Fandom

Math Wiki

Matrice

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţii Edit

Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip m \times n \!) un tablou cu m linii şi n coloane:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}  \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}  \end{pmatrix} \!

ale cărui elemente a_{ij} \! sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează şi A= \left ( a_{ij} \right ), \! unde i = \overline {1, m} \! şi j = \overline {1, n}. \! Pentru elementul a_{ij}, \! indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulţimea matricilor de tip m \times n \! cu elemente numere reale se notează prin M_{m, n} (\mathbb R). \! Aceleaşi semnificaţii au şi mulţimile M_{m, n} (\mathbb Z), M_{m, n} (\mathbb Q), M_{m, n} (\mathbb C).  \!

Cazuri particulare Edit

1) O matrice de tipul 1 \times n \! (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma:

A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \!

2) O matrice de tipul m \times 1 \! (deci cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma:

B= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_m \end{pmatrix} \!

3) O matrice de tip m \times n \! se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

O=  \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \!

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \!


Sistemul de elemente (a_{11} \; a_{22} \; \cdots \; a_{nn}) \! reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matricii A notată:

Tr(A)= \sum_{i=1}^n a_{ii}. \!


Mulţimea matricilor pătratice se notează M_n(\mathbb C). \! Printre aceste matrici, una este foarte importantă, aceasta fiind:

I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \!

şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Operaţii cu matrici Edit

Egalitatea a două matrici Edit

Definiţie. Fie A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \! Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem A=B \! dacă:

a_{ij} = b_{ij}, \; \forall i= \overline{1, m}, \; \forall j = \overline{1, n}. \!

Adunarea matricilor Edit

Definiţie. Fie A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}), \; C=(c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \! Matricea C se numeşte suma matriciilor A, B dacă:

c_{ij} = a_{ij}+ b_{ij}, \; \forall i=\overline{1, m} , \forall j=\overline{1, n}. \!


Observaţii. 1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, B \in M_{m, n} (\mathbb C). \!

2) Explicit, adunarea matricilor A, B înseamnă:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}   \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}   \end{pmatrix}= \!
= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn}   \end{pmatrix}.  \!

Proprietăţi ale adunării matricilor Edit

A_1 \! (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:

(A+B)+C= A+(B+C), \; \forall A, B, C \in M_{m, n}(\mathbb C). \!

A_2 \! (C2wzstivitatea adunării). Adunarea matricilor este, adică:


A+B=B+A, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C). \!

A_3 \! (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

\exists O_{m, n} \in M_{m, n} (\mathbb C) \! astfel încât A+O_{m, n} = A \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!

A_4 \! (Elemente opuse). Orice matrice A \in M_{m, n}(\mathbb C) \! are un opus, notat -A, \! astfel încât:

A+(-A) = O_{m, n}. \!

Înmulţirea cu scalari a matricilor Edit

Definiţie. Fie \lambda \in \mathbb C \! şi A=(a_{ij}) \in M_{m, n} (\mathbb C). \! Se numeşte produsul dintre ecuatie gr 2

l \lambda \in \mathbb C \! şi matricea A, matricea notată \lambda A \in M_{m, n} (\mathbb C) \! definită prin \lambda A = (\lambda a_{ij}). \!

Observaţie. A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \cdots &  \cdots &  \cdots &  \cdots  \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}. \!

Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari:

S_1 \; \; \; \lambda(\mu A) = (\lambda \mu) A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!

S_2 \; \; \; \lambda (A+B) = \lambda A+ \lambda B, \; \forall \lambda \in \mathbb C, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C); \!

S_3 \; \; \; (\lambda + \mu) A = \lambda A+ \mu A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!

S_4 \; \; \; 1 \cdot A = A, \; 1 \in \mathbb C , \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!

Înmulţirea matricilor Edit

Definiţie. Fie A=(a_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \! Produsul dintre matricile A şi B (în această ordine), notat AB \! este matricea C = (c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \! definită prin:

c_{kj} = \sum_{i=1}^n a_{ki}b_{ij}, \; \forall j = \overline{1, n}. \!

Observaţii.

1) Produsul AB \! a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A \in M_{m, n} (\mathbb C), B \in M_{n, p} (\mathbb C), \! adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obţine o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).

2) Dacă matricile sunt pătratice A, B \in M_n (\mathbb C) \! atunci are sens întotdeauna atât AB \! cât şi BA , \! iar în general, AB \neq BA \! adică înmulţirea matricilor nu este comutativă.


Proprietăţi ale înmulţirii matricillor:

  • I_1 \! (Asociativitatea înmulţirii).
ÎnmWENFVH DJJJNDHHF
Gulţirea matricilor este asociativă, adică:
(AB)C = A(BC), \; \forall A \in M_{m, n} (\mathbb C), \; \forall B \in M_{n , p} (\mathbb C), \; \forall C \in M_{p, r} (\mathbb C), \;  \!

I_2 \! (Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică:

(A+B)C= AC+BC, \; C(A+B)= CA+CB, \; \forall A, B, C \! \! matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire.

I_3 \! Dacă I_n \in M_{n}(\mathbb C) \! este matricea unitate, atunci:

I_n A = AI_n =A, \; \forall A \in M_n (\mathbb C). \!

spunem că I_n \! este element neutru

Puterile une matrici Edit

Definiţie. Fie A \in M_n(\mathbb C). \! Atunci A^1 =A, \; A^2=A \cdot A, \; A^3=A^2 \cdot A, \cdots , A^n=A^{n-1} \cdot A, \forall  n \in \mathbb N^*. \! (Convenim A^0= I_2 \!).

Teorema Cayley-Hamilton Edit

Orice matrice A \in M_n(\mathbb C) \! îşi verifică polinomul caracteristic:

det (A- \lambda I) =0. \!

Pentru n=2. \!

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow \; det\; A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d  \end{vmatrix} = ad-bc. \!
A-\lambda I =  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a- \lambda & b \\ c & d- \lambda \end{pmatrix}.   \!
det \; A- \lambda I = 0 \; \Leftrightarrow \; \begin{pmatrix} a- \lambda & b \\ c & d- \lambda \end{pmatrix} = 0 \; \Leftrightarrow \; (a - \lambda)(d- \lambda)-bc=0 \Rightarrow \!
\Rightarrow \; ad- (a+d)\lambda + \lambda^2 -bc=0 \; \Rightarrow \!
\Rightarrow \; \lambda^2 - (a+d) \lambda + ad-bc=0 \! (polinom caracteristic)

Generalizare:prof  G DANIELA


.



A^n- (Tr \; A) \cdot A^{n-1} + (det \; A) \cdot I_n=0. \!

Rangul unei matrici Edit

Definiţie. Dacă A=(a_{ij}) \in \mathcal M_{mn}(K), \; p, q \in \mathbb N^* \! şi

1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le m; \!
1 \le j_1 < j_2 < \cdots <j_q \le n; \!

sunt două șiruri strict crescătoare de numere naturale, atunci matricea:

[a_{i_lj_q}] = \begin{vmatrix} a_{i_1  j_1} &  a_{i_1  j_2} & \cdots & a_{i_1  j_q} \\ a_{i_2  j_1} &  a_{i_2  j_2} & \cdots & a_{i_2  j_q} \\  \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\  a_{i_p  j_1} &  a_{i_p  j_2} & \cdots & a_{i_p  j_q}  \end{vmatrix} \in \mathcal M(K) \!

se numeşte submatrice (de tip (p, q) \!) a matricii A.

Un determinant al unei submatrici de tip (p, p) \! se numeşte minor de grad p.


Observaţie. Matricea A are C^p_m C_n^q \! submatrici de tip (p, q). \!


Definiţie. Spunem că o matrice A are rangul r (şi notăm rang(A)= r \!) dacă A are un minor de grad r nenul şi toţi minorii de ordin superior lui r ataşaţi lui A sunt nuli.


Teoremă. Dacă A \in \mathcal M_{mn}(K), \! atunci

rang(A) = rang(c_1^A, \cdots c_n^A)= rang (l_1^A, \cdots l_m^A). \!


Matrice aplicatii 1.png

Matrice aplicatii 2.png

Matrice aplicatii 3.png

Matrice aplicatii 4.png

Matrici şi vectori Edit

Considerăm mulţimea:

\mathbb R^n = \{ x=(x_1, x_2, \cdots , x_n) \; | \; | x_i \in \mathbb R \; \forall i = \overline {1, n} \} \!

Numim elementele lui \mathbb R^n \! vectori. \mathbb R^n \! este numit spaţiu n-dimensional. Pentru un vector \mathbf x , \! numerele x_i \! sunt denumite coordonate sau componente.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki