FANDOM


Inegalitatea medianei Edit

Ineg med la tetraedru

Fie ABCD un tetraedru şi $ G_A \! $ centrul de greutate al feţei BCD; atunci:

$ AG_A < \frac 1 3 (AB + AC + AD). \! $


Demonstraţie. Vom demonstra mai întâi următoarele leme:


Lema 1.

Pt demonstr ineg med

Fie ABC un triunghi şi $ M \in (BC) \! $ astfel încât $ \frac{BM}{BC} = k \in (0, 1). \! $ Atunci:

$ AM < k AC +(1-k) AB. \! $

Demonstraţie. Fie $ N \in (AB) \! $ astfel încât $ MN \| AC. \! $ Din teorema fundamentală a asemănării obţinem $ MN= k AC \! $ şi $ AN= (1-k) AB. \! $ Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului, avem:

$ AM< MN + AN \! $

sau, conform celor de mai sus,

$ AM< k AC + (1-k) AB. \! $


Lema 2. Fie ABCD un tetraedru, $ M \in int (BCD), \; N \in (CM \cap BD \! $ şi $ P \in (DM \cap BC. \! $ Dacă $ \frac{BN}{ND} = u \! $ şi $ \frac{BP}{PC} = v, \! $ atunci:

$ AM < \frac{1}{u+v+1} AB +\frac{v}{u+v+1} AC +\frac{u}{u+v+1} AD. \! $

Demonstraţie. Fie $ Q \in (BM \cap CD. \! $ În baza teoremei lui van Aubel,

$ \frac{MB}{MQ} = \frac{BN}{ND} + \frac{BP}{PC} = u+v, \! $

de unde:

$ \frac{BM}{MQ} = \frac{u+v}{u+v+1}. \! $   (1)

Având în vedere lema 1, obţinem:

$ AM < \frac{1}{u+v +1} AB + \frac{u+v}{u+v+1} AQ. \! $   (2)

Din teorema lui Ceva, aplicată în $ \triangle BCD, \! $ obţinem $ \frac {CQ}{QD} = \frac u v, \! $ adică $ \frac {CQ}{QD} = \frac{u}{u+v}. \! $ Aplicând iar lema 1 în $ \triangle ACD \! $ vom avea:

$ AQ< \frac{v}{u+v} AC + \frac{u}{u+v} AD. \! $   (3)

Relaţiile (2) şi (3) conduc la:

$ AM< \frac{1}{u+v+1}AB + \frac{v}{u+v+1} AC + \frac{u}{u+v+1} AD, \! $

QED.

Observaţie. Lema 2 se mai poate demonstra şi cu ajutorul relaţiei lui Stewart, care permite determinarea lui AM în funcţie de $ AB, AC, AD, u, v .\! $


Acum pentru a demonstra inegalitatea medianei, vom lua $ u=v=1 \! $ şi aplicăm lema 2.


O consecinţă a inegalităţii medianei este următoarea:


Teoremă. Medianele unui tetraedru pot fi lungimile laturilor unui patrulater.

Demonstraţie. Fie $ G_A, G_B, G_C, G_D \! $ [[centru de greutate|centrele de greutate ale feţelor $ BCD, ACD, ABD, ABC \! $ în tetraedrul ABCD şi G centrul său de greutate.

Aplicăm inegalitatea medianei:

$ GG_A < \frac 1 3 (GB+GC+GD) \! $

Dar:

$ BG=\frac 3 4 BG_B, \; CG=\frac 3 4 CG_C, \; DG=\frac 3 4 DG_D. \! $

Ca urmare:

$ GG_A < \frac 14 (BG_B+ CG_C+DG_D). \! $

Cum $ GG_A = \frac 1 4 AG_A, \! $ găsim că:

$ AG_A < BG_B+CG_C+DG_D. \! $

Procedând la fel, găsim şi inegalităţi similare, ceea ce asigură faptul că medianele tetraedrului pot fi laturile unui patrulater.


Vezi şi Edit

Resurse Edit