FANDOM


Măsura Lebesgue pe $ \mathbb R \! $ Edit

Un interval de numere reale este o mulțime $ J \subseteq \mathbb R \! $ cu proprietatea că, pentru orice $ x, y \in J \! $ şi pentru orice z cu $ x<z < y, \! $ rezultă că $ z \in J. \! $

Fie J un interval şi fie $ a = inf \; J \! $ şi $ b= sup \; J; \! $ atunci $ (a, b) \subseteq J \subseteq [a, b], \! $ unde $ (a, b) = \{ x \in \mathbb R\; : \; a<x < b \} \! $ şi $ [a, b] = \{ x \in \mathbb R \; : \; a \le x \le b \}. \! $ Dacă $ a = - \infty \! $ sau $ b= + \infty, \! $ atunci intervalul J este nemărginit; dacă $ a, b \in \mathbb R, \; \; J \! $ este unul dintre intervalele mărginite $ (a, b), \; (a, b], \; [a, b), \; [a, b]. \! $

Fie $ \mathcal J \! $ familia tuturor intervalelor (mărginite sau nemărginite) din $ \mathbb R; \! $ pentru orice interval $ J \in \mathcal J \! $ vom nota cu $ |J| \! $ lungimea acestui interval ($ |J|= + \infty \! $ dacă J este nemărginit). Vom conveni ca $ \varnothing = (a, a) \in \mathcal J \! $ şi atunci $ |\varnothing|=0 \! $

Dacă $ J \in \mathcal J \! $ şi $ x \in \mathbb R \! $ atunci $ x+ J = \{ x+ y \; : \; y \in J \} \in \mathcal J \! $ şi $ |x+ J| = |J|. \! $

Întrebările la care dorim să răspundem sunt următoarele:

  1). Există o funcție de mulţime $ \lambda \! $ defintă pe familia tuturor submulţimilor lui $ \mathbb R, \; \mathcal P(\mathbb R), \! $ care să verifice următoarele proprietăţi:

  a).$ \lambda (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda (A_n), \; \forall (A_n) \subseteq \mathcal P(\mathbb R), \; A_n \cap A_m = \varnothing, \; \forall n \neq m, \! $

  b). $ \lambda (J) =|J|, \; \forall j \in \mathcal J, \! $

  c). $ \lambda(x+A) = \lambda(A), \; \forall A \subseteq \mathbb R, \; \forall x \in \mathbb R ? \! $

Precizăm de la început că o astfel de funcţie nu există. Atunci se impune o a doua întrebare:

  2). Care este cea mai amplă clasă $ \mathcal A \subseteq \mathcal P(\mathbb R) \! $ la care putem prelungi funcţia de lungime a intervalelor astfel încât prelungirea să verifice cele trei proprietăţi de mai sus pe $ \mathcal A \! $?


Vezi şi Edit

Resurse Edit