Fandom

Math Wiki

Mecanică analitică

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Mecanica analitică realizează o descriere unificată a tuturor domeniilor fizicii clasice (necuantice) şi are aplicaţii şi în domenii precum: chimie, inginerie etc.

Printre principalele domenii în care îşi găseşte aplicaţii, enumerăm:

  • mecanica cerească (mişcarea corpurilor cereşti)
  • fizica plasmei
  • dinamica moleculară
  • mecanica şi electricitatea tehnică

De asemenea, mecanica analitică reprezintă o infrastructură solidă pentru dezvoltarea mecanicii cuantice.

Istoric Edit

(Vezi articolul: Istoria mecanicii analitice.)

Conţinutul mecanicii analitice Edit

1.SISTEME DE PUNCTE MATERIALE: Legături, Principiul II al dinamicii pentru SPM, Teoreme de variaţie ale cantităţii de mişcare, moment cinetic, energie cinetică.

2.ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ: Coordonate generalizate, Principiul lui d’Alambert, Ecuaţiile lui Lagrange (mişcarea liniară, mişcarea unei particule incărcate electric in câmpuri electrice şi magnetice staţionare, funcţia lui Lagrange pentru un sistem de referinţă neinerţial).

3.ECUAŢIILE HAMILTON: Expresia ecuaţiilor Hamilton, Proprietăţile funcţiei Hamilton, Parantezele Poisson.

4.ECUAŢIA HAMILTON-JACOBI:. Expresia ecuaţiei Hamilton-Jacobi, Transformări canonice, Ecuaţia Hamilton-Jacobi pentru sisteme conservative.

5.APLICAŢII ALE SISTEMULUI LAGRANGIAN IN MECANICA SISTEMELOR DISCRETE DE PUNCTE MATERIALE: Problema celor două corpuri, Mişcare în câmp central de forţe, Problema lui Kepler, Mişcarea în câmp gravitaţional

6.CIOCNIRILE PARTICULELOR, OSCILAŢII:: Dezintegrarea particulelor, Ciocniri elastice ale particulelor, Imprăştierea particulelor, Formula lui Rutherford, Teoria micilor oscilaţii, Oscilaţii amortizate, Oscilaţii forţate, Micile oscilaţii ale sistemelor cu mai multe grade de libertate, oscilaţii anarmonice, Rezonanţa parametrică.

7. SOLIDUL RIGID:Mişcarea de translaţie şi de rotaţie a solidului rigid, Mişcarea solidului rigid cu punct fix.

Introducere Edit

Mecanica newtoniană studiază mişcarea corpurilor macroscopice care se deplasează cu viteze mici în comparaţie cu viteza luminii pe baza unei abordări locale a problemei. Afirmăm aceasta în sensul că, aşa cum am discutat anterior, o dată cunoscute poziţia şi viteza unui corp la un anumit moment de timp t şi ştiind forţele care acţionează asupra corpului, se pot afla poziţia şi viteza corpului la momentul de timp t'=t+dt \! şi, în consecinţă, prin integrarea ecuaţiilor de mişcare, poziţia şi viteza la orice moment de timp.

Studiul evoluţiei unui sistem fizic se poate face însă şi pe baza unei abordări globale a problemei, tratarea mişcării pe care o poate avea un corp într-un câmp de forţe conservativ fiind bazată pe un principiu de extremum. Un astfel de principiu arată că mişcarea are loc întotdeauna pe acea traiectorie pentru care o anumită funcţie care descrie starea sistemului îşi atinge extremumul. În cazul mecanicii clasice, o astfel de formulare este mecanica analitică elaborată de Lagrange şi Hamilton la sfârşitul sec. al XVIII-lea şi, respectiv, în secolul al XIX-lea. Mecanica analitică este folosită în studiul sistemelor mecanice alcătuite dintr-un număr mare de constituienţi, aşa cum sunt sistemele de particule studiate de fizica statistică, cât şi pentru sistemele mecanice cu legături.

De altfel, studiul unui proces fizic pe baza unui principiu de extremum datează anterior formulării de către Hamilton a principiului de extremum care-i poartă numele şi care stă la baza elaborării mecanicii analitice. Astfel, în optică, principiul lui Fermat afirmă că lumina se propagă între două puncte din spaţiu pe acel drum \Gamma \! pentru care timpul necesar propagării este minim:

\int_{1^{\Gamma}} dt = min. \!   (1)
Drumuri virtual posibile.png

Dintre toate drumurile virtual posibile \Gamma' \! (fig. 4.1), drumul real \Gamma \! fiind cel care satisface principiul lui Fermat, înseamnă că la trecerea de pe acesta pe oricare din drumurile \Gamma' \! trebuie ca variaţia integralei (1) să fie nulă, adică:

\delta \int_{1^{\Gamma}} dt=0 \!   (2)


Ţinând cont că

dt=\frac{d \mathit l}{v} = \frac 1 c \; \; \frac c v \cdot d \mathit l = \frac 1 c n d \mathit l  \!   (3)

unde n este indicele de refracţie al mediului în care se propagă lumina, iar c este viteza luminii în vid, rezultă că principiul lui Fermat mai poate fi scris şi sub forma:

\delta \int_{1^{\Gamma}} n d \mathit l =0. \!   (4)

Aceasta înseamnă că între două puncte din spaţiu lumina se propagă astfel încât drumul optic să fie minim.

Revenind acum la mecanică, şi anume la studiul mişcării unui corp într-un câmp de forţe conservativ, să ne reamintim că suma dintre energiile cinetică T şi potenţială U ale corpului, adică energia totală E=T+U \! rămâne constantă în timpul mişcării.

În schimb, evoluţia mişcării este dată de transformarea energiei cinetice în energie potenţială şi reciproc, această transformare fiind descrisă cel mai bine de funcţia lui Lagrange:

L \overset {def}{=} T-U \!   (5)

a cărei variaţie în timpul mişcării este:

\Delta L = 2 \Delta T = -2 \Delta U \!   (6)


Definind acţiunea S ca integrala după timp a lui L de-a lungul traiectoriei \Gamma: \!

S \overset {def}{=} \int_{t_1 \Gamma}^{t_2} L dt  = \int_{t_1 \Gamma}^{t_2} (T-U) dt \!   (7)


principiul de extremum al lui Hamilton, care reprezintă baza mecanicii analitice, stipulează că transformarea între energia cinetică şi potenţială are loc astfel încât actiunea S să prezinte un extremum. Aceasta revine la a spune că variaţia acţiunii între traiectoria reală \Gamma \! şi orice traiectorie virtuală infinit apropiată este nulă:

\delta S = \delta \int_{t_1 \Gamma}^{t_2} Ldt = \delta  \int_{t_1 \Gamma}^{t_2} (T-U) dt =0. \!   (8)

Traiectoria \Gamma \! pentru care se realizează extremumul acţiunii este traiectoria reală.

Extremul actiunii si traiectoria reala.png

Fig. 2

Pentru a clarifica conţinutul ecuaţiei (8) ce exprimă principiul lui Hamilton este necesar să precizăm semnificaţia următoarelor notaţii. Notăm prin diferenţiala d (d \vec r, d \vec v, dt, \; etc), \! diferenţa a două valori ale unei mărimi considerate între două puncte vecine infinit apropiate plasate de-a lungul aceleaşi traiectorii şi prin variaţia \delta, \; (\delta \vec r, \delta \vec v, \; etc), \! diferenţa dintre valorile unei mărimi considerate la acelaşi moment de timp, dar pe două traiectorii diferite, infinit apropiate (fig. 2).

Traiectoria reală şi traiectoriile virtuale sunt considerate între aceleaşi puncte, iniţial şi final, astfel că la momentele de timp t_1 \! (iniţial) şi t_2 \! (final) \delta \vec r=0. \!

Să exemplificăm principiul lui Hamilton pentru cazul simplu al aruncării unui corp pe verticală în câmp gravitaţional uniform. În acest caz, ştim că pentru un punct material de masă m energia cinetică şi energia potenţială au expresiile:

T=\frac{m \dot y^2}{2}, \; \; U= mgy. \!   (9)

Pentru a diferenţia traiectoria reală \Gamma \! de traiectoriile virtuale \Gamma', \! vom nota coordonata spaţială pentru traiectoria reală cu y şi pentru traiectoriile virtuale \Gamma', \! cu y=\underline y + \delta y. \! Ştiind că \delta t =0, \; \; \delta y(t_1)=\delta y(t_2)=0 \! şi ţinând cont că \delta \dot y = \delta \frac {dy}{dt} = \frac{d}{dt} (\delta y), \! putem calcula variaţia energiei potenţiale şi respectiv cinetice:

\delta U = U_{\Gamma'} - U_{\Gamma} = U(\underline y + \delta y) - U(\underline y)  \cong  U(y) + \frac{dU}{dy} - U(\underline y) = \frac {dU}{dy} (y) \delta y \!
\delta T = T_{\Gamma'} -  T_{\Gamma} = \frac m 2 (\underline {\dot y} + \delta \dot y)^2 - \frac m 2 \dot {\underline y}^2\! = \frac m 2 (\dot {\underline y}^2 + 2 \dot {\underline y} \delta \dot y + \delta \dot y^2) - \frac m 2 \dot {\underline y}^2 \cong m \underline {\dot y} \delta \dot y. \!   (10)

Astfel, principiul lui Hamilton:

\delta S = \delta \int_{t_1 \Gamma}^{t_2} (T-U) dt = \int_{t_1 \Gamma}^{t_2} (\delta T - \delta U) dt =0. \!   (11)

se va scrie:

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} m \underline {\dot y} \frac{d}{dt} (\delta y) dt - \int_{t_1}^{t_2} (y) \delta y dt =0. \!   (12)

Luând prima integrală şi calculând-o prin părţi, obţinem:

\int_{t_1}^{t_2} m \dot y (\delta y) dt  = m \underline {\dot y} |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} m \ddot y (\delta y) dt = - \int_{t_1}^{t_2} m \ddot y (\delta y) dt  \!

unde s-a ţinut cont de condiţiile \delta t (t_1) = \delta y(t_2)=0. \! Astfel, principiul lui Hamilton (11) conduce la:

\delta S = - \int_{t_1}^{t_2} [m \ddot y + \frac{dU(y)}{dy}] \cdot \delta y \cdot dt=0. \!   (13)

Ecuaţia (13) trebuie să fie valabilă pentru orice \delta y, \! ceea ce implică:

m \ddot y = -\frac{dU}{dy} = F. \!   (14)

Constatăm astfel că, plecând de la principiul lui Hamilton, am regăsit ecuaţia fundamentală a mecanicii newtoniene, ceea ce corespunde faptului că cele două formalisme sunt echivalente.


Înainte de a trece la prezentarea formalismelor Lagrange şi Hamilton trebuie să luăm în discuţie problema forţelor de legătură. Acestea, spre deosebire de forţele fundamentale, cum ar fi forţa gravitaţională, \vec F = k \frac {m_1 m_2}{r^2} \frac{\vec r}{r}, \! sau forţa Lorentz \vec F = q (\vec E + \vec v \times \vec B) \! şi de pseudoforţele de inerţie, nu sunt forţe introduse printr-o ecuaţie de definiţie, ci ele reprezintă forţe de reacţiune ale legăturilor, acestea fiind definite prin ecuaţiile ce stabilesc locul geometric al punctelor prin care trece punctul material.

Astfel, apare o problemă inversă în care forţele nu pot fi calculate decât după aflarea legilor de mişcare ale mobilului. Pentru a înţelege mai clar o astfel de situaţie să analizăm un exemplu simplu, şi anume să considerăm un punct material de masă m suspendat de un punct fix O printr-o bară rigidă de masă inerţială nulă şi de lungime l.

Bara rigida de masa inertiala nula.png

Dacă asupra punctului material nu se mai exercită alte constrângeri, atunci ecuaţia care descrie legătura este x^2+y^2+z^2=l^2 \! (punctul material se mişcă pe sfera de rază l), iar dacă mişcarea are loc doar într-un plan vertical, atunci punctul material este supus la două legături, date de ecuaţiile:

x^2+y^2=l^2 \! şi z=0. \!   (15)

Conform acestora punctul material se mişcă pe cercul de rază l în planul z=0. \! În acest caz, forţa de legătură este:

F_l = G_r + \frac{mv^2}{2} \!   (16)

Observăm că pentru a calcula forţa (16) trebuie să cunoaştem viteza punctului material care, ţinând cont de legea conservării energiei:

\frac{mv_0^2}{2}= mgh + \frac{mv^2}{2} \!   (17)

poate fi calculată doar dacă se cunosc condiţiile iniţiale ale mişcării.

Presupunând că punctul material este aruncat din poziţia x=0, \; y=l, \! cu viteza iniţială \vec v_0= v_0 \cdot \vec 1_x \! rezultă că în punctul de coordonată y=l-h \! viteza este: v = \sqrt {v_0^2-2gh}. \! Notând coordonata de-a lungul arcului de cerc cu s, h=h(s) \! şi v=\frac{ds}{dt}, \! prin integrare se obţine s=s(t). \!


Forţa de legătură (16) se obţine deci prin substituirea expresiei vitezei.

Eliminarea forţei de legătură şi, ca atare, a caracterului de problemă inversă poate fi realizată observând că, spre deosebire de un punct material liber care posedă trei grade de libertate, descrise de coordonatele x, y, z, \! punctul material din exemplul considerat, supus la cele douǎ constrângeri descrise de cele două ecuaţii de legătură, este obligat să se mişte pe traiectoria de rază l în planul z=0, \! având deci un singur grad de libertate descris de unghiul \alpha, \! sau de lungimea arcului de cerc corespunzător acestuia. Aceste variabile le vom numi coordonate generalizate. Ele pot fi totdeauna obţinute pornind de la coordonatele carteziene x, y, z, \! şi de la ecuaţiile care descriu legăturile.

Ecuaţiile (15), reprezentând un sistem de 2 ecuaţii cu 3 necunoscute, conduc, prin rezolvare, la o singură variabilă independentă ataşată gradului de libertate al sistemului. Explicit, soluţiile ecuaţiilor (15) sunt:

\begin{cases} x=l \sin \alpha \\ \\ y=l \cos \alpha \end{cases} \!   (18)

respectiv componentele carteziene ale vitezei punctului material sunt:

\begin{cases} \dot x=l \dot \alpha \cos \alpha \\ \\ y=-l \dot \alpha \sin \alpha \end{cases} \!   (19)


După cum vom vedea în continuare, stabilirea coordonatelor independente pe care le vom numi, aşa cum am spus, coordonate generalizate ne permite prin formalismul mecanicii analitice eliminarea forţelor de legătură şi obţinerea unui algoritm direct de rezolvare a acestui tip de probleme.

Să trecem, în continuare, la analiza cazului general al unui sistem format din mai multe puncte materiale.


Pentru un sistem de N puncte materiale care nu sunt supuse nici unei constrângeri, numărul gradelor de libertate este:

f_0=3N \!   (20)

iar coordonatele generalizate sunt chiar coordonatele carteziene x_j, y_j, z_j, \! cu j= 1, 2, \cdots , N. \! Dacă sistemul de N puncte materiale este supus unui număr de l constrângeri, descrise de ecuaţiile g_s (x_j, y_j, z_j)=0, \! cu s= 1, 2, \cdots , l, \! atunci numărul gradelor de libertate ale sistemului este f=3N-l.

Trebuie astfel să se aleagă coordonate generalizate, notate simbolic q_i, \! cu i=1,2, \cdots , f, \! rezultând f viteze generalizate \dot q_i = \frac {dq}{dt} \! în funcţie de care se vor exprima coordonatele şi vitezele carteziene ale punctelor materiale ce alcătuiesc sistemul:

x_j=x_j(q_i), \; \; y_j=y_j(q_i), z_j=z_j(q_i). \!   (21)


Dat fiind că q_i-q_i(t), \! ec. (21) reprezintă funcţii implicite de timp care prin derivare ne conduc la expresiile vitezelor carteziene, care se observă că depind atât de coordonatele generalizate q_i \! cât şi de vitezele generalizate \dot q_i \!:

\dot x_j = \sum_{i=1}^f \frac{\partial x_j}{\partial q_i} \dot q_i= \dot x_j (q_i, \dot q_i), \; \;\dot y_j = \sum_{i=1}^f \frac{\partial y_j}{\partial q_i} \dot q_i= \dot y_j (q_i, \dot q_i), \; \;\dot z_j = \sum_{i=1}^f \frac{\partial x_j}{\partial q_i} \dot q_i= \dot z_j (q_i, \dot q_i)  \!   (22)


Astfel, sistemul de N puncte materiale supuse la l constrângeri şi, în consecinţă, având f=3N-l \! grade de libertate este descris complet de setul de coordonate şi viteze generalizate (q_i, \dot q_i), \! cu i=1, 2, \cdots , f. \!

Se defineşte spaţiul de configuraţie ca fiind spaţiul cu f dimensiuni ale cărui coordonate sunt coordonatele generalizate. Un punct din acest spaţiu reprezintă configuraţia sistemului în sensul în care coordonatele unui punct din spaţiul de configuraţie determină, prin intermediul ecuaţiilor (21) coordonatele carteziene ale tuturor punctelor sistemului şi, ca atare, configuraţia geometrică a sistemului.


Un proces mecanic, care reprezintă trecerea sistemului dintr-o stare iniţială \Sigma_1 \! într-o altă stare \Sigma_2, \! va fi reprezentat în spaţiul de configuraţie printr-o traiectorie. Trebuie menţionat că procesele ce pot fi reprezentate în spaţiul de configuraţie sunt strict procese mecanice, care nu presupun sub nici o formă existenţa unor fenomene disipative prin care energia mecanică să se transforme în altă formă de energie.

Formalism Lagrange Edit

(Vezi articolul: Formalism Lagrange)

Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton Edit

(Vezi articolul: Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton.)

Paranteze Poisson. Derivata totală în raport cu timpul a unei mărimi mecanice Edit

(Vezi articolul: Paranteza lui Poisson.)

Legi de conservare Edit

Aşa cum s-a discutat, există o serie de mărimi numite constante ale mişcării, care îşi păstrază valoarea constantă în timp în decursul evoluţiei sistemului mecanic.

Printre acestea, un rol aparte îl joacă energia mecanică totală, impulsul total şi momentul cinetic total ale unui sistem care, pentru cazul studiat aici, al câmpurilor de forţe conservative, sunt constante ale mişcării. Invarianţa lor în timp rezultă din ecuaţiile Lagrange şi Hamilton, dar ele au o semnificaţie mult mai profundă, dată de faptul că legile de conservare ale acestor mărimi sunt echivalente cu proprietăţile de uniformitate a timpului, respectiv, de omogenitate şi izotropie a spaţiului.

Astfel, legea conservării impulsului total exprimă omogenitatea spaţiului, legea conservării momentului cinetic total exprimă izotropia spaţiului iar uniformitatea timpului îşi găseşte expresia în legea conservării energiei mecanice totale.

Legea conservării energiei mecanice totale Edit

Considerăm un sistem alcătuit din N puncte materiale, care evoluează în condiţiile unui timp uniform. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că fenomenele fizice se derulează la fel la orice moment de timp, ceea ce revine la a spune că rezultatul oricărui experiment fizic este acelaşi indiferent de momentul de timp la care este efectuat. Cum, din punct de vedere mecanic, evoluţia unui sistem este descrisă de funcţia Hamilton, aceasta revine la invarianţa hamiltonienei la orice translaţie temporală. Astfel, considerând două momente de timp infinit apropiate t \! şi respectiv t'=t+ \delta t, \! hamiltoniana va respecta egalitatea H(t) = H(t+ \delta t),  \! oricare ar fi \delta t. \! Aceasta revine la a spune că H nu depinde explicit de timp, adică \frac{\partial H}{\partial t} =0. \!


Conform ecuaţiei (55):

\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} + [H, H] \!   (58)

Deoarece [H, H]=0, \! şi ţinând seama de faptul că \frac{\partial H}{\partial t} =0 , \! rezultă:

\frac{dH}{dt} = 0 \!   (59)

adică:

H(p_i. q_i) = const. =E . \!   (60)

Astfel, uniformitatea timpului implică cu necesitate conservarea energiei mecanice totale a sistemului. Se evidenţiază astfel o interdependenţă fundamentală între timp şi energie care vom vedea că joacă un rol esenţial în mecanica cuantică. Mai trebuie subliniat faptul că ecuaţia (60) reprezintă ecuaţia unei hipersuprafeţe 2f-1 \! dimensională în spaţiul fazelor. În condiţiile date, evoluţia sistemului corespunde unei traiectorii în spaţiul fazelor care este integral conţinută în hipersuprafaţa E=H = const. \!

Conservarea impulsului total Edit

(Vezi articolul Conservarea impulsului total.)

Conservarea momentului cinetic total Edit

(Vezi articolul Conservarea momentului cinetic total.)

Teorema Liouville Edit

(Vezi articolul Teorema Liouville.)

Legea inerţiei Edit

Să considerăm un punct material care evoluează în condiţiile de spaţiu omogen şi izotrop şi timp uniform.

Datorită omogenităţii spaţiului şi uniformităţii timpului am obţinut anterior:

H(\vec p, \vec r, t) = H(\vec p). \!

În plus, datorită izotropiei spaţiului, hamiltoniana nu depinde de orientarea sistemului:

H= H(p^2) \!

adică ea depinde doar de modulul impulsului, adică de p^2. \! În acest caz, prima ecuaţie Hamilton se scrie:

\dot {\vec p} = - \frac{\partial H(p^2)}{\partial \vec r} = 0 \!   (77)

ci:

\vec p =const. \!   (78)

A doua ecuaţie Hamilton se scrie:

\vec v = \dot \vec r = \frac{\partial H(p^2)}{\partial \vec p} = \frac{\partial H(p^2)}{\partial p^2} \cdot \frac{\partial (\vec p \cdot \vec p)}{\partial \vec p} = 2 \frac{\partial H(p^2)}{\partial p^2} \vec p. \!   (79)

Constrângeri Edit

Sistemele naturale implica existenta unor “legaturi” (constangeri) prin care punctele materiale sunt obligate a se misca pe curbe sau suprafete (z=0; x^2+y^2=R^2 \!).

Constrangerile sunt restrictii cinematice ale posibilitatilor de miscare ale particulelor unui sistem si se exprima prin intermediul unor relatii scalare de forma:

\mathbf {\Phi}_j (\vec r_i, \dot {\vec r_i}, t) =0; \; j = 1, 2, \cdots , m; \; i = 1, 2, \cdots , n \!
  • n - numărul punctelor materiale din sistem
  • m - numărul constrângerilor

Existenţa constrângerilor duce la mari complicaţii la rezolvarea problemelor şi de aceea:

Tipuri de constrângeri Edit

  • olonome (holos = "integral") depind de viteze:
\mathbf {\Phi}_j (\vec r_j, t) = 0; \; j = 1, 2, \cdots , m; \; i = 1, 2, \cdots , n \!
  • scleronome (nu depind explicit de timp) - fixate:
\mathbf {\Phi}_j (\vec r_i) =0 \!

mişcarea se efectuează fără frecare, lucrul mecanic este nul

  • reonome: depind explicit de timp:
\mathbf {\Phi}_j (\vec r_i, t) =0 \!

mişcări pe curbe sau suprafeţe mobile, forţele de reacţie produc lucru mecanic.

Exemple Edit

  • Pendulul canonic

Pendulul canonic.png

Coordonate carteziene: n=3 = (x, y, z) \; \; m= 1 \; (x^2+y^2+z^2=L^2) \;\; NGL=n-m=2 \!

Coordonate sferice: \Pi =3 = (\rho, \theta, \varphi)\; \; m=1, \; r=L \; \; NGL= n-m=2:   \; \; \theta, \varphi \!

  • Pendulul dublu

Pendulul dublu.png

n=6= (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \!
m=4, \; \; z_1=0, z_2=0, \; x_1^2 +y_1^2 = l_1^2 \; \; (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=l_2^2 \!
NGL=n-m=2: \; \; \varphi_1, \varphi_2 \!


Condiţia ca un sistem să poată efectua o mişcare este: m< 3n. \!

Spaţiul configuraţiilor Edit

Dificultăţi induse de prezenţa constrângerilor:

  • Razele vectoare \vec r_i \! nu mai sunt toate independente datorită ecuaţiilor legăturilor \Rightarrow \! Ecuaţiile de mişcare nu mai sunt nici ele toate independente.
  • Conform legii a III-a a dinamicii, datorită legăturilor, asupra PM constrânse acţionează şi forţe de reacţiune (necunoscute apriori)

Modul de înlăturare a acestor dificultăţi Edit

N puncte materiale
K legături independente
\mathbf {\Phi}_j (\vec r_1, \vec r_2, \cdots , \vec r_N)=0, \; j =\overline {1, k} \!

 \left. \begin{matrix} \;\; \\ \;\; \\ \\ \;\; \end{matrix} \right \}   \!

3N coordonate carteziene dintre care
k sunt dependente (se pot exprima în funcţie de restul n=3N-k \!)
n=3N-k \! sunt independente
(= nr. gradelor de libertate sistem)


Propunerea lui Lagrange:

  • se aleg n mărimi independente (q_1, q_2, \cdots , q_n) \! care pot descrie în mod univoc configuraţia spaţială a sistemului de puncte materiale
  • se renunţă a se lucra cu raza vectoare sau coordonate carteziene şi se lucrează direct cu q_i, \; i = 1, n \! coordonate generalizate.

