Fandom

Math Wiki

Mișcare în câmp central de forțe

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Problema celor două corpuri Edit

Ne propunem determinarea ecuaţiilor de mişcare pentru două corpuri de mase m_1 \! şi m_2 \! care interacţionează unul cu altul prin intermediul unui câmp central de forţă.:

Miscarea în câmp central de forte 1.png
\vec F = f(r) \cdot \hat r = - \frac{\partial U}{\partial r} \cdot \hat r; \!   (1)
\hat r = \frac{\vec r}{r} = \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|}; \!   (2)
\vec r = \vec r_1 - \vec r_2. \!   (3)

Poziţia centrului de masă (CM):

\vec R = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2}{m_1 + m_2} \!   (4)

Exprimăm vectorii r_1 \! şi r_2 \! ca funcţii de \vec r \! şi \vec R: \!

\left . \begin{matrix} \vec r = \vec r_1 - \vec r_2 \\ \frac{(m_1+m_2) \cdot \vec R}{m_2} = \frac{m_1}{m_2} \vec r_1 + r_2 \end{matrix} \right \} \; \Rightarrow \; \vec r_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2} \left ( \vec r + \frac{(m_1+m_2) \vec R}{m_2}  \right ) \!   (5)
Miscarea în câmp central de forte 2.png

\mu_{pozitron} = \frac{m_e \cdot m_e}{(m_e+m_e)} = \frac{m_e}{2} \!
m(p) \gg m(e^+) \!
\mu_{hidrogen} = \frac{m_p m_e}{(m_p+ m_e)} \approx m_e \!

\vec r_1 = \vec R + \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec r \!   (6)
\vec r_2 = \vec R - \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec r \!   (7)


Funcţia Lagrange pentru sistem devine:

L = \frac 1 2 m_1 \dot r_1^2 +  \frac 1 2 m_2 \dot r_2^2 - U(r) = \!   (8)

deci

L = \frac{m_1}{2} \left ( \dot {\vec R} + \frac{m_2}{M} \dot {\vec r} \right ) ^2 + \frac{m_2}{2} \left ( \dot {\vec R} - \frac{m_1}{M} \dot {\vec r} \right ) ^2 - U(r) \!   (9)

unde M=m_1+m_2 \!

notând: \mu= \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \!   (10) (masa redusă a sistemului)

Rezultă:

L = \frac 1 2 M \dot R^2 + \frac 1 2 \mu \dot r^2 - U(r). \!   (11)

Aceleaşi rezultate obţinem alegând CM ca noua origine a sistemului.

\vec r'_1 = \vec r_1 - \vec R \!   (12)
\vec r'_2 = \vec r_2 - \vec R \!   (13)

Conform teoremei lui König:

m_1 \vec r'_1 + m_2 \vec r'_2 = 0. \!   (14)

Notând: M= m_1+m_2 \; \; \vec r= \vec r_1 - \vec r_2 = \vec r'_1-\vec r'_2. \!   (15)

\vec r'_1 = \frac{m_2}{M} \vec r \; \; \vec r'_2 = \frac{m_1}{M} \vec r \!   (16)
L = \frac 1 2 M V_{CM}^2 + \frac 1 2 \mu \dot r^2 - U (r) \!   (17)
\frac 1 2 M \dot R^2 + \frac 1 2 \mu \dot r^2 - U(r) \!   (18)


a) \left . \begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial \dot R} = M \dot R \\ \\ \frac{\partial L}{\partial R} =0 \end{matrix} \right \} \; \Rightarrow \; \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial l}{\partial \dot R} \right ) - \frac{\partial L}{\partial R} = 0 \; \Rightarrow \; M \ddot R =0 \; \Rightarrow \; M \dot R = const \!   (19)

\left . \begin{matrix} M \dot R = M \left ( \frac{m_1 \dot r_1 + m_2 \dot r_2}{m_1 + m_2} \right ) = m_1 \dot r_1 + m_2 \dot r_2 = p_1 + p_2 \\ \\ M \dot R = p_{Total} \end{matrix}  \right \} \; \Rightarrow \; p_{Total} = p_1+p_2 \!   (20)

Deci impulsul total se conservă.

b) \left . \begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial \dot r} = \mu \dot r  \\ \\ \frac{\partial L}{\partial r} = - \frac{\partial U}{\partial r} \frac r r = - \frac{\partial U}{\partial r} \hat r \end{matrix}  \right \} \; \Rightarrow \; \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot r} \right ) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 \; \Rightarrow \; \mu \ddot r + \frac{\partial U}{\partial r} \hat r = 0 \!   (21)


Concluzii Edit

Miscarea în câmp central de forte 3.png
  • Mişcarea a două puncte materiale care interacţionează între ele se reduce la problema mişcării unui punct de masă \mu \! într-un câmp exterior.
  • Observăm că a) şi b) nu sunt cuplate şi deci mişcarea \mathbf{CM}R(t) \! este decuplată de mişcarea relativă \mathbf r(t). \!
  • Putem ignora mişcarea \mathbf{CM}R(t). \!


Sistemul câmpului central de forţe are simetrie sferică.

\Rightarrow \!

Se poate roti în jurul oricărei axe care trece prin origine.

\Rightarrow \!

Simetrie rotaţională:

  • Lagragianul nu depinde de direcţie:
L = T (\dot r^2) - U(r) \!   (22)

\Rightarrow \!

Momentul unghiular se conservă:

L = r \times p = const. \!   (23)

Miscarea în câmp central de forte 4.png

\vec L \cdot \vec r  = (\vec r \times \vec p) \cdot \vec r =0 \!   (24)
\vec r \perp \vec L \!   (25)

\Rightarrow \!

  • Traiectoria \vec r(t) \! este conţinută în întregime într-un plan ortogonal cu \vec L. \!

\Rightarrow \!

\dot {\vec r} = r \hat e + r \dot {\varphi} \hat e_{\theta} \!   (26)

Lagrangianul în coordonate polare va fi:

L = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) - U(r) \!   (27)

Observăm că \varphi \! este coordonată ciclică, momentul sau conjugat p_{\varphi} \! se va conserva:

p_{\varphi} = \frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = \mu r^2 \dot \varphi \equiv l \!   (28) (mărimea momentului unghiular)

Introducem noţiunea de viteză areolară

Legea a II-a a lui Kepler:

Miscarea în câmp central de forte 5.png
Miscarea în câmp central de forte 6.png

Vectorul de poziţie al unei planete mătură arii egale în intervale de timp egale.

\mathit d A = \frac  1 2 \vec r (\vec r \mathit d \varphi) = \frac 1 2 r^2 \mathit d \varphi \!   (29)

Rezultă viteza areolară:

\frac{\mathit dA}{\mathit dt} = \frac 1 2 r^2 \varphi = \frac 1 2 \frac{l}{\mu}= const. \!   (30)

Mişcarea planetei este mai rapidă când orbita este mai apropiată de origine.


Stabilim ecuaţia Lagrange:

\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot r} \right ) - \frac{\partial L}{\partial \dot r} =0 \; \Rightarrow \; \mu \ddot r - \mu r \dot \varphi^2 + \frac{\partial U}{\partial r} =0  \!   (31)

unde

\mu r \dot \varphi^2 \!   (32)

este forţa centrifugă, iar

\frac{\partial U}{\partial r} \!   (33)

este forţa centrală.


Dar \dot \varphi = \frac{l}{\mu r^2} \!   (33)

deci

\mu \ddot r - \frac{l^2}{\mu r^3} + \frac{\partial U}{\partial r} = 0 \!   (34)


însă \ddot r = \frac{d \dot r}{dt} = \frac{d \dot r}{dr} \frac{dr}{dt} = \frac {d \dot r}{dr} \dot r \!   (35)

\mu \frac{d \dot r}{dr} \dot r = \frac{l^2}{\mu r^3} - \frac{\partial U}{\partial r} \!   (36)
\int \mu \dot r d \dot r = \int \left ( \frac{l^2}{\mu r^3} - \frac{\partial U}{\partial r} \right ) \mathit d r \; \Rightarrow \; \frac 1 2 \mu \dot r^2 = - \frac 1 2 \frac{l^2}{\mu r^2} - U(r) + E \!   (37)

unde E este constanta de integrare:

E = \frac 1 2 \mu \dot r^2 + \frac 1 2 \frac{l^2}{\mu r^2} + U(r) \!   (38)

unde: U_{ef}(r) = \frac 1 2 \frac{l^2}{\mu r^2} + U(r). \!   (39)


Conservarea energiei:

E=T + U(r) = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + U(r) \sim r(t) \!   (40)


Din ecuaţia Lagrange:

\mu \ddot r - \frac {l^2}{\mu r^3} + \frac{\partial U}{\partial r} = 0  \; \Rightarrow \; \mu \ddot r = - \frac{d}{dr} \left [ U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2} \right ] \!   (41)


Înmulţind cu \dot r \! rezultă:

\mu \dot r \ddot r = - \dot r \frac{d}{dr} \left [ U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2} \right ] \!   (42)

deoarece:

\mu \ddot r \dot r = \frac{d}{dt} \left ( \frac 1 2 \mu \dot r^2 \right ) \; \; - \dot r \frac{d}{dr} = - \frac{dr}{dt} \frac{d}{dr} = - \frac {d}{dt} \!   (43)
\Rightarrow \; \; \frac{d}{dt} \left [ \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2}  \right ]  = 0. \!   (44)

Astfel:

\frac 1 2 \mu \dot r^2 + U(r) + \frac 1 2 \frac {l^2}{\mu r^2} = const \!   (45)

deoarece: \frac {l^2}{2 \mu r^2} = \frac {\mu r^2 \dot \varphi^2}{2} \; \; \Rightarrow \!   (46)

E=T +U(r) = \frac 1 2 \mu (\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2) + U(r) = const. \!   (47)


Ecuaţia Lagrange devine:

\mu \ddot r = - \frac {\partial U_{ef}(r)}{\partial r} \!   (48)   (Mişcarea unei particule într-un potenţial efectiv)


Energia: E= \frac 1 2 \mu \dot r^2 + U_{ef} (r) \!   (49)

\Rightarrow \; \; \dot r = \frac{dr}{dt} = \pm \sqrt {\frac{2}{\mu} (E-U_{ef}(r))} \; \; \Rightarrow \; \; t = \pm \int_0^t \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu} (E-U_{ef}(r))}} + const \equiv r(t) \!   (50)


\dot \varphi = \frac {l}{\mu r^2} = \frac {d \varphi}{dt} \; \; \Rightarrow \; \; \varphi(t) = \int_0^t \frac {l}{\mu [r(t)]^2} dt + \varphi_0 \!   (51)


Pentru valori date ale lui E şi l (mărimi care se conservă) căutăm r(\varphi): \!   (52)


\dot r = \frac{dr}{d \varphi} \dot \varphi = \frac {dr}{d \varphi} \frac {l}{\mu r^2} = \pm \sqrt {\frac {2}{\mu} (E-U_{ef})} \; \; \Rightarrow \!   (53)
\Rightarrow \; \; \varphi = \pm \int_{r_0}^r \frac {l}{r^2 \sqrt {2 \mu (E-U_{ef})}} dr + const \equiv \varphi(r) \!   (54)


Ecuaţia traiectoriei Edit

Miscarea în câmp central de forte 7.png Miscarea în câmp central de forte 8.png Miscarea în câmp central de forte 9.png
\dot r \! are semnificaţie fizică dacă E \ge U_{ef}(r) \!
  • valorile lui r pentru care E=U_{ef}(r) \! definesc limitele intervalului de valori permise în timpul mişcării
  • punctul în care \dot r =0 \! = punct de întoarcere
  • dacă r_{min} \! este o rădăcină pozitivă a ecuaţiei E=U_{ef}(r) \! şi sunt permise pentru r toate rădăcinile cuprinse între (r_{min}, \infty) \! şi dacă r_0 > r_{min}, \! mişcarea particulei este nelimitată.
  • dacă ecuaţia E=U_{ef}(r) \! are rădăcini distincte şi pozitive, r_{min} < r_{max} \! şi dacă în intervalul r \in [r_{min}, r_{max}] \! este verificată inegalitatea E \ge U_{ef}(r) \! atunci mişcarea este limitată.
  • întreaga traiectorie este conţinută într-o coroană circulară

\Delta \varphi = \pm \int_{r_{min}}^{r_{max}} \frac{l}{r^2 \sqrt {2 \mu (U-E_{ef})}} dr \!

  (55)

n \cdot \Delta \varphi = m \cdot 2 \pi; \; (n, m \ge 1) \!   (56)


\Rightarrow \!

\Delta \varphi = \frac m n \cdot 2 \pi \!


Condiţia de "închidere" a traiectoriei (raza vectoara a punctului, după ce a efectuat m rotaţii complete, îşi va regăsi valoarea iniţială)

U(r) = \begin{cases} - \frac k r \\ kr^2 \end{cases} \!   (57)

Ecuaţia diferenţială a orbitei Edit

Am găsit forma generală pentru r= r(\varphi) \! sau r=r(t) \! şi câteva constante E, l etc. şi căutăm r=r(\varphi) \! eliminând parametrul timp, ceea ce înseamnă ecuaţia orbitei.

 \mu r^2 \dot \varphi = l \!   (58)

\Rightarrow \!

\mu r^2 \frac{d \varphi}{dt} = l \; \Rightarrow \; \mu r^2 d \varphi = \mathit l dt \!   (59)

\Rightarrow \!

\frac{d}{dt} = \frac{l}{\mu r^2} \cdot \frac{d}{d \varphi} \!   (60)

\Rightarrow \!

\frac{d^2}{dt^2} = \frac{l}{\mu r^2} \frac{d}{d \varphi} \left ( \frac{l}{\mu r^2} \frac{d}{d \varphi} \right ) \!   (61)


Înlocuind în ecuaţia Lagrange \mu \ddot r - \frac{l^2}{\mu r^3} = - \frac{\partial U}{\partial r} = f(r) \!   (62)


\Rightarrow \!

\frac{1}{r^2} \frac{d}{d \varphi} \left ( \frac{l}{\mu r^2} \frac{dr}{d \varphi} \right ) - \frac{l^2}{\mu r^3} = f(r). \!   (63)


Însă \frac{1}{r^2} \cdot \frac{dr}{d \varphi} = - \frac{d}{d \varphi} \left ( \frac 1 r \right ) \!   (64) şi introducând u = \frac 1 r \! rezultă:

\frac{l^2 u^2}{\mu} \left ( \frac{d^2u}{d \varphi^2} + u \right ) = -f(\frac 1 u) \!   (65)


deoarece \frac{d}{du} = \frac{dr}{d \varphi} \frac{d}{dr} = - \frac{1}{u^2} \frac{d}{dv} \! rezultă:

\frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = - \frac{\mu}{l^2} \frac{d}{du} D \left ( \frac 1 u \right ) \!   (66)

(65) şi (66) sunt ecuaţiile diferenţiale ale orbitei (ecuaţia Binet) dacă se cunosc f sau U.


Pentru un potenţial oarecare

d \varphi = \frac{l \mathit {dr}}{\mu r^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} (E-U_{ef}(r))}} = \frac {l \mathit {dr}}{\mu r^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} \left ( E-U(r) - \frac {l^2}{2 \mu r^2} \right )}} \!   (67)

\Rightarrow \!

\varphi = \int_{r_0}^{r} \frac{dr}{r^2 \sqrt {\frac{2 \mu E}{l^2} - \frac {2 \mu U}{l^2} - \frac{1}{r^2} }} + \varphi_0 \!   (68)

(ecuaţie ce dă \varphi \!) ca funcţie de r şi constantele E, l, r_0 \!

Făcând schimbarea de variabilă u = \frac 1 r \!

\Rightarrow \!

\varphi=\varphi_0 - \int_{u_0}^u \frac{du}{\sqrt{\frac{2 \mu E}{l^2} - \frac{2 \mu U}{l^2} - u^2 }} \!   (69)

(ecuaţia formală a orbitei)

Problema lui Kepler Edit

f(r) = - \frac{k}{r^2} \; \Rightarrow \; U(r) = - \frac{k}{r} \!   (70)
U_{ef} = -\frac{k}{r} + \frac{l^2}{2mr^2} \!   (71)
Miscarea în câmp central de forte 10.png
\frac{d^2u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2u^2} f \left ( \frac 1 u \right ) \!   (72)
\frac{d^2u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2} \frac {d}{du} U \left ( \frac 1 u \right ) \!   (73)
\Rightarrow \!
\frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = \frac{mk}{l^2} \!   (74)


Facem schimbarea de variabilă y=u- \frac{mk}{l^2} \!

\Rightarrow \!
\frac{d^y}{d \varphi^2} +y =0 \!   (75)
\Rightarrow \!
y=\mathcal C \cos (\varphi - \varphi') \!   (76)

(\mathcal C, \varphi \! constante de integrare.)

Notăm: \varepsilon = \mathcal C \frac{l^2}{mk} \!   (77)

\Rightarrow \!
\frac{1}{r} = \frac{mk}{l^2} [1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi')] \!   (78)
\varphi=\varphi_0 - \int \frac{du}{\sqrt {\frac{2mE}{l^2}- frac{2mU}{l^2} - u^2  }} \!   (79)

însă \int \frac{dx}{\sqrt {a+bx+cx^2}} = \frac{1}{\sqrt {-c}} \arccos \left [- \frac{b+2x}{\sqrt{b^2-4ac}} \right ] \; \; a = \frac{2mE}{l^2}; \; \; b =\frac{2mk}{l^2}; \; \; c=-1 \!   (80)

\int d \varphi = - \int \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+ \frac{2mku}{l^2} -u^2 }} =  - \int \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+ \frac{m^2k^2}{l^4} - \left ( \frac{mk}{l^2} - u^2  \right )^2}} = \!   (81)
= - \frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2} + \frac{m^2 k^2}{l^4} }} \cdot \int \frac{du}{\sqrt {1 - \left ( \frac{\frac{mk}{l^2} -u }{\sqrt {\frac{2mE}{l^2} + \frac{m^2k^2}{l^4} }}  \right )^2} }  \!   (82)
=- \int \frac{\sin \omega}{\sin \omega} d \omega = - \omega \; \; \Rightarrow \; \; \cos \omega = \cos (\varphi-\varphi') = \frac{\frac{mk}{l^2} -u }{\sqrt{\frac{2mE}{l^2}+ \frac{m^2k^2}{l^4} } }  \!   (83)
\Rightarrow \!
\varphi= \varphi' - \arccos \left [ \frac{\frac{l^2u}{mk}-1}{\sqrt{1+ \frac{2El^2}{mk^2} } } \right ] \!   (84)

deoarece u = \frac{1}{r} \!

\Rightarrow \!
u=\frac 1 r = \frac{mk}{l^2} \left [ 1+ \sqrt {1 +\frac{2El^2}{mk^2} } \cos (\varphi- \varphi') \right ] = \frac{mk}{l^2} [1 + \varepsilon \cos (\varphi- \varphi') ] \!   (85)


Ecuaţia generala a conicei (\varepsilon \! fiind excentricitatea)

Miscarea în câmp central de forte 11.png


Miscarea în câmp central de forte 12.png Miscarea în câmp central de forte 13.png

Orbite mărginite Edit

E=E_2 \; \Rightarrow \; r_{min} < r < r_{max} \!
Miscarea în câmp central de forte 14.png
Miscarea în câmp central de forte 15.png
Miscarea în câmp central de forte 16.png
\frac 1 r = \frac{mk}{l^2} (1 \pm \varepsilon) \!   (86)
  • Lungimea axei mari: a= \frac{l^2}{2mk} \left ( \frac{1}{1+ \varepsilon}+\frac{1}{1- \varepsilon} = - \frac{k}{2E} \right ) \!   (87)
  • Lungimea axei mici: b=a \sqrt {1- \varepsilon^2} = \sqrt {- \frac{l^2}{2mE}} \!   (88)
  • Axa orbitei: A = \pi a b = \pi \sqrt{- \frac{l^2 k^2}{8m E^3} }  \!   (89)
  • Viteza areolară: \frac{dA}{dt} = \frac 1 2 r^2 \dot \varphi^2 = \frac 1 m \!   (90)
  • Perioada de rotaţie T_{rot} = \frac{A}{\left ( \frac {dA}{dt} \right )} = \pi \sqrt{- \frac {mk^2}{2E^3}} = 2 \pi \sqrt {\frac{m}{k}} a^{\frac 3 2} \!   (91) (Legea a treia a lui Kepler)


dacă f = - \frac{k}{r^2} = - G \frac{Mm}{r^2}  \!   (92)


Atunci T_{rot} = 2 \pi \sqrt {\frac{\mu}{k} } a^{\frac 3 2} = \beta a^{\frac 3 2}
 \!   (93)

unde \beta= 2 \pi \sqrt {\frac {1}{G(M+m)} } \!   (94) este acelaşi pentru toate planetele dacă M  \gg m


Miscarea în câmp central de forte 17.png


Miscare in camp central 1.png Miscare in camp central 2.png Miscare in camp central 3.png Miscare in camp central 4.png Miscare in camp central 5.png Miscare in camp central 6.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki