Fandom

Math Wiki

Mediană

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Inegalitatea medianei Edit

Ineg med la tetraedru.png

Fie ABCD un tetraedru şi G_A \! centrul de greutate al feţei BCD; atunci:

AG_A < \frac 1 3 (AB + AC + AD). \!


Demonstraţie. Vom demonstra mai întâi următoarele leme:


Lema 1.

Pt demonstr ineg med.png

Fie ABC un triunghi şi M \in (BC) \! astfel încât \frac{BM}{BC} = k \in (0, 1). \! Atunci:

AM < k AC +(1-k) AB. \!

Demonstraţie. Fie N \in (AB) \! astfel încât MN \| AC. \! Din teorema fundamentală a asemănării obţinem MN= k AC \! şi AN= (1-k) AB. \! Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului, avem:

AM< MN + AN \!

sau, conform celor de mai sus,

AM< k AC + (1-k) AB. \!


Lema 2. Fie ABCD un tetraedru, M \in int (BCD), \; N \in (CM \cap BD \! şi P \in (DM \cap BC. \! Dacă \frac{BN}{ND} = u \! şi \frac{BP}{PC} = v, \! atunci:

AM < \frac{1}{u+v+1} AB +\frac{v}{u+v+1} AC +\frac{u}{u+v+1} AD. \!

Demonstraţie. Fie Q \in (BM \cap CD. \! În baza teoremei lui van Aubel,

\frac{MB}{MQ} = \frac{BN}{ND} + \frac{BP}{PC} = u+v, \!

de unde:

\frac{BM}{MQ} = \frac{u+v}{u+v+1}. \!   (1)

Având în vedere lema 1, obţinem:

AM < \frac{1}{u+v +1} AB + \frac{u+v}{u+v+1} AQ. \!   (2)

Din teorema lui Ceva, aplicată în \triangle BCD, \! obţinem \frac {CQ}{QD} = \frac u v, \! adică \frac {CQ}{QD} = \frac{u}{u+v}. \! Aplicând iar lema 1 în \triangle ACD \! vom avea:

AQ< \frac{v}{u+v} AC + \frac{u}{u+v} AD. \!   (3)

Relaţiile (2) şi (3) conduc la:

AM< \frac{1}{u+v+1}AB + \frac{v}{u+v+1} AC + \frac{u}{u+v+1} AD, \!

QED.

Observaţie. Lema 2 se mai poate demonstra şi cu ajutorul relaţiei lui Stewart, care permite determinarea lui AM în funcţie de AB, AC, AD, u, v .\!


Acum pentru a demonstra inegalitatea medianei, vom lua u=v=1 \! şi aplicăm lema 2.


O consecinţă a inegalităţii medianei este următoarea:


Teoremă. Medianele unui tetraedru pot fi lungimile laturilor unui patrulater.

Demonstraţie. Fie G_A, G_B, G_C, G_D \! [[centru de greutate|centrele de greutate ale feţelor BCD, ACD, ABD, ABC \! în tetraedrul ABCD şi G centrul său de greutate.

Aplicăm inegalitatea medianei:

GG_A < \frac 1 3 (GB+GC+GD) \!

Dar:

BG=\frac 3 4 BG_B, \; CG=\frac 3 4 CG_C, \; DG=\frac 3 4 DG_D.  \!

Ca urmare:

GG_A < \frac  14 (BG_B+ CG_C+DG_D). \!

Cum GG_A = \frac  1 4 AG_A, \! găsim că:

AG_A < BG_B+CG_C+DG_D. \!

Procedând la fel, găsim şi inegalităţi similare, ceea ce asigură faptul că medianele tetraedrului pot fi laturile unui patrulater.


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki