Fandom

Math Wiki

Măsură Lebesgue

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Măsura Lebesgue pe \mathbb R \! Edit

Un interval de numere reale este o mulțime J \subseteq \mathbb R \! cu proprietatea că, pentru orice x, y \in J \! şi pentru orice z cu x<z < y, \! rezultă că z \in J. \!

Fie J un interval şi fie a = inf \; J \! şi b= sup \; J; \! atunci (a, b) \subseteq J \subseteq [a, b], \! unde (a, b)  = \{ x \in \mathbb R\; : \; a<x < b \} \! şi [a, b] = \{ x \in \mathbb R \; : \; a \le x \le b \}. \! Dacă a = - \infty \! sau b= + \infty, \! atunci intervalul J este nemărginit; dacă a, b \in \mathbb R, \; \; J \! este unul dintre intervalele mărginite (a, b), \; (a, b], \; [a, b), \; [a, b]. \!

Fie \mathcal J \! familia tuturor intervalelor (mărginite sau nemărginite) din \mathbb R; \! pentru orice interval J \in \mathcal J \! vom nota cu |J| \! lungimea acestui interval (|J|= + \infty \! dacă J este nemărginit). Vom conveni ca \varnothing = (a, a) \in \mathcal J \! şi atunci |\varnothing|=0 \!

Dacă J \in \mathcal J \! şi x \in \mathbb R \! atunci x+ J = \{ x+ y \; : \; y \in J \} \in \mathcal J \! şi |x+ J| = |J|. \!

Întrebările la care dorim să răspundem sunt următoarele:

  1). Există o funcție de mulţime \lambda \! defintă pe familia tuturor submulţimilor lui \mathbb R, \; \mathcal P(\mathbb R), \! care să verifice următoarele proprietăţi:

  a). \lambda (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda (A_n), \; \forall (A_n) \subseteq \mathcal P(\mathbb R), \; A_n \cap A_m = \varnothing, \; \forall n \neq m, \!

  b). \lambda (J) =|J|, \; \forall j \in \mathcal J, \!

  c). \lambda(x+A) = \lambda(A), \; \forall A \subseteq \mathbb R, \; \forall x \in \mathbb R ? \!

Precizăm de la început că o astfel de funcţie nu există. Atunci se impune o a doua întrebare:

  2). Care este cea mai amplă clasă \mathcal A \subseteq \mathcal P(\mathbb R) \! la care putem prelungi funcţia de lungime a intervalelor astfel încât prelungirea să verifice cele trei proprietăţi de mai sus pe \mathcal A \!?


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki