FANDOM


Fie $ \mathcal I \subseteq \mathcal J \! $ familia tuturor intervalelor deshise (mărginite sau nemărginite) din $ \mathbb R. \! $[1]


Lemă. Fie $ \{ I_p \; : \; p \in \mathbb N \} \subseteq \mathcal I. \! $

  1). Dacă $ I_0 \subseteq \bigcup_{p=1}^{\infty} I_p, \! $ atunci $ |I_0| \le \sum_{p=1}^{\infty} |I_p|. \! $

  2). Dacă $ \bigcup_{p=1}^{\infty} I_p \subseteq I_0 \! $ şi $ I_p \cap I_q = \varnothing, \; \forall p \neq q, \! $ atunci $ \sum_{p=1}^{\infty} |I_p| \le |I_0|. \! $

Demonstraţie. 1). Dacă unul dintre intervalele $ I_p, \; p \ge 1 \! $ este nemărginit atunci $ |I_p| = + \infty \! $ şi astfel inegalitatea este evident verificată.

a). Dacă primul interval $ I_0 = (a, b) \! $ este mărginit, atunci, pentru orice $ \varepsilon >0, \; [a+ \varepsilon, b-\varepsilon] \subseteq \bigcup_{p=1}^{\infty} (a_p, b_p) \! $ şi deci există $ p_0 \in \mathbb N^* \! $ astfel încât:

$ [a + \varepsilon, b - \varepsilon] \subseteq \bigcup_{k=1}^{p_0} (a_k, b_k). \! $   (*)

(Dacă nu, pentru orice $ p \in \mathbb N^* \! $ există $ x_p \in [a + \varepsilon, b - \varepsilon] \setminus \bigcup_{k=1}^p (a_k, b_k). \! $ Şirul $ (x_p)_p \! $ fiind mărginit admite un subşir $ (x_k)_p \! $ convergent la un $ x \in [a + \varepsilon, b - \varepsilon]. \! $ Fie atunci $ p_1 \in \mathbb N^* \! $ a.î. $ x \in I_{p_1}; \! $ deoarece $ I_{p_1} \! $ este vecinătate a lui x, există $ p_2 \in \mathbb N^*, \; p_2> p_1 \! $ a.î. $ x_{k_p} \in I_{p_1}, \! $ oricare ar fi $ p \ge p_2. \! $ Deoarece $ p_1 < p_2 \le k_{p_2}, \! $ aceasta contrazice însă $ x_{k_{p_2}} \in [a + \varepsilon, b - \varepsilon] \setminus \bigcup_{k=1}^p (a_k, b_k). \! $ )

Relaţia (*) ne permite să reordonăm familia finită de intervale $ \{ (a_k, b_k) \; : \; k =1, 2, \cdots , p_0 \} \! $ a.î. $ a_1 < a + \varepsilon < b -\varepsilon < b_{p_0}. \! $ Atunci $ b-a - 2 \varepsilon < b_{p_0} - a_1 \le \sum_{k=1}^{p-0} |I_k| \le \sum_{k=1}^{\infty} |I_k|. \! $ Deoarece $ \varepsilon \! $ este arbitrar pozitiv,

$ b-a = |I_0| \le \sum_{p=1}^{\infty} |I_p|. \! $


b). Dacă $ I_0= (a, + \infty) \! $ atunci, oricare ar fi $ n \in \mathbb N, \; (a, n) \subseteq \bigcup_{p=1}^{\infty} I_p. \! $ Folosind punctul precedent, $ n-a \le \sum_{k=1}^{\infty} |I_k| \! $ de unde $ \sum_{k=1}^{\infty} |I_k| = + \infty = |I_0|. \! $

La fel se face raţionamentul şi în celelalte cazuri posibile pentru $ I_0. \! $


2). Dacă $ I_0 \! $ este nemarginit, atunci $ |I_0| = + \infty \ge \sum_{p=1}^{\infty} |I_p|. \! $

Să presupunem acum că $ I_0 =(a, b) \! $ este mărginit; atunci toate intervalele $ I_p= (a_p, b_p), \; p \in \mathbb N^*, \! $ vor fi mărginite.


Oricare ar fi $ n \in \mathbb N^*, \; \; \bigcup_{p=1}^n I_p \subseteq I_0. \! $ Deoarece $ I_1, I_2, \cdots , I_n \! $ sunt disjuncte două câte două, putem să le reordonăm aşa fel încât:

$ a \le a_1 \le b_1 \le a_2 \le b_2 \le \cdots \le a_n \le b_n \le b. \! $


Atunci $ |I_0| = b-a \ge (b_1-a_1)+ (b_2 - a_2) + \cdots + (b_n-a_n) = \sum_{p=1}^n |I_p|. \! $

Deoarece n este arbitrar în $ \mathbb N^*, \! $ trecem la limită în relaţia de mai sus pentru $ n \to + \infty \! $ şi obţinem inegalitatea dorită.


Definiţie. O mulţime $ A \subseteq \mathbb R \! $ este deschisă dacă $ A = \varnothing \! $ sau dacă, pentru orice $ x \in A, \! $ există un interval deschis $ I \in \mathcal I \! $ aşa fel încât $ x \in I \subseteq A. \! $ Vom nota cu $ \tau_u \! $ familia mulţimilor deschise pe $ \mathbb R. \! $ Această familie este o topologie pe $ \mathbb R, \! $ adică satisface următoarele proprietăţi:

$ \mathbf{(T_1)} \; \; D \cap G \in \tau_u, \; \forall D, G \in \tau_u; \! $
$ \mathbf{(T_2)} \; \; U_{\gamma \in \Gamma} \in \tau_u, \; \forall \{ D_{\gamma} \; : \; \gamma \in \Gamma \} \subseteq \tau_u; \! $
$ \mathbf{(T_3)} \; \; \varnothing, \mathbb R \in \tau_u. \! $

Vom spune că $ \tau_u \! $ este topologia uzuală pe $ \mathbb R. \! $


Note Edit

  1. Prin $ \mathcal J \! $ s-a notat familia tuturor intervalelor (deschise sau închise) din $ \mathbb R. \! $

Vezi şi Edit

Resurse Edit