Introducere[]
Metoda lui Newton sau metoda tangentei este una din metodele aplicate pentru rezolvarea ecuaţiilor neliniare. Cu ajutorul teoremei lui Kantorovici se poate trage concluzia privind unicitatea, existenţa şi domeniul în care se găseşte soluţia.
Vom prezenta această metodă pentru axa reală, pentru spaţiul şi în spații Banach.
Istoric[]
În Mesopotamia antică era cunoscută metoda de rezolvare a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi a, b pozitivi, ecuaţie echivalentă cu sistemul de gradul al doilea:
de unde
Textele păstrate conţin probleme a căror transpunere se exprimă printr-un sistem de ecuaţii, care implică operaţii de forma:
![{\displaystyle (ax+by)^{2}+{\frac {c}{d}}[ex+fy+{\frac {g}{h}}(ix+jy)]^{2}=k\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/7c25f68b5497f371a77a8c121b3aab5448d8d44d)
cu coeficienţi numere întregi.
Întâlnim şi probleme numerice care conduc la rezolvarea ecuaţiilor de gradul 4, 6 sau 8, reductibile la gradul al doilea.
Diofant (sec. III-IV) rezolvă şi sistemele de forma:
reţinând numai soluţiile pozitive, ca şi sistemele de forma:
În vechiul Babilon erau cunoscute câteva cazuri simple de triunghiuri dreptunghice cu laturile numere naturale, de exemplu : 3, 4, 5 ; 5, 12, 13 ; 7, 24, 25 ; 8, 15, 17 etc., dar problema generală a rezolvării în numere întregi a ecuaţiei pitagorice:
a fost enunţată chiar în şcoala lui Pitagora (sec. VI î.e.n.), unde era cunoscută o soluţie în numere prime între ele:
Diofant rezolva în numere întregi ecuaţii de felul numite ecuaţii diofantice. Rezolvarea se referea la valori numerice particulare ale coeficienţilor; dar soluţia era obţinută prin raţionamente aritmetice, nu prin încercări. Diofant determina o singură soluţie pozitivă.
În Evul Mediu, rezolvarea ecuaţiilor de gradul întâi şi al doilea nu prezenta dificultăţi.
Magavira (sec. IX) considera ecuaţii reductibile la gradul al doilea, de forma:
Al Kasi (sec. XIV-XV) a dat o metodă de rezolvare prin aproximaţii a ecuaţiei particulare printr-un procedeu de iterare. Metodele de rezolvare numerica ale lui Al Kasi sunt printre cele mai importante rezultate ale stiintei arabe.
Pâna în secolul al XVII-lea n-au fost obţinute metode de rezolvare a ecuaţiilor de grad oarecare şi pe de altă parte, chiar pentru ecuaţiile de gradul al treilea şi al patrulea formulele cunoscute sunt prea complicate, deci nepractice. Numeroasele probleme de geometrie, de astronomie necesită determinarea unei soluţii reale într-un interval dat. Astfel au fost căutate formule de rezolvare prin aproximări a ecuaţiilor numerice.
Simon Stevin a observat că un polinom f(x) (o funcție continuă), pentru care are o rădăcină în întervalul . Micşorând intervalul, prin calcule succesive, putem să ne apropiem de rădăcina.
René Descartes a arătat că numărul de rădăcini pozitive ale unei ecuaţii algebrice este cel mult egal cu numărul variaţiilor şi diferă de acesta printr-un număr par. Facând transformarea obţinem o limitare şi a numărului rădăcinilor negative, deci în total, a rădăcinilor reale ale ecuaţiei.
Isaac Newton a dat, în 1707, o metodă pentru determinarea marginilor rădăcinilor reale ale unei ecuaţii algebrice.
Considerăm ecuaţia algebrică de gradul n şi formăm derivatele:
Fie c un număr pozitiv pentru care toate polinoamele precedente sunt pozitive. Atunci c este margine superioară a rădăcinilor pozitive.
Secolul al XVIII-ea[]
În secolul al XVIII-lea apare teoria ecuaţiilor nedeterminate.
a) O ecuaţie nedeterminată în două variabile de gradul întâi este de forma:
unde a, b, c sunt coeficienţi întregi, iar x, y sunt necunoscute, numere întregi. O astfel de ecuaţie este numită ecuaţie diofantică, fiind considerată prima oară de către Diofant (sec. III-IV).
Condiţia necesară şi suficientă ca o ecuaţie diofantică să aibă soluţii este ca cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b să fie divizor al lui c. Dacă este soluţie particulară a ecuaţiei, atunci:
t fiind un număr întreg arbitrar, este soluţia ecuaţiei.
Joseph-Louis Lagrange a dat, în 1767, metoda obşnuită de obţinere a unei soluţii particulare a ecuaţiei, prin dezvoltarea în fracţie continuă infinită a numărului raţonal. Soluţia particulară care generează soluţia generală este:
b) Un interes deosebit a continuat să îl prezinte studiul ecuaţiei cuadrice principale:
în mulţimea numerelor naturale, deci excluzând soluţia banală şi presupunând că nu este pătrat perfect.
Ecuaţia menţionată a fost considerată prima dată de către Arhimede (sec. III î.e.n) şi studiată de către Diofant (sec. III IV), Brahmagupta (sec. VII) , Baskara (sec. XI) , Fermat (sec. XVII); cercetată în continuare de către Euler, Lagrange, Legendre.
Fermat a indicat o metodă de rezolvare, numită metoda cascadelor.
În 1762, Euler a rezolvat ecuaţia prin dezvoltare în fracţie continuă a numărului
El a considerat şi ecuaţia în numere întregi:
pe care a readus-o la forma simplă:
pe care a numit-o ecuaţie Pell.
