FANDOM


Definiţii Edit

Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip $ m \times n \! $) un tablou cu m linii şi n coloane:

$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \! $

ale cărui elemente $ a_{ij} \! $ sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează şi $ A= \left ( a_{ij} \right ), \! $ unde $ i = \overline {1, m} \! $ şi $ j = \overline {1, n}. \! $ Pentru elementul $ a_{ij}, \! $ indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulţimea matricilor de tip $ m \times n \! $ cu elemente numere reale se notează prin $ M_{m, n} (\mathbb R). \! $ Aceleaşi semnificaţii au şi mulţimile $ M_{m, n} (\mathbb Z), M_{m, n} (\mathbb Q), M_{m, n} (\mathbb C). \! $

Cazuri particulare Edit

1) O matrice de tipul $ 1 \times n \! $ (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma:

$ A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \! $

2) O matrice de tipul $ m \times 1 \! $ (deci cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma:

$ B= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_m \end{pmatrix} \! $

3) O matrice de tip $ m \times n \! $ se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

$ O= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \! $

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică:

$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \! $


Sistemul de elemente $ (a_{11} \; a_{22} \; \cdots \; a_{nn}) \! $ reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matricii A notată:

$ Tr(A)= \sum_{i=1}^n a_{ii}. \! $


Mulţimea matricilor pătratice se notează $ M_n(\mathbb C). \! $ Printre aceste matrici, una este foarte importantă, aceasta fiind:

$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \! $

şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Operaţii cu matrici Edit

Egalitatea a două matrici Edit

Definiţie. Fie $ A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \! $ Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem $ A=B \! $ dacă:

$ a_{ij} = b_{ij}, \; \forall i= \overline{1, m}, \; \forall j = \overline{1, n}. \! $

Adunarea matricilor Edit

Definiţie. Fie $ A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}), \; C=(c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \! $ Matricea C se numeşte suma matricilor A, B dacă:

$ c_{ij} = a_{ij}+ b_{ij}, \; \forall i=\overline{1, m} , \forall j=\overline{1, n}. \! $


Observaţii. 1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci $ A, B \in M_{m, n} (\mathbb C). \! $

2) Explicit, adunarea matricilor A, B înseamnă:

$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}= \! $
$ = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix}. \! $

Proprietăţi ale adunării matricilor Edit

$ A_1 \! $ (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:

$ (A+B)+C= A+(B+C), \; \forall A, B, C \in M_{m, n}(\mathbb C). \! $

$ A_2 \! $ (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:

$ A+B=B+A, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C). \! $

$ A_3 \! $ (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

$ \exists O_{m, n} \in M_{m, n} (\mathbb C) \! $ astfel încât $ A+O_{m, n} = A \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \! $

$ A_4 \! $ (Elemente opuse). Orice matrice $ A \in M_{m, n}(\mathbb C) \! $ are un opus, notat $ -A, \! $ astfel încât:

$ A+(-A) = O_{m, n}. \! $

Înmulţirea cu scalari a matricilor Edit

Definiţie. Fie $ \lambda \in \mathbb C \! $ şi $ A=(a_{ij}) \in M_{m, n} (\mathbb C). \! $ Se numeşte produsul dintre scalarul $ \lambda \in \mathbb C \! $ şi matricea A, matricea notată $ \lambda A \in M_{m, n} (\mathbb C) \! $ definită prin $ \lambda A = (\lambda a_{ij}). \! $

Observaţie. A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

$ \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}. \! $

Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari:

$ S_1 \; \; \; \lambda(\mu A) = (\lambda \mu) A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \! $

$ S_2 \; \; \; \lambda (A+B) = \lambda A+ \lambda B, \; \forall \lambda \in \mathbb C, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C); \! $

$ S_3 \; \; \; (\lambda + \mu) A = \lambda A+ \mu A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \! $

$ S_4 \; \; \; 1 \cdot A = A, \; 1 \in \mathbb C , \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \! $

Înmulţirea matricilor Edit

Definiţie. Fie $ A=(a_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \! $ Produsul dintre matricile A şi B (în această ordine), notat $ AB \! $ este matricea $ C = (c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \! $ definită prin:

$ c_{kj} = \sum_{i=1}^n a_{ki}b_{ij}, \; \forall j = \overline{1, n}. \! $

Observaţii.

1) Produsul $ AB \! $ a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă $ A \in M_{m, n} (\mathbb C), B \in M_{n, p} (\mathbb C), \! $ adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obţine o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).

2) Dacă matricile sunt pătratice $ A, B \in M_n (\mathbb C) \! $ atunci are sens întotdeauna atât $ AB \! $ cât şi $ BA , \! $ iar în general, $ AB \neq BA \! $ adică înmulţirea matricilor nu este comutativă.


Proprietăţi ale înmulţirii matricillor:

$ I_1 \! $ (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică:

$ (AB)C = A(BC), \; \forall A \in M_{m, n} (\mathbb C), \; \forall B \in M_{n , p} (\mathbb C), \; \forall C \in M_{p, r} (\mathbb C), \; \! $

$ I_2 \! $ (Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică:

$ (A+B)C= AC+BC, \; C(A+B)= CA+CB, \; \forall A, B, C \! \! $ matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire.

$ I_3 \! $ Dacă $ I_n \in M_{n}(\mathbb C) \! $ este matricea unitate, atunci:

$ I_n A = AI_n =A, \; \forall A \in M_n (\mathbb C). \! $

spunem că $ I_n \! $ este element neutru

Puterile une matrici Edit

Definiţie. Fie $ A \in M_n(\mathbb C). \! $ Atunci $ A^1 =A, \; A^2=A \cdot A, \; A^3=A^2 \cdot A, \cdots , A^n=A^{n-1} \cdot A, \forall n \in \mathbb N^*. \! $ (Convenim $ A^0= I_2 \! $).

Teorema Cayley-Hamilton Edit

Orice matrice $ A \in M_n(\mathbb C) \! $ îşi verifică polinomul caracteristic:

$ det (A- \lambda I) =0. \! $

Pentru $ n=2. \! $

$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow \; det\; A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc. \! $
$ A-\lambda I = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a- \lambda & b \\ c & d- \lambda \end{pmatrix}. \! $
$ det \; A- \lambda I = 0 \; \Leftrightarrow \; \begin{pmatrix} a- \lambda & b \\ c & d- \lambda \end{pmatrix} = 0 \; \Leftrightarrow \; (a - \lambda)(d- \lambda)-bc=0 \Rightarrow \! $
$ \Rightarrow \; ad- (a+d)\lambda + \lambda^2 -bc=0 \; \Rightarrow \! $
$ \Rightarrow \; \lambda^2 - (a+d) \lambda + ad-bc=0 \! $ (polinom caracteristic)

Generalizare:

$ A^n- (Tr \; A) \cdot A^{n-1} + (det \; A) \cdot I_n=0. \! $

Rangul unei matrici Edit

Definiţie. Dacă $ A=(a_{ij}) \in \mathcal M_{mn}(K), \; p, q \in \mathbb N^* \! $ şi

$ 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le m; \! $
$ 1 \le j_1 < j_2 < \cdots <j_q \le n; \! $

sunt două șiruri strict crescătoare de numere naturale, atunci matricea:

$ [a_{i_lj_q}] = \begin{vmatrix} a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \cdots & a_{i_1 j_q} \\ a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \cdots & a_{i_2 j_q} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{i_p j_1} & a_{i_p j_2} & \cdots & a_{i_p j_q} \end{vmatrix} \in \mathcal M(K) \! $

se numeşte submatrice (de tip $ (p, q) \! $) a matricii A.

Un determinant al unei submatrici de tip $ (p, p) \! $ se numeşte minor de grad p.


Observaţie. Matricea A are $ C^p_m C_n^q \! $ submatrici de tip $ (p, q). \! $


Definiţie. Spunem că o matrice A are rangul r (şi notăm $ rang(A)= r \! $) dacă A are un minor de grad r nenul şi toţi minorii de ordin superior lui r ataşaţi lui A sunt nuli.


Teoremă. Dacă $ A \in \mathcal M_{mn}(K), \! $ atunci

$ rang(A) = rang(c_1^A, \cdots c_n^A)= rang (l_1^A, \cdots l_m^A). \! $


Matrice aplicatii 1

Matrice aplicatii 2

Matrice aplicatii 3

Matrice aplicatii 4

Matrici şi vectori Edit

Considerăm mulţimea:

$ \mathbb R^n = \{ x=(x_1, x_2, \cdots , x_n) \; | \; | x_i \in \mathbb R \; \forall i = \overline {1, n} \} \! $

Numim elementele lui $ \mathbb R^n \! $ vectori. $ \mathbb R^n \! $ este numit spaţiu n-dimensional. Pentru un vector $ \mathbf x , \! $ numerele $ x_i \! $ sunt denumite coordonate sau componente.

Vezi şi Edit

Resurse Edit