FANDOM


Una dintre cele mai importante metode numerice pentru rezolvarea ecuaţiilor algebrice şi transcendente este metoda aproximaţiilor succesive. Această metodă poate fi utilizată pentru rafinarea aproximaţiilor iniţiale ale rădăcinilor furnizate de alte metode (cum ar fi, spre exemplu, metoda înjumătățirii sau metoda poziției false).

Presupunem că se cere rezolvarea ecuaţiei:

$ f(x) =0, \! $   (1)

unde $ f(x) \! $ este o funcție continuă pe un interval $ [a, b]. \! $ Metoda aproximaţiilor succesive implică punerea acestei ecuaţii sub forma echivalentă:

$ x = \varphi (x), \! $   (2)

astfel încât ecuaţiile (1) şi (2) să aibă aceleaşi rădăcini. Punerea ecuaţiei (1) sub forma (2) este întotdeauna posibilă, chiar dacă funcţia $ f(x) \! $ nu conţine în mod explicit termenul x (eventual, se poate aduna acest termen în ambii membri ai ecuaţiei (1)).

Fie $ x_0 \! $ o aproximaţie iniţială pentru rădăcina $ \xi \! $ a ecuaţiei (2). Înlocuind acestă valoare în membrul drept al ecuaţiei, se obţine o aproximaţie îmbunătăţită a rădăcinii:

$ x_1 = \varphi (x_0). \! $

Înlocuind $ x_1 \! $ în membrul drept al ecuaţiei (2) se obţine o nouă aproximaţie:

$ x_2 = \varphi(x_1). \! $

Repetând acest procedeu, se obţine pornind de la x_0 secvenţa de numere:

$ x_{i+1} = \varphi (x_i), \; i = 0, 1, 2, \cdots \! $   (3)

Dacă acest şir este convergent, atunci există limita $ \xi = \lim x_i. \! $ Trecând la limită în (3) şi admiţând că $ \varphi(x) \! $ este continuă, găsim:

$ \lim_{i \to \infty} x_{i+1} = \varphi \left ( \lim_{i \to \infty} \right ), \! $ sau $ \xi = \varphi (\xi). \! $

Prin urmare, $ \xi \! $ este rădăcină a ecuaţiei (2) şi poate fi calculată pe baza relaţiei de recurenţă (3) cu orice precizie.

Din punct de veder geometric, o rădăcină reală $ \xi \! $ a ecuaţiei $ x = \varphi(x) \! $ este abscisa punctului de intersecţie a curbei $ y = \varphi (x) \! $ cu dreapta $ y=x \! $ (prima bisectoare). Relativ la valoarea derivatei $ \varphi'(x) \! $ în vecinătatea rădăcinii, sunt posibile patru cazuri, iar modul cum rezultă şirul aproximaţiilor succesive $ x_1, x_2, x_3, \cdots \! $ plecând de la aproximaţia iniţială $ x_0, \! $ este ilustrat în fig. 1.

Metoda aproximatiilor succesive fig

Astfel, în figurile (a) şi (b) procesul iterativ este convergent, iar în figurile (c) şi (d), procesul este divergent. Din studiul acestor figuri se poate trage concluzia că procesul este divergent şi deci metoda este aplicabilă numai în intervalele unde

$ |\varphi'(x)| < 1. \! $   (4)

Pentru a putea aplica metoda aproximaţiilor succesive trebuie îndeplinite condiţiile prescrise de următoarea teoremă, care furnizează o condiţie suficientă de convergenţă a şirului de iterare definit de relaţia (3).


Teorema 1. Fie ecuaţia:

$ x= \varphi(x), \! $   (5)

cu funcţia $ \varphi (x) \! $ definită şi derivabilă pe $ [a, b]. \! $ Dacă este satisfăcută inegalitatea:

$ |\varphi'(x)| \le \lambda <1 \! $   (6)

pentru orice $ x \in [a, b], \! $ atunci şirul de iterare definită de relaţia:

$ x_{i+1} = \varphi (x_i), \; i =0, 1, 2, 3, \cdots \! $   (7)

converge către rădăcina (unică dacă există) $ \xi \in [a, b] \! $ a ecuaţiei, indiferent de valoarea iniţială $ x_0. \! $

Demonstraţie. Scădem egalitatea evidentă $ \xi = \varphi (\xi) \! $ din relaţia (7)

$ x_{i+1}- \xi = \varphi(x_i) - \varphi (\xi). \! $

Din teorema lui Lagrange rezultă că există un punct $ \zeta \! $ cuprins între $ x_i \! $ şi $ \zeta \! $ astfel încât:

$ \varphi (x_i) - \varphi(\xi) = \varphi'(\zeta) (x_i - \xi). \! $

Având în vedere inegalitatea (6), rezultă din cele două relaţii de mai sus

$ |x_{i+1}- \xi| \le \lambda |x_i- \xi|. \! $

Dând pe rând lui i valorile $ 0, 1, 2 , \cdots \! $ obţinem succesiv:

$ |x_1 - \xi| \le \lambda |x_0 - \xi| \! $
$ |x_2 - \xi| \le \lambda |x_1 - \xi| \le \lambda^2 |x_0 = \xi| \! $
$ \cdots \cdots \cdots \! $
$ |x_{i+1} - \xi| \le \lambda |x_i- \xi| \le \cdots \le \lambda^{i+1} |x_0 - \xi|. \! $

Trecând la limită în ultima inegalitate şi având în vedere că $ 0 \le \lambda \le 1, \! $ rezultă:

$ \lim_{i \to \infty} x_{i+1} = \xi \! $

şi deci limita şirului este chiar rădăcina $ \xi \! $ a ecuaţiei.

Pentru a arăta că în condiţiile teoremei $ \xi \! $ este unica rădăcină din intervalul $ [a, b], \! $ presupunem contrariul, adică faptul că ar mai exista o rădăcină $ \bar {\xi} \in [a, b], \! $ astfel încât $ \bar {\xi} = \varphi (\bar {\xi}). \! $ Atunci:

$ \xi - \bar {\xi} = \varphi (\xi) - \varphi (\bar {\xi}) = \varphi' (\zeta) (\xi - \bar {\xi}). \! $

unde $ \zeta \! $ se află între $ \xi \! $ şi $ \bar {\xi}. \! $ Mai putem scrie:

$ (\xi - \bar {\xi}) [1- \varphi' (\zeta) ] =0. \! $

Cum prin ipoteză $ 1 - \varphi'(\zeta) \neq 0, \! $ rezultă $ \xi = \bar {\xi}, \! $ adică rădăcina $ \xi \! $ este unică.

Din punct de vedere practic, ecuaţia $ f(x) =0 \! $ poate fi pusă în mai multe moduri sub forma $ x= \varphi (x). \! $ Oricum, pentru ca metoda aproximaţiilor succesive să fie aplicabilă, trebuie să fie îndeplinită condiţia (6). Cu cât va fi mai mic numarul $ \lambda, \! $ cu atât va fi mai rapidă convergenţa procesului iterativ către rădăcina $ \xi. \! $

În general, ecuaţia $ f(x) = 0 \! $ poate fi înlocuită prin ecuaţia echivalentă

$ x=x - q f(x), \; q>0 \! $   (8)

astfel încât $ \varphi (x) = x- qf(x). \! $ Parametrul q trebuie astfel ales în aşa fel încât să fie satisfăcută condiţia (6), adică:

$ |\varphi'(x)| = |1- qf'(x)| \le \lambda <1. \! $


Metoda aproximatiilor succesive 4 Metoda aproximatiilor succesive 5 Metoda aproximatiilor succesive 6

Resurse Edit