din (12) rezultă viteza:

$v =- \omega_0 A \sin (\omega_0 t + \varphi) \!$

Energia totală a oscilatorului este:

$E = \frac {mv^2}{2} + \frac {kx^2}{2} = \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \sin^2 (\omega_0 t + \varphi) + \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \cos^2 (\omega_0 t + \varphi) = \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \!$   (17)

Din (17) rezultă:

$E=E_{c \; max} = U_{max} \!$

Pentru $x = A \!$ rezultă $U = U_{max} \!$, iar pentru $x=0 \!$ rezultă $U = 0 \!$.

Graficul energiei potențiale este de forma din figura de mai jos.

În cazul oscilatorului liniar armonic valoarea medie temporală a energiei cinetice este egală cu valoarea medie temporală a energiei potențiale:

$\overline E_c = \overline U \!$   (18)

$\overline E_c = \frac 1 T \int_0^T E_c dt = \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \overline {\sin^2 (\omega_0 t+ \varphi)} = \frac{m \omega_0^2 A^2}{4} \!$   (19)

$\overline U = \frac 1 T \int_0^T U dt = \frac {m \omega_0 A^2}{2} \cdot \frac 1 T \int_0^T \cos^2 (\omega_0 + \varphi) dt = \frac {m \omega_0 A^2}{4} \!$   (20)

În cazul în care intervine frecarea, cele două valori sunt diferite.

Energia oscilatorului liniar armonic

Oscilatorul este scos din pozitia sa de echilibru, acestuia i se transfera energie. Lasat liber, fortele de revenire efectueaza lucru mecanic si modifica energia potentiala a oscilatorului si, totodata, energia sa cinetica.

În cazul unui oscilator armonic, oscilatiile au loc sub actiunea unei forte de tip elastic. Când elongatia este x, energia potentiala (de tip elastic) este:

$E_p= \frac 1 2 k \cdot x^2 \!$

Daca legea de miscare a oscilatorului armonic este de forma:

$x=A \cdot \cos \varphi, \!$   (1)

expresia energiei potentiale (de tip elastic) a oscilatorului devine:

Modificarea în timp a energiei potentiale (de tip elastic) a unui oscilator armonic

$E_p = \frac 1 2 k \cdot A^2 \cdot \cos^2 \varphi \!$   (2)

faza $\varphi \!$ modificându-se în timp astfel:

$\varphi = \omega \cdot t + \varphi_0 \!$

Energia cinetica a oscilatorului este:

$E_c= \frac 1 2 m \cdot v^2 \!$

Daca legea de miscare a oscilatorului este cea data de expresia (1), viteza oscilatorului este:

$v = \omega \cdot A \cdot \cos (\varphi + \frac {\pi}{2}) = - \omega \cdot A \cdot \sin \varphi. \!$

Asadar, expresia energiei cinetice a oscilatorului devine:

$E_c = \frac 1 2 m \cdot \omega^2 \cdot A^2 \cdot \sin^2 \varphi \!$

$k=m \cdot \omega^2 \!$

astfel ca expresia energiei cinetice a oscilatorului armonic este:

$E_c = \frac 1 2 k \cdot A^2 \cdot \sin^2 \varphi \!$

Oscilatiile unui oscilator armonic au loc doar sub actiunea unei forte de tip elastic. Aceasta este o forta conservativa (lucrul mecanic efectuat de aceasta este nul pe parcursul unei perioade de oscilatie).

În consecinta, energia mecanica (totala) a unui oscilator armonic nu ar trebui sa se modifice în timp (oscilatiile sunt neamortizate).

Într−adevar, conform expresiilor (2) si (3), energia mecanica a oscilatorului armonic este constanta în timp:

$E = E_c + E_p = \frac 1 2 \cdot A^2 (\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi) = \frac 1 2 k \cdot A^2 \!$

Energia totala a oscilatorului armonic este constanta în timp

În cazul oscilatorilor reali, interactiunile (inevitabile) cu mediul determina transfer de energie între oscilator si mediul sau. Energia mecanica a oscilatorului se "risipeste" treptat în mediu, datorita actiunii fortelor disipative (cum sunt cele de frecare) - oscilatiile se amortizeaza.

Energia totala a unui oscilator real este transferata treptat mediului. Când toata energia initiala a oscilatorului va fi fost transferata mediului, oscilatiile înceteaza.

Abordare analitică

(Vezi și articolul: Mecanică analitică.)

• energie cinetică: $T= \frac 1 2 m \dot x^2 \!$
• energie potențială: $U = \frac 1 2 x^2 \!$
• forțe de frecare: $Q_j = -c \dot x \!$
• funcție Lagrange: $L=T-U = \frac 1 2 m \dot x^2 - \frac 1 2 kx^2 \!$

unde:

$\frac{\partial L}{\partial \dot x} = m \dot x \; \; \; \; \frac{\partial L}{\partial x} = -kx \!$

$\Rightarrow \!$

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} =Q_j - \frac{\partial L}{\partial q_k} \!$

$\Rightarrow \!$

$m \ddot x = -c \dot x -kx \!$

Vezi și

• Oscilație amortizată
• Compunerea oscilațiilor

Resurse

• Scribd.com
• Fizica.ro
• Oscilații și unde mecanice
• Dumitru Luca, Cristina Stan, Oscilații și unde (copie la Wikia)