Fandom

Math Wiki

Melcul lui Pascal

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Melcul lui Pascal fig. 1.png

Fig. 1

Definiţie şi construcţie Edit

Fie date cercul C \left (K, \frac {OB}{2}= \frac a 2  \right ) \! şi un segment de lungime l (fig. 1). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează a doua oară cercul în P. Cu ajutorul compasului construim pe dreapta OP punctele M_1 \! şi M_2 \! de o parte şi de alta a lui P astfel încât:

PM_1 = PM_2 = l. \!

Locul geometric al punctelor M_1 \! şi M_2 \! când dreapta OP variază este melcul lui Pascal.


Observaţie. Melcul lui Pascal este o concoidă generalizată.


Cazul 1.

\frac l a < 1 \! (curba 1: \frac l a = \frac  1 3 \!) melcul se intersectează pe el însuşi în nodul O formând două bucle - o buclă exterioară (OHA_1GO) \! şi o buclă interioară (OH'C_1G'O). \!

Construcţia tangentelor: Construim în cercul K corzile OD şi OE de lungime l.


Cazul 2.

\frac l a =1 \! (curba 2) curba interioară se restrânge la polul O care devine punct de întoarcere. Curba se numeşte în acest caz cardioidă.

Cazul 3.

l< \frac l a < 2 \! (curba 3: \frac l a = \frac 4 3 \!) Melcul lui Pascal este o curbă închisă care nu se autointersectează. Polul este situat în interiorul curbei la distanţă de aceasta. Curba nu are puncte de întoarcere dar are două puncte de inflexiune: R şi Q. Atunci când \frac l a \! creşte de la 1 la \sqrt 2, \! creşte ş unghiul \angle {ROQ} \! de la 0 la 2 arccos \frac{2 \sqrt 2}{3} (\approx 39^{\circ} 40'). \! Peste acestă valoare, pentru \frac l a \! tinzând la 2 , măsura unghiului \angle {ROQ} \! tinde la 0.


Cazul 4.

\frac l a =2 \! punctele de inflexiune se anulează confundându-se cu vârful C. Melcul ia o formă ovală şi păstrează această formă pentru orice valoare a raportului \frac l a > 2 \! (curba 4: \frac l a = \frac 7 3 \!). Punctele L'' \! şi N'' \! care sunt situate cel mai departe de axă sunt asociate valorii  \cos \varphi = \frac {\sqrt {l^2 + 8 a^2} - l}{4a}. \!


Caracteristici ale curbei Edit

Punctul O se numeşte pol. Cercul se numeşte cerc de bază. OB este axă de simetrie. Axa melcului intersectează melcul în punctul O dacă acesta aparţine melcului şi în două puncte A şi C numite vârfuri. Forma curbei depinde de relaţia dintre segmentele OB=a \! şi AB=BC=l. \!

Ecuaţia curbei Edit

Ecuaţia în coordonate carteziene Edit

Ecuaţia melcului lui Pascal în coordonate carteziene este următoarea:

(x^2+ y^2-ax)^2 = l^2 (x^2 + y^2). \!   (1)

Ecuaţia reprezintă figura formată din melcul lui Pascal şi polul O, ce poate să aparţină locului geometric definit mai sus (cazul curbelor 3 şi 4).

Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia melcului lui Pascal considerăm ecuaţia cercului C \left ( K, \frac {OB}{2}=\frac a 2 \right ): \!

(x- \frac a 2)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4} \!   (2)

Punctele M_1 \! şi M_2 \! verifică ecuația polară \rho = a \cos \varphi + 1 \! astfel încât avem formulele:

x= \frac a 2 + \frac a 2 \cos 2 \varphi + l \cos \varphi \!   (3)
y = \frac a 2 \sin 2 \varphi + l \sin \varphi. \!   (4)

Din (3) rezultă:

x- \frac a 2 = \frac a 2 \cos 2 \varphi + l \cos \varphi. \!

Înlocuind (4) şi (5) în (2), obţinem:

(x^2 + y^2 -ax) = l(a \cos \varphi +l) = l \rho \!

Ridicând la pătrat, obţinem ecuaţia melcului lui Pascal:

(x^2 + y^2 -ax) ^2 = l^2 (x^2 + y^2). \!

Ecuaţia în coordonate polare Edit

Ecuaţia în coordonate polare este:

\rho = a \cos \varphi + l. \!

Observaţie Ecuaţia reprezintă figura ce conţine numai punctele ce satisfac definiţia melcului lui Pascal. Având în vedere sistemul de ecuaţii de schimbare a [[coordonate carteziene|coordonatelor carteziene în coordonate polare şi ecuaţia (1), obţinem:

(\rho^2 \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \varphi - a \rho \cos \varphi)^2 = l^2 (\rho^2 \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \varphi) \; \Leftrightarrow \; (\rho- a \cos \varphi)^2 = l^2, \!

relaţie care conduce la ecuaţia curbei în coordonate polare.

Melcul lui Pascal fig. 2.png

Fig. 2

Ecuaţiile parametrice Edit

Ecuațiile parametrice ale curbei sunt:

\begin{cases} x= a \cos^2 \varphi + l \cos \varphi  \\ y = a \sin \varphi \cos \varphi + \sin \varphi \end{cases} \!

sau echivalent:

\begin{cases} x= \frac {1-u^2}{(1+u^2)^2} \left [ (l+a) + u^2 (l-a)  \right ] \\ y = \frac {2u}{(1+u^2)^2} \left [ (l+a) + u^2 (l-a)  \right ] \\ u = \tan \frac {\varphi}{2}.  \end{cases} \!


Observaţie. Melcul lui Pascal este o curbă raţională.

Construcţia tangentei (Metoda II) Edit

Melcul lui Pascal fig. 3.png

Fig. 3

Construim perpendiculara TM în M pe normala NM. TM este tangenta căutată (fig. 3).

Construcţia normalei Edit

Fie M un punct al curbei. Dreapta MO intersectează cercul a doua oară într-un punct P (fig. 3). Fie N punctul diametral opus lui P. Dreapta NM este normala căutată.

Relaţia cu cercul Edit

Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse dintr-un punct O la tangentele unui cerc C(B, r) \! este melcul lui Pascal. Dacă O este situat în planul cercului atunci O este polul curbei, cercul de bază are ca diametru segmentul OB=a \! iar segmentul de lungime l este egal cu raza r a cercului. Dacă punctul O aparţine cercului, melcul lui Pascal devine cardioidă.

Lungimi şi arii Edit

a) Lungimea cardioidei este de 8 ori mai mare ca lungimea diametrului cercului de bază:

s= \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt {\rho^2 + \rho'^2} d \varphi =\int_{-\pi}^{\pi} \sqrt {4a^2 (1+ \cos \varphi)^2 +4a^2 \sin^2 \varphi} d \varphi  = \!
= 2a \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt {2(1 + \cos \varphi)} d \varphi= 4a \int_{-\pi}^{\pi} \cos \frac {\varphi}{2} d \varphi = 16 a. \!


b) Aria descrisă de raza melcului într-o mişcare de rotaţie completă este următoarea:

S = \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \pi. \!

Având în vedere simetria curbei faţă de axa Ox este suficient să calculăm jumătate din aria căutată. Astfel avem:

S_1 = \frac 1 2 \int_0^{\pi} \rho^2 d \varphi =  \frac 1 2 \int_0^{\pi} (a \cos \varphi +1)^2 d \varphi = \frac 1 2 \int_0^{\pi} (a^2 \cos^2 \varphi + 2al \cos \varphi + l^2) d \varphi = \!
= \frac 1 2 \left ( a^2 \frac 1 2 \int_0^{\pi} \cos^2 \varphi d \varphi + 2al \frac 1 2 \int_0^{\pi} \cos \varphi d \varphi + l^2 \frac 1 2 \int_0^{\pi} d \varphi \right ). \!

Deci aria descrisă de raza melcului într-o mişcare de rotaţie completă este:

2S_1 = a^2 \left (\left. \frac {\varphi}{2} \right |_0^{\pi} - \left. \frac{\sin 2 \varphi}{4}   \right |_0^{\pi} \right ) +2 al \sin \varphi |_0^{\pi} + l^2 |_0^{\pi} = \frac{a^2 \pi}{2} + l^2 \pi. \!

În absenţa buclei (l \ge a), \! S reprezintă aria mărginită de melc. În cazul existenţei buclei are loc ecuaţia S = S_1 + S_2 \! unde S_1 \! şi S_2 \! sunt date de expresiile:

S_1 = \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \varphi + \frac 3 2 l \sqrt {a^2- l^2}, \!

unde \varphi_1 = arccos \left ( - \frac l a \right ); \!

S_2 = \left (\frac 1 2 a^2 + l^2  \right ) \varphi_2 - \frac 3 2 \sqrt {a^2-l^2}. \!

unde \varphi_2 = arccos \left ( \frac l a \right ). \!

S'_1 = \frac 1 2 \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )}  (a \cos \varphi +l)^2 d \varphi = \!
= \frac  12 \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} (a^2 \cos^2 \varphi +2 al \cos \varphi + l^2) d \varphi = \frac 1 2 a^2 \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} \cos^2 \varphi d \varphi +  \!
+ \frac 1 2 al \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} \cos \varphi d \varphi + \frac 1 2 l^2  \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} d \varphi. \!

De unde obţinem:

S'_1 = a^2 \left ( \left. \frac{\varphi}{2} \right |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} -  \left. \right |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )}  \right )  + 2al \sin \varphi |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} + l^2 |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} = \frac{a^2 \varphi_1}{2}- \!
a^2 \frac{\sin 2 arccos \left (  -\frac l a \right )}{4} + 2 al \sin arccos  \left (  -\frac l a \right ) + l^2 \varphi_1 = \!

= \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \varphi_1 + \frac{l \sqrt {a^2 - l^2}}{2} + 2l \sqrt {a^2 - l^2} \!

Deci aria căutată este:

S_1 = 2 S'_1 = \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2  \right ) \varphi_1 + \frac  3 2 l \sqrt {a^2-l^2}. \!

Analog se determină S_2. Analog se demonstrează faptul că aria cardioidei este S= \frac 3 2 \pi a^2 \! şi este de 6 ori mai mare decât aria cercului de bază.


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki