Fandom

Math Wiki

Măsura unei mulțimi deschise

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie \mathcal I \subseteq \mathcal J \! familia tuturor intervalelor deshise (mărginite sau nemărginite) din \mathbb R. \![1]


Lemă. Fie \{ I_p \; : \; p \in \mathbb N \} \subseteq \mathcal I. \!

  1). Dacă I_0 \subseteq \bigcup_{p=1}^{\infty} I_p, \! atunci |I_0| \le \sum_{p=1}^{\infty} |I_p|. \!

  2). Dacă \bigcup_{p=1}^{\infty} I_p \subseteq I_0 \! şi I_p \cap I_q = \varnothing, \; \forall p \neq q, \! atunci \sum_{p=1}^{\infty} |I_p| \le |I_0|. \!

Demonstraţie. 1). Dacă unul dintre intervalele I_p, \; p \ge 1 \! este nemărginit atunci |I_p| = + \infty \! şi astfel inegalitatea este evident verificată.

a). Dacă primul interval I_0 = (a, b) \! este mărginit, atunci, pentru orice \varepsilon >0, \; [a+ \varepsilon, b-\varepsilon] \subseteq \bigcup_{p=1}^{\infty} (a_p, b_p) \! şi deci există p_0 \in \mathbb N^* \! astfel încât:

[a + \varepsilon, b - \varepsilon] \subseteq \bigcup_{k=1}^{p_0} (a_k, b_k). \!   (*)

(Dacă nu, pentru orice p \in \mathbb N^* \! există x_p \in [a + \varepsilon, b - \varepsilon] \setminus \bigcup_{k=1}^p   (a_k, b_k). \! Şirul (x_p)_p \! fiind mărginit admite un subşir (x_k)_p \! convergent la un x \in [a + \varepsilon, b - \varepsilon]. \! Fie atunci p_1 \in \mathbb N^* \! a.î. x \in I_{p_1}; \! deoarece  I_{p_1} \! este vecinătate a lui x, există p_2 \in \mathbb N^*, \; p_2> p_1 \! a.î. x_{k_p} \in I_{p_1}, \! oricare ar fi p \ge p_2. \! Deoarece p_1 < p_2 \le k_{p_2}, \! aceasta contrazice însă x_{k_{p_2}} \in [a + \varepsilon, b - \varepsilon] \setminus \bigcup_{k=1}^p   (a_k, b_k). \! )

Relaţia (*) ne permite să reordonăm familia finită de intervale \{ (a_k, b_k) \; : \; k =1, 2, \cdots , p_0 \} \! a.î. a_1 < a + \varepsilon < b -\varepsilon < b_{p_0}. \! Atunci b-a - 2 \varepsilon < b_{p_0} - a_1 \le \sum_{k=1}^{p-0} |I_k| \le \sum_{k=1}^{\infty} |I_k|. \! Deoarece \varepsilon \! este arbitrar pozitiv,

b-a = |I_0| \le \sum_{p=1}^{\infty} |I_p|. \!


b). Dacă I_0= (a, + \infty) \! atunci, oricare ar fi n \in \mathbb N, \; (a, n) \subseteq \bigcup_{p=1}^{\infty} I_p. \! Folosind punctul precedent, n-a \le \sum_{k=1}^{\infty} |I_k| \! de unde  \sum_{k=1}^{\infty} |I_k|   = + \infty = |I_0|. \!

La fel se face raţionamentul şi în celelalte cazuri posibile pentru I_0. \!


2). Dacă I_0 \! este nemarginit, atunci |I_0| = + \infty \ge \sum_{p=1}^{\infty} |I_p|. \!

Să presupunem acum că I_0 =(a, b) \! este mărginit; atunci toate intervalele I_p= (a_p, b_p), \; p \in \mathbb N^*, \! vor fi mărginite.


Oricare ar fi n \in \mathbb N^*, \; \; \bigcup_{p=1}^n I_p \subseteq I_0. \! Deoarece I_1, I_2, \cdots , I_n \! sunt disjuncte două câte două, putem să le reordonăm aşa fel încât:

a \le a_1 \le b_1 \le a_2 \le b_2 \le  \cdots \le a_n \le b_n \le b. \!


Atunci |I_0| = b-a \ge (b_1-a_1)+ (b_2 - a_2) + \cdots + (b_n-a_n) = \sum_{p=1}^n |I_p|. \!

Deoarece n este arbitrar în \mathbb N^*, \! trecem la limită în relaţia de mai sus pentru n \to + \infty \! şi obţinem inegalitatea dorită.


Definiţie. O mulţime A \subseteq \mathbb R \! este deschisă dacă A = \varnothing \! sau dacă, pentru orice x \in A, \! există un interval deschis I \in \mathcal I \! aşa fel încât x \in I \subseteq A. \! Vom nota cu \tau_u \! familia mulţimilor deschise pe \mathbb R. \! Această familie este o topologie pe \mathbb R, \! adică satisface următoarele proprietăţi:

\mathbf{(T_1)} \; \; D \cap G \in \tau_u, \; \forall D, G \in \tau_u; \!
\mathbf{(T_2)} \; \; U_{\gamma \in \Gamma} \in \tau_u, \; \forall \{ D_{\gamma} \; : \; \gamma \in \Gamma \} \subseteq \tau_u; \!
\mathbf{(T_3)} \; \; \varnothing, \mathbb R \in \tau_u. \!

Vom spune că \tau_u \! este topologia uzuală pe \mathbb R. \!


Note Edit

  1. Prin \mathcal J \! s-a notat familia tuturor intervalelor (deschise sau închise) din \mathbb R. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki