Fandom

Math Wiki

Masă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Masa unui sistem de puncte materiale Edit

Fie M un sistem material continuu sau discret. Acestuia îi asociem numărul real m(M), \! numit masa sistemului, care are următoarele proprietăţi:

1) m(M) \ge 0 , \; \forall M \in \mathcal P(M); \!

2) \frac{dm}{dt} =0, \! masa sistemului rămâne constantă în timpul mişcării;

3) \forall M_1, M_2, \cdots , M_n \! o partiţie a lui M, avem m(M)= \sum_{i=1}^n m(M_i). \!


Proprietăţile 1) şi 3) ne arată că masa este o măsură pozitivă pe mulţimea părţilor sistemului M. Prin urmare, avem reprezentarea:

m(M) = \int_M dm, \!

unde integrala se face pe varietatea materială M. Aici, şi în cele ce urmează, integrala pe M va fi înlocuită cu o sumă, dacă sistemul M este discret.

În plus, dacă presupunem că măsura m este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue \mu \! pe V, varietatea geometrică asociată varietăţii materiale M, atunci rezultă că există o funcţie unică \rho , \! numită masă specifică (sau masa unităţii de volum), astfel încât:

m(M) = \int_V \rho d \mu. \!   (1)


În mecanica clasică sunt utilizate varietăţi materiale ideale, cum ar fi puncte materiale, curbe materiale şi suprafeţe materiale. În primul caz, ele pot modela mişcarea electronilor într-un atom, al atomilor într-o moleculă, a planetelor în sistemul solar. În cel de-al doilea caz, ele sunt utlizate în descrierea comportamentului firelor subţiri, iar în ultimul caz, al plăcilor subţiri.


În cele ce urmează, vom prezenta definirea riguroasă a masei unui sistem discret alcătuit din n puncte materiale. În acest caz, varietatea geometrică corespunzătoare are măsura Lebesgue nulă. Prin urmare, formula de reprezentare (1) nu mai are loc, în sens clasic. De aceea, masa specifică va fi definita cu ajutorul distribuţiei Dirac. Astfel, fie m_0>0 \! masa concentrată în punctul x_0, \! presupusă a fi constantă în timp. Atunci, masa specifică va fi definită tot spaţiul \mathbb R^3, \! prin formula:

\rho = m_0 \delta (x-x_0). \!

Din (1) şi proprietăţile distribuţiei Dirac rezultă:

\int_{\mathbb R^3} m_0 \delta (x-x_0) d \mu = m_0 \int_{\mathbb R^3} (x-x_0) d \mu = m_0. \!

În cazul unui sistem de n puncte materiale x_i, \! având masele m_i >0, \; i = \overline{1, n}, \! constante în timp, vom defini masa specifică a sistemului material discret prin relaţia:

 \rho = \sum_{i=1}^n m_i \delta (x-x_i)

Atunci, masa totală a sistemului va rezulta sub forma:

m = \int_{\mathbb R^3} \rho d \mu = \sum_{i=1}^n \int_{\mathbb R^3} \delta (x-x_i) d \mu = \sum_{i=1}^n m_i. \!

Această formulă este în acord cu axioma a treia a masei.

Centru de masă Edit

Centrul de masă G al unui sistem material M este definit prin egalitatea:

\int_M \overrightarrow {GP} dm =0, \; \forall P \in M. \!   (1)

Fixând originea O a unui reper cartezian, din relaţia \overrightarrow {GP}=\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OP}, \! obţinem vectorul de poziţie al centrului de masă, sub forma:

\overrightarrow {OG} = \frac 1 m \int_M \overrightarrow {OP} dm, \; \; \forall P \in M. \!   (2)

Notând \overrightarrow {OG} = \xi \! şi \overrightarrow {OP}=x, \! vom obţine coordonatele centrului de masă G, în reperul cartezian cu originea în O, sub forma:

\xi_i = \frac 1  m \int_M x_i dm\; , \; \; i = 1, 2, 3 \!   (3)

Centrul da masă G este unicul punct cu acestă proprietate. Este evident că dacă G' \! este un alt centru de masă al sistemului, din (2) rezultă:

m(\overrightarrow {OG'} - \overrightarrow{OG})=0. \!   (4)

Deci G \equiv G'. \!

Proprietăţi Edit

1) Centrul de masă al unui sistem material se află în interiorul oricărei suprafeţe convexe care conţine în aceeaşi zonă a spaţiului sistemul de puncte materiale.

2) Dacă punctele unui sistem material se află pe o dreaptă sau într-un plan, atunci centrul de masă se află pe acea dreaptă, respectiv în acel plan.

3) Dacă sistemul material admite o varietate de simetrie (punct, axă, plan) atunci centrul de masă al sistemului se află pe acea varietate de simetrie.

4) Dacă sistemul material M admite o partiţie \{M_i \}_{i= \overline{1, n}}, \! fiecare subsistem M_i \! având masa m_i \! şi centrul de masă G_i, \! atunci centrul de masă al sistemului G va avea vectorul de poziţie \overrightarrow {OG}, \! dat de relaţia:

(\sum_{i=1}^n m_i) \overrightarrow {OG} = \sum_{i=1}^n (m_i \overrightarrow {OG_i}). \!

5) Dacă sistemul material M = M_1 \setminus M_2, \! reprezintă diferenţa sistemelor M_1 \! şi M_2, \! de mase m_1 \! şi m_2 \! şi centre de masă G_1 \! şi G_2, \! atunci centrul de masă al sistemului G va avea vectorul de poziţie \overrightarrow {OG}, \! dat de relaţia:

(m_1 - m_2) \overrightarrow {OG} = m_1 \overrightarrow{OG_1} - m_2 \overrightarrow{OG_2}. \!

6) Fie M un sistem material supus sistemului de forţe \{\vec F_i  \}_{i=\overline{1, n}} . \!

Presupunem că rezultanta \vec R \neq 0. \! Să se arate că locul geometric al punctelor P pentru care rezultanta \vec R \! şi momentul rezultant \vec M_P \! sunt colineare este o dreaptă, numită axa centrală a sistemului.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki