Fandom

Math Wiki

Metoda tangentei

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Imagine metoda tangentei.gif

Introducere Edit

Metoda lui Newton sau metoda tangentei este una din metodele aplicate pentru rezolvarea ecuaţiilor neliniare. Cu ajutorul teoremei lui Kantorovici se poate trage concluzia privind unicitatea, existenţa şi domeniul în care se găseşte soluţia.

Vom prezenta această metodă pentru axa reală, pentru spaţiul \mathbb R^n \! şi în spații Banach.

Istoric Edit

În Mesopotamia antică era cunoscută metoda de rezolvare a ecuaţiei de gradul al doilea ax=x^2+b, \! cu coeficienţi a, b pozitivi, ecuaţie echivalentă cu sistemul de gradul al doilea:

\begin{cases} x+y=a \\ x \cdot y = b  \end{cases}, \!

de unde

xy=\frac{a^2}{4}-z^2=b \; \Rightarrow \; z= \sqrt{\frac{a^2}{4}-b}. \!

Textele păstrate conţin probleme a căror transpunere se exprimă printr-un sistem de ecuaţii, care implică operaţii de forma:

(ax+by)^2 + \frac c d [ex+fy+ \frac g h (ix+jy)]^2=k \!

cu coeficienţi numere întregi.


Întâlnim şi probleme numerice care conduc la rezolvarea ecuaţiilor de gradul 4, 6 sau 8, reductibile la gradul al doilea.

Diofant (sec. III-IV) rezolvă şi sistemele de forma:

\begin{cases} x+y=a \\ x^2+y^2=b \end{cases} \!

reţinând numai soluţiile pozitive, ca şi sistemele de forma:

\begin{cases} (x+y)z=a \\ (y+z)x=b \\ (z+x)y=c \end{cases} \!


În vechiul Babilon erau cunoscute câteva cazuri simple de triunghiuri dreptunghice cu laturile numere naturale, de exemplu : 3, 4, 5 ; 5, 12, 13 ; 7, 24, 25 ; 8, 15, 17 etc., dar problema generală a rezolvării în numere întregi a ecuaţiei pitagorice:

x^2+y^2=z^2 \!

a fost enunţată chiar în şcoala lui Pitagora (sec. VI î.e.n.), unde era cunoscută o soluţie în numere prime între ele:

\begin{cases} x=2p+1 \\ y=2p^2+2p \\ z =2p^2+2p+1 \end{cases} \!

Diofant rezolva în numere întregi ecuaţii de felul ax+by=c, \! numite ecuaţii diofantice. Rezolvarea se referea la valori numerice particulare ale coeficienţilor; dar soluţia era obţinută prin raţionamente aritmetice, nu prin încercări. Diofant determina o singură soluţie pozitivă.


În Evul Mediu, rezolvarea ecuaţiilor de gradul întâi şi al doilea nu prezenta dificultăţi.

Magavira (sec. IX) considera ecuaţii reductibile la gradul al doilea, de forma:

ax+bx^2+c(ax+bx^2)^2=d. \!

Al Kasi (sec. XIV-XV) a dat o metodă de rezolvare prin aproximaţii a ecuaţiei particulare x=\frac{q+x^3}{p} \! printr-un procedeu de iterare. Metodele de rezolvare numerica ale lui Al Kasi sunt printre cele mai importante rezultate ale stiintei arabe.

Pâna în secolul al XVII-lea n-au fost obţinute metode de rezolvare a ecuaţiilor de grad oarecare şi pe de altă parte, chiar pentru ecuaţiile de gradul al treilea şi al patrulea formulele cunoscute sunt prea complicate, deci nepractice. Numeroasele probleme de geometrie, de astronomie necesită determinarea unei soluţii reale într-un interval dat. Astfel au fost căutate formule de rezolvare prin aproximări a ecuaţiilor numerice.