Coordonatele generalizate q_1, q_2, \cdots , q_n \! descriu n mod univoc configuraţia sistemului de puncte materiale în orice moment.

Spaţiul configuraţiilor este un spaţiu n-dimensional. Fiecare punct din acest spaţiu q_1, q_2, \cdots , q_n \! corespunde unei configuraţii a sistemului de puncte materiale.

Evoluţia în timp a sistemului \Rightarrow \! curba în spaţiul configuraţiilor.

Curba în spatiul configuratiilor.png

Deplasări Edit

Efectul de miscare se reduce la deplasarile punctelor materale ce alcatuiesc sistemul de puncte materiale, ale unor regiuni din sistem sau ale intregului sistem ca un tot unitar


Deplasări posibile, reale Edit

\begin{cases} x_1=x_ 1(q_1, q_2, \cdots , q_n, t) \\ \\   x_2=x_2 (q_1, q_2, \cdots , q_n, t) \\ \\  \cdots \cdots \cdots \\ \\   x_n=x_n (q_1, q_2, \cdots , q_n, t) \end{cases}   \!

   

 d \vec r = \vec v dt \; \Rightarrow \; \begin{cases} dx_i = \frac{\partial x_i}{\partial q_k} dq_k+ \frac{\partial x_i}{\partial t}dt \\ \\ dy_i = \frac{\partial y_i}{\partial q_k} dq_k+ \frac{\partial y_i}{\partial t}dt \\ \\ dz_i = \frac{\partial z_i}{\partial q_k} dq_k+ \frac{\partial z_i}{\partial t}dt    \end{cases}   \!

Deplasări virtuale, compatibile cu constrângerile Edit

Deplasare compatibila cu constrangerea.png

Pentru o deplasare virtuala Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): δ\delta t=0 \Leftrightarrow \!

toate

punctele sistemului sufera o deplasare spontana, ele miscandu-se sincron:

\delta x_i = \frac{\partial x_i}{\partial q_k} \delta q_k; \; \delta y_i = \frac{\partial y_i}{\partial q_k} \delta q_k; \; \delta z_i = \frac{\partial z_i}{\partial q_k} \delta q_k; \; i = 1, 2, \cdots , n \!


Considerăm un sistem cu constrângerile:

\begin{cases} \vec r_ 1= \vec r_ (q_1, q_2, \cdots , q_n, t)  \\  \\ \vec r_2 = \vec r_2 (q_1, q_2, \cdots , q_n, t) \\ \\ \cdots \cdots \cdots  \\  \\ \vec r_N = \vec r_N (q_1, q_2, \cdots , q_n, t)   \end{cases} \!

unde avem:

  • coordinate ordinare: \vec r_i \; (i = 1, N) \!
  • coordonate generalizate: q_j \ (j = 1, n) \!

Considerăm deplasările virtuale infinitezimale:

\vec r_i \longrightarrow \vec r_i + \delta \vec r_i \!
q_j \longrightarrow q_j + \delta q_j \!

Acestea trebuie să satisfacă constrângerile:

\delta \vec r_i = \sum_j \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \delta q_j \!

unde \vec r_i \! sunt cele 3N coordonate dependente, iar q_j \! sunt cele n coordonate independente.

Vezi şi Edit

Resurse online Edit

Bibliografie Edit

  • Mecanica, L.D. Landau, E.M. Lifşiţ, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1966
  • Mecanica teoretica, C. Iacob, Ed. Did. si Ped. Bucureşti, 1971
  • Mecanica analitica si a mediilor deformabile, Merches, L. Burlacu, Ed. Did. si Ped. Bucureşti, 1983
  • Mecanică analitică şi aplicaţii, S. Filip, A.Marcu, Ed. Univ. Oradea, 2002
  • Problems in Theoretical Physics, L.G. Sugakov, MIR,Moscow 1977.
  • Problems in Theoretical Physics, L.G. Grechko,MIR,Moscow, 1977
  • Culegere de probleme deMecanica Analitică, L. Burlacu, D.G.David, Univ.Bucuresti, 1988
  • Introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics ,A.J. Brizard, Saint Michael’s College,Colchester, 2003

Also on Fandom

Random Wiki