FANDOM


Problema celor două corpuri Edit

Ne propunem determinarea ecuaţiilor de mişcare pentru două corpuri de mase $ m_1 \! $ şi $ m_2 \! $ care interacţionează unul cu altul prin intermediul unui câmp central de forţă.:

Miscarea în câmp central de forte 1
$ \vec F = f(r) \cdot \hat r = - \frac{\partial U}{\partial r} \cdot \hat r; \! $   (1)
$ \hat r = \frac{\vec r}{r} = \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|}; \! $   (2)
$ \vec r = \vec r_1 - \vec r_2. \! $   (3)

Poziţia centrului de masă (CM):

$ \vec R = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2}{m_1 + m_2} \! $   (4)

Exprimăm vectorii $ r_1 \! $ şi $ r_2 \! $ ca funcţii de $ \vec r \! $ şi $ \vec R: \! $

$ \left . \begin{matrix} \vec r = \vec r_1 - \vec r_2 \\ \frac{(m_1+m_2) \cdot \vec R}{m_2} = \frac{m_1}{m_2} \vec r_1 + r_2 \end{matrix} \right \} \; \Rightarrow \; \vec r_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2} \left ( \vec r + \frac{(m_1+m_2) \vec R}{m_2} \right ) \! $   (5)
Miscarea în câmp central de forte 2

$ \mu_{pozitron} = \frac{m_e \cdot m_e}{(m_e+m_e)} = \frac{m_e}{2} \! $
$ m(p) \gg m(e^+) \! $
$ \mu_{hidrogen} = \frac{m_p m_e}{(m_p+ m_e)} \approx m_e \! $

$ \vec r_1 = \vec R + \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec r \! $   (6)
$ \vec r_2 = \vec R - \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec r \! $   (7)


Funcţia Lagrange pentru sistem devine:

$ L = \frac 1 2 m_1 \dot r_1^2 + \frac 1 2 m_2 \dot r_2^2 - U(r) = \! $   (8)

deci

$ L = \frac{m_1}{2} \left ( \dot {\vec R} + \frac{m_2}{M} \dot {\vec r} \right ) ^2 + \frac{m_2}{2} \left ( \dot {\vec R} - \frac{m_1}{M} \dot {\vec r} \right ) ^2 - U(r) \! $   (9)

unde $ M=m_1+m_2 \! $

notând: $ \mu= \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \! $   (10) (masa redusă a sistemului)

Rezultă:

$ L = \frac 1 2 M \dot R^2 + \frac 1 2 \mu \dot r^2 - U(r). \! $   (11)

Aceleaşi rezultate obţinem alegând CM ca noua origine a sistemului.

$ \vec r'_1 = \vec r_1 - \vec R \! $   (12)
$ \vec r'_2 = \vec r_2 - \vec R \! $   (13)

Conform teoremei lui König:

$ m_1 \vec r'_1 + m_2 \vec r'_2 = 0. \! $   (14)

Notând: $ M= m_1+m_2 \; \; \vec r= \vec r_1 - \vec r_2 = \vec r'_1-\vec r'_2. \! $   (15)

$ \vec r'_1 = \frac{m_2}{M} \vec r \; \; \vec r'_2 = \frac{m_1}{M} \vec r \! $   (16)
$ L = \frac 1 2 M V_{CM}^2 + \frac 1 2 \mu \dot r^2 - U (r) \! $   (17)
$ \frac 1 2 M \dot R^2 + \frac 1 2 \mu \dot r^2 - U(r) \! $   (18)


a) $ \left . \begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial \dot R} = M \dot R \\ \\ \frac{\partial L}{\partial R} =0 \end{matrix} \right \} \; \Rightarrow \; \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial l}{\partial \dot R} \right ) - \frac{\partial L}{\partial R} = 0 \; \Rightarrow \; M \ddot R =0 \; \Rightarrow \; M \dot R = const \! $   (19)

$ \left . \begin{matrix} M \dot R = M \left ( \frac{m_1 \dot r_1 + m_2 \dot r_2}{m_1 + m_2} \right ) = m_1 \dot r_1 + m_2 \dot r_2 = p_1 + p_2 \\ \\ M \dot R = p_{Total} \end{matrix} \right \} \; \Rightarrow \; p_{Total} = p_1+p_2 \! $   (20)

Deci impulsul total se conservă.

b) $ \left . \begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial \dot r} = \mu \dot r \\ \\ \frac{\partial L}{\partial r} = - \frac{\partial U}{\partial r} \frac r r = - \frac{\partial U}{\partial r} \hat r \end{matrix} \right \} \; \Rightarrow \; \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot r} \right ) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 \; \Rightarrow \; \mu \ddot r + \frac{\partial U}{\partial r} \hat r = 0 \! $   (21)


Concluzii Edit

Miscarea în câmp central de forte 3
  • Mişcarea a două puncte materiale care interacţionează între ele se reduce la problema mişcării unui punct de masă $ \mu \! $ într-un câmp exterior.
  • Observăm că a) şi b) nu sunt cuplate şi deci mişcarea $ \mathbf{CM}R(t) \! $ este decuplată de mişcarea relativă $ \mathbf r(t). \! $
  • Putem ignora mişcarea $ \mathbf{CM}R(t). \! $


Sistemul câmpului central de forţe are simetrie sferică.

$ \Rightarrow \! $

Se poate roti în jurul oricărei axe care trece prin origine.

$ \Rightarrow \! $

Simetrie rotaţională:

  • Lagragianul nu depinde de direcţie:
$ L = T (\dot r^2) - U(r) \! $   (22)

$ \Rightarrow \! $

Momentul unghiular se conservă:

$ L = r \times p = const. \! $   (23)

Miscarea în câmp central de forte 4

$ \vec L \cdot \vec r = (\vec r \times \vec p) \cdot \vec r =0 \! $   (24)
$ \vec r \perp \vec L \! $   (25)

$ \Rightarrow \! $

  • Traiectoria $ \vec r(t) \! $ este conţinută în întregime într-un plan ortogonal cu $ \vec L. \! $

$ \Rightarrow \! $

$ \dot {\vec r} = r \hat e + r \dot {\varphi} \hat e_{\theta} \! $   (26)

Lagrangianul în coordonate polare va fi:

$ L = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - U(r) \! $   (27)

Observăm că $ \varphi \! $ este coordonată ciclică, momentul sau conjugat $ p_{\varphi} \! $ se va conserva:

$ p_{\varphi} = \frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = \mu r^2 \dot \varphi \equiv l \! $   (28) (mărimea momentului unghiular)

Introducem noţiunea de viteză areolară

Legea a II-a a lui Kepler:

Miscarea în câmp central de forte 5
Miscarea în câmp central de forte 6

Vectorul de poziţie al unei planete mătură arii egale în intervale de timp egale.

$ \mathit d A = \frac 1 2 \vec r (\vec r \mathit d \varphi) = \frac 1 2 r^2 \mathit d \varphi \! $   (29)

Rezultă viteza areolară:

$ \frac{\mathit dA}{\mathit dt} = \frac 1 2 r^2 \varphi = \frac 1 2 \frac{l}{\mu}= const. \! $   (30)

Mişcarea planetei este mai rapidă când orbita este mai apropiată de origine.


Stabilim ecuaţia Lagrange:

$ \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot r} \right ) - \frac{\partial L}{\partial \dot r} =0 \; \Rightarrow \; \mu \ddot r - \mu r \dot \varphi^2 + \frac{\partial U}{\partial r} =0 \! $   (31)

unde

$ \mu r \dot \varphi^2 \! $   (32)

este forţa centrifugă, iar

$ \frac{\partial U}{\partial r} \! $   (33)

este forţa centrală.


Dar $ \dot \varphi = \frac{l}{\mu r^2} \! $   (33)

deci

$ \mu \ddot r - \frac{l^2}{\mu r^3} + \frac{\partial U}{\partial r} = 0 \! $   (34)


însă $ \ddot r = \frac{d \dot r}{dt} = \frac{d \dot r}{dr} \frac{dr}{dt} = \frac {d \dot r}{dr} \dot r \! $   (35)

$ \mu \frac{d \dot r}{dr} \dot r = \frac{l^2}{\mu r^3} - \frac{\partial U}{\partial r} \! $   (36)
$ \int \mu \dot r d \dot r = \int \left ( \frac{l^2}{\mu r^3} - \frac{\partial U}{\partial r} \right ) \mathit d r \; \Rightarrow \; \frac 1 2 \mu \dot r^2 = - \frac 1 2 \frac{l^2}{\mu r^2} - U(r) + E \! $   (37)

unde E este constanta de integrare:

$ E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + \frac 1 2 \frac{l^2}{\mu r^2} + U(r) \! $   (38)

unde: $ U_{ef}(r) = \frac 1 2 \frac{l^2}{\mu r^2} + U(r). \! $   (39)


Conservarea energiei:

$ E=T + U(r) = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + U(r) \sim r(t) \! $   (40)


Din ecuaţia Lagrange:

$ \mu \ddot r - \frac {l^2}{\mu r^3} + \frac{\partial U}{\partial r} = 0 \; \Rightarrow \; \mu \ddot r = - \frac{d}{dr} \left [ U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2} \right ] \! $   (41)


Înmulţind cu $ \dot r \! $ rezultă:

$ \mu \dot r \ddot r = - \dot r \frac{d}{dr} \left [ U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2} \right ] \! $   (42)

deoarece:

$ \mu \ddot r \dot r = \frac{d}{dt} \left ( \frac 1 2 \mu \dot r^2 \right ) \; \; - \dot r \frac{d}{dr} = - \frac{dr}{dt} \frac{d}{dr} = - \frac {d}{dt} \! $   (43)
$ \Rightarrow \; \; \frac{d}{dt} \left [ \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2} \right ] = 0. \! $   (44)

Astfel:

$ \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2} = const \! $   (45)

deoarece: $ \frac {l^2}{2 \mu r^2} = \frac {\mu r^2 \dot \varphi^2}{2} \; \; \Rightarrow \! $   (46)

$ E=T +U(r) = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + U(r) = const. \! $   (47)


Ecuaţia Lagrange devine:

$ \mu \ddot r = - \frac {\partial U_{ef}(r)}{\partial r} \! $   (48)   (Mişcarea unei particule într-un potenţial efectiv)


Energia: $ E= \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U_{ef} (r) \! $   (49)

$ \Rightarrow \; \; \dot r = \frac{dr}{dt} = \pm \sqrt {\frac{2}{\mu} (E-U_{ef}(r))} \; \; \Rightarrow \; \; t = \pm \int_0^t \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu} (E-U_{ef}(r))}} + const \equiv r(t) \! $   (50)


$ \dot \varphi = \frac {l}{\mu r^2} = \frac {d \varphi}{dt} \; \; \Rightarrow \; \; \varphi(t) = \int_0^t \frac {l}{\mu [r(t)]^2} dt + \varphi_0 \! $   (51)


Pentru valori date ale lui E şi l (mărimi care se conservă) căutăm $ r(\varphi): \! $   (52)


$ \dot r = \frac{dr}{d \varphi} \dot \varphi = \frac {dr}{d \varphi} \frac {l}{\mu r^2} = \pm \sqrt {\frac {2}{\mu} (E-U_{ef})} \; \; \Rightarrow \! $   (53)
$ \Rightarrow \; \; \varphi = \pm \int_{r_0}^r \frac {l}{r^2 \sqrt {2 \mu (E-U_{ef})}} dr + const \equiv \varphi(r) \! $   (54)


Ecuaţia traiectoriei Edit

Miscarea în câmp central de forte 7 Miscarea în câmp central de forte 8 Miscarea în câmp central de forte 9
$ \dot r \! $ are semnificaţie fizică dacă $ E \ge U_{ef}(r) \! $
  • valorile lui r pentru care $ E=U_{ef}(r) \! $ definesc limitele intervalului de valori permise în timpul mişcării
  • punctul în care $ \dot r =0 \! $ = punct de întoarcere
  • dacă $ r_{min} \! $ este o rădăcină pozitivă a ecuaţiei $ E=U_{ef}(r) \! $ şi sunt permise pentru r toate rădăcinile cuprinse între $ (r_{min}, \infty) \! $ şi dacă $ r_0 > r_{min}, \! $ mişcarea particulei este nelimitată.
  • dacă ecuaţia $ E=U_{ef}(r) \! $ are rădăcini distincte şi pozitive, $ r_{min} < r_{max} \! $ şi dacă în intervalul $ r \in [r_{min}, r_{max}] \! $ este verificată inegalitatea $ E \ge U_{ef}(r) \! $ atunci mişcarea este limitată.
  • întreaga traiectorie este conţinută într-o coroană circulară

$ \Delta \varphi = \pm \int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{l}{r^2 \sqrt {2 \mu (U-E_{ef})}} dr \! $

  (55)

$ n \cdot \Delta \varphi = m \cdot 2 \pi; \; (n, m \ge 1) \! $   (56)


$ \Rightarrow \! $

$ \Delta \varphi = \frac m n \cdot 2 \pi \! $


Condiţia de "închidere" a traiectoriei (raza vectoara a punctului, după ce a efectuat m rotaţii complete, îşi va regăsi valoarea iniţială)

$ U(r) = \begin{cases} - \frac k r \\ kr^2 \end{cases} \! $   (57)

Ecuaţia diferenţială a orbitei Edit

Am găsit forma generală pentru $ r= r(\varphi) \! $ sau $ r=r(t) \! $ şi câteva constante E, l etc. şi căutăm $ r=r(\varphi) \! $ eliminând parametrul timp, ceea ce înseamnă ecuaţia orbitei.

$ \mu r^2 \dot \varphi = l \! $   (58)

$ \Rightarrow \! $

$ \mu r^2 \frac{d \varphi}{dt} = l \; \Rightarrow \; \mu r^2 d \varphi = \mathit l dt \! $   (59)

$ \Rightarrow \! $

$ \frac{d}{dt} = \frac{l}{\mu r^2} \cdot \frac{d}{d \varphi} \! $   (60)

$ \Rightarrow \! $

$ \frac{d^2}{dt^2} = \frac{l}{\mu r^2} \frac{d}{d \varphi} \left ( \frac{l}{\mu r^2} \frac{d}{d \varphi} \right ) \! $   (61)


Înlocuind în ecuaţia Lagrange $ \mu \ddot r - \frac{l^2}{\mu r^3} = - \frac{\partial U}{\partial r} = f(r) \! $   (62)


$ \Rightarrow \! $

$ \frac{1}{r^2} \frac{d}{d \varphi} \left ( \frac{l}{\mu r^2} \frac{dr}{d \varphi} \right ) - \frac{l^2}{\mu r^3} = f(r). \! $   (63)


Însă $ \frac{1}{r^2} \cdot \frac{dr}{d \varphi} = - \frac{d}{d \varphi} \left ( \frac 1 r \right ) \! $   (64) şi introducând $ u = \frac 1 r \! $ rezultă:

$ \frac{l^2 u^2}{\mu} \left ( \frac{d^2u}{d \varphi^2} + u \right ) = -f(\frac 1 u) \! $   (65)


deoarece $ \frac{d}{du} = \frac{dr}{d \varphi} \frac{d}{dr} = - \frac{1}{u^2} \frac{d}{dv} \! $ rezultă:

$ \frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = - \frac{\mu}{l^2} \frac{d}{du} D \left ( \frac 1 u \right ) \! $   (66)

(65) şi (66) sunt ecuaţiile diferenţiale ale orbitei (ecuaţia Binet) dacă se cunosc f sau U.


Pentru un potenţial oarecare

$ d \varphi = \frac{l \mathit {dr}}{\mu r^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} (E-U_{ef}(r))}} = \frac {l \mathit {dr}}{\mu r^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} \left ( E-U(r) - \frac {l^2}{2 \mu r^2} \right )}} \! $   (67)

$ \Rightarrow \! $

$ \varphi = \int_{r_0}^{r} \frac{dr}{r^2 \sqrt {\frac{2 \mu E}{l^2} - \frac {2 \mu U}{l^2} - \frac{1}{r^2} }} + \varphi_0 \! $   (68)

(ecuaţie ce dă $ \varphi \! $) ca funcţie de r şi constantele $ E, l, r_0 \! $

Făcând schimbarea de variabilă $ u = \frac 1 r \! $

$ \Rightarrow \! $

$ \varphi=\varphi_0 - \int_{u_0}^u \frac{du}{\sqrt{\frac{2 \mu E}{l^2} - \frac{2 \mu U}{l^2} - u^2 }} \! $   (69)

(ecuaţia formală a orbitei)

Problema lui Kepler Edit

$ f(r) = - \frac{k}{r^2} \; \Rightarrow \; U(r) = - \frac{k}{r} \! $   (70)
$ U_{ef} = -\frac{k}{r} + \frac{l^2}{2mr^2} \! $   (71)
Miscarea în câmp central de forte 10
$ \frac{d^2u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2u^2} f \left ( \frac 1 u \right ) \! $   (72)
$ \frac{d^2u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2} \frac {d}{du} U \left ( \frac 1 u \right ) \! $   (73)
$ \Rightarrow \! $
$ \frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = \frac{mk}{l^2} \! $   (74)


Facem schimbarea de variabilă $ y=u- \frac{mk}{l^2} \! $

$ \Rightarrow \! $
$ \frac{d^y}{d \varphi^2} +y =0 \! $   (75)
$ \Rightarrow \! $
$ y=\mathcal C \cos (\varphi - \varphi') \! $   (76)

($ \mathcal C, \varphi \! $ constante de integrare.)

Notăm: $ \varepsilon = \mathcal C \frac{l^2}{mk} \! $   (77)

$ \Rightarrow \! $
$ \frac{1}{r} = \frac{mk}{l^2} [1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi')] \! $   (78)
$ \varphi=\varphi_0 - \int \frac{du}{\sqrt {\frac{2mE}{l^2}- frac{2mU}{l^2} - u^2 }} \! $   (79)

însă $ \int \frac{dx}{\sqrt {a+bx+cx^2}} = \frac{1}{\sqrt {-c}} \arccos \left [- \frac{b+2x}{\sqrt{b^2-4ac}} \right ] \; \; a = \frac{2mE}{l^2}; \; \; b =\frac{2mk}{l^2}; \; \; c=-1 \! $   (80)

$ \int d \varphi = - \int \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+ \frac{2mku}{l^2} -u^2 }} = - \int \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+ \frac{m^2k^2}{l^4} - \left ( \frac{mk}{l^2} - u^2 \right )^2}} = \! $   (81)
$ = - \frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2} + \frac{m^2 k^2}{l^4} }} \cdot \int \frac{du}{\sqrt {1 - \left ( \frac{\frac{mk}{l^2} -u }{\sqrt {\frac{2mE}{l^2} + \frac{m^2k^2}{l^4} }} \right )^2} } \! $   (82)
$ =- \int \frac{\sin \omega}{\sin \omega} d \omega = - \omega \; \; \Rightarrow \; \; \cos \omega = \cos (\varphi-\varphi') = \frac{\frac{mk}{l^2} -u }{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+ \frac{m^2k^2}{l^4} } } \! $   (83)
$ \Rightarrow \! $
$ \varphi= \varphi' - \arccos \left [ \frac{\frac{l^2u}{mk}-1}{\sqrt{1+ \frac{2El^2}{mk^2} } } \right ] \! $   (84)

deoarece $ u = \frac{1}{r} \! $

$ \Rightarrow \! $
$ u=\frac 1 r = \frac{mk}{l^2} \left [ 1+ \sqrt {1 +\frac{2El^2}{mk^2} } \cos (\varphi- \varphi') \right ] = \frac{mk}{l^2} [1 + \varepsilon \cos (\varphi- \varphi') ] \! $   (85)


Ecuaţia generala a conicei ($ \varepsilon \! $ fiind excentricitatea)

Miscarea în câmp central de forte 11
  • $ \varepsilon > 1, \; E>0: \! $ hiperbola
  • $ \varepsilon = 1, \; E=0: \! $ parabola
  • $ \varepsilon < 1, \; E<0: \! $ elipsa
  • $ \varepsilon =0, \; E=- \frac{mk^2}{2l^2}: \! $ cerc.


Miscarea în câmp central de forte 12 Miscarea în câmp central de forte 13

Orbite mărginite Edit

$ E=E_2 \; \Rightarrow \; r_{min} < r < r_{max} \! $
Miscarea în câmp central de forte 14
Miscarea în câmp central de forte 15
Miscarea în câmp central de forte 16
$ \frac 1 r = \frac{mk}{l^2} (1 \pm \varepsilon) \! $   (86)
  • Lungimea axei mari: $ a= \frac{l^2}{2mk} \left ( \frac{1}{1+ \varepsilon}+\frac{1}{1- \varepsilon} = - \frac{k}{2E} \right ) \! $   (87)
  • Lungimea axei mici: $ b=a \sqrt {1- \varepsilon^2} = \sqrt {- \frac{l^2}{2mE}} \! $   (88)
  • Axa orbitei: $ A = \pi a b = \pi \sqrt{- \frac{l^2 k^2}{8m E^3} } \! $   (89)
  • Viteza areolară: $ \frac{dA}{dt} = \frac 1 2 r^2 \dot \varphi^2 = \frac 1 m \! $   (90)
  • Perioada de rotaţie $ T_{rot} = \frac{A}{\left ( \frac {dA}{dt} \right )} = \pi \sqrt{- \frac {mk^2}{2E^3}} = 2 \pi \sqrt {\frac{m}{k}} a^{\frac 3 2} \! $   (91) (Legea a treia a lui Kepler)


dacă $ f = - \frac{k}{r^2} = - G \frac{Mm}{r^2} \! $   (92)


Atunci $ T_{rot} = 2 \pi \sqrt {\frac{\mu}{k} } a^{\frac 3 2} = \beta a^{\frac 3 2} \! $   (93)

unde $ \beta= 2 \pi \sqrt {\frac {1}{G(M+m)} } \! $   (94) este acelaşi pentru toate planetele dacă $ M \gg m $


Miscarea în câmp central de forte 17


Miscare in camp central 1 Miscare in camp central 2 Miscare in camp central 3 Miscare in camp central 4 Miscare in camp central 5 Miscare in camp central 6

Vezi şi Edit

Resurse Edit