Simon Stevin a observat că un polinom f(x) (o funcție continuă), pentru care f(a) \cdot f(b)<0 \! are o rădăcină în întervalul (a,b) \!. Micşorând intervalul, prin calcule succesive, putem să ne apropiem de rădăcina.

René Descartes a arătat că numărul de rădăcini pozitive ale unei ecuaţii algebrice este cel mult egal cu numărul variaţiilor şi diferă de acesta printr-un număr par. Facând transformarea x \rightarrow -x \! obţinem o limitare şi a numărului rădăcinilor negative, deci în total, a rădăcinilor reale ale ecuaţiei.

Isaac Newton a dat, în 1707, o metodă pentru determinarea marginilor rădăcinilor reale ale unei ecuaţii algebrice.

Considerăm ecuaţia algebrică f(x)=0 \! de gradul n şi formăm derivatele:

f(x), f'(x), f''(x), \cdots , f^{(n)}(x). \!

Fie c un număr pozitiv pentru care toate polinoamele precedente sunt pozitive. Atunci c este margine superioară a rădăcinilor pozitive.


Secolul al XVIII-ea Edit

În secolul al XVIII-lea apare teoria ecuaţiilor nedeterminate.

a) O ecuaţie nedeterminată în două variabile de gradul întâi este de forma:

ax+by=c, \!

unde a, b, c sunt coeficienţi întregi, iar x, y sunt necunoscute, numere întregi. O astfel de ecuaţie este numită ecuaţie diofantică, fiind considerată prima oară de către Diofant (sec. III-IV).

Condiţia necesară şi suficientă ca o ecuaţie diofantică să aibă soluţii este ca cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b să fie divizor al lui c. Dacă x_0, y_0 \! este soluţie particulară a ecuaţiei, atunci:

\begin{cases} x=x_0+bt  \\ y=y_0-at \end{cases}, \!

t fiind un număr întreg arbitrar, este soluţia ecuaţiei.

Joseph-Louis Lagrange a dat, în 1767, metoda obşnuită de obţinere a unei soluţii particulare x_0, y_0 \! a ecuaţiei, prin dezvoltarea în fracţie continuă infinită a numărului \frac a b \! raţonal. Soluţia particulară care generează soluţia generală este:

\begin{cases} x_0= (-1)^{n-1} Q_{n-1}c \\ y_0=(-1)^n P_{n-1}c \end{cases} \!


b) Un interes deosebit a continuat să îl prezinte studiul ecuaţiei cuadrice principale:

ax^2+1=y^2. \!

în mulţimea numerelor naturale, deci excluzând soluţia banală x=0, y=1 \! şi presupunând că a>0 \! nu este pătrat perfect.

Ecuaţia menţionată a fost considerată prima dată de către Arhimede (sec. III î.e.n) şi studiată de către Diofant (sec. III IV), Brahmagupta (sec. VII) , Baskara (sec. XI) , Fermat (sec. XVII); cercetată în continuare de către Euler, Lagrange, Legendre.


Fermat a indicat o metodă de rezolvare, numită metoda cascadelor. În 1762, Euler a rezolvat ecuaţia prin dezvoltare în fracţie continuă a numărului \sqrt a \! El a considerat şi ecuaţia în numere întregi:

ax^2+bx+c=y^2 \!

pe care a readus-o la forma simplă:

x^2+dy^2=k, \!

pe care a numit-o ecuaţie Pell.

Metoda tangentei 1.png

Metoda tangentei 2.png

Metoda tangentei 3.png

Metoda tangentei 4.png

Metoda tangentei 5.png

Metoda tangentei 6.png

Metoda tangentei 7.png

Metoda tangentei 8.png

Metoda tangentei 9.png

Metoda tangentei 10.png

Metoda tangentei 11.png

Metoda tangentei 12.png

Metoda tangentei 13.png

Metoda tangentei 14.png

Metoda tangentei 15.png


Metoda tangentei (1).png Metoda tangentei (2).png Metoda tangentei (3).png Metoda tangentei (4).png Metoda tangentei (5).png Metoda tangentei (6).png


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki