Fandom

Math Wiki

Lungimea unui arc de curbă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Linia poligonala.png

În cazul curbelor plane, elementul de arc, notat ds, \! este dat de: ds= \|d \vec r  \|, \! şi defineşte lungimea arcului elementar. Deoarece d \dot \vec r = \dot \vec r dt, \! în cazul curbelor spaţiale avem:

d \vec r = [\dot x (t) \vec i + \dot y (t) \vec j + \dot z (t) \vec k] dt \!

Dacă curba spaţială este dată prin reprezentarea parametrică, atunci elementul de arc este:

ds= \sqrt{[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2} dt \!

Dacă A(t_0) \! şi B(t_1) \! sunt două puncte de pe curba \Gamma, \! atunci lungimea arcului de curbă situat între cele două puncte este dat de:

l_{AB} = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2} dt. \!


Dacă curba este dată prin ecuaţia carteziană explicită, atunci făcând o parametrizare naturală: \begin{cases} x=t \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}, \! obţinem pentru element de arc relaţia:

ds= \sqrt{1+ [\dot y(x)]^2 + [\dot z(x)]^2}dx. \!


Fie \Gamma \! dată parametric:


\left \{
\begin{array} {lr}
x= x(t)
\\
y= y(t) & t \in [a, b]
\\
z= z(t)
\end{array}
\right .

Ne propunem să definim lungimea acestei curbe, precum şi o formulă de calcul pentru lungime. Pentru acesta înscriem în curba \Gamma \! linia poligonală M_0 M_1 \cdots M_n (vezi figura precedentă).

Definiţia 3.1: Se numeşte lungimea curbei \Gamma \! limita lungimii liniei poligonale M_0 M_1 \cdots M_n când n \longrightarrow \infty şi lungimea celui mai mare segment de pe linia poligonală tinde la zero.

Teorema 3.1: Dacă funcţiile x(t), y(t), z(t) \! au derivată continuă atunci curba \Gamma \! are lungime finită, dată de:

l(\Gamma) = \int_a^b \sqrt {x'^2 (t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt   (LCS)
Demonstraţie: Lungimea liniei poligonale M_0 M_1 \cdots M_n este dată de (t_i \! este valoarea parametrului t corespunzătoare punctului M_i \!):
l_n = \sum_{i=1}^n \sqrt {(x(t_i) - x(t_{i-1}))^2 + (y(t_i) - y(t_{i-1}))^2 + (z(t_i) - z (t_{i-1}))^2} =

= \sum_{i=1}^n (t_i - t_{i-1}) \sqrt {x'^2 (\xi_i) + y'^2 (\zeta_i) + z'^2 (\theta_i)}

unde \xi_i, \; \zeta_i, \; \theta_i \in (t_i, t_{i-1}).

Se demonstrează la analiză matematică că limita lui l_n \! când n \longrightarrow \infty \! şi max_{i= \overline {1, n}} |t_i - t_{i-1}| \longrightarrow 0 este tocmai integrala din partea dreaptă a egalităţii (LCS) \Box

Definiţia 3.2: Se numeşte parametrul natural al curbei \Gamma \! lungimea arcului de curbă AM, A fiind punctul de coordonate (x(a), y(a), z(a)) \!, iar M punctul de coordonate (x(t), y(t), z(t)) \! .

Din teorema precedentă rezultă imediat:

Propoziţia 3.1: Parametrul natural al curbei este dat de:

(0.3.1)   s= \int_a^t \sqrt {x'^2(\tau) + y'^2(\tau) + z'^2(\tau)} d \tau

Remarca 3.1: Dacă în loc de parametrul t se consideră ca şi parametru parametrul natural s se obţine o parametrizare echivalentă a curbei (vezi remarca ??), numită parametrizarea naturală:

(0.3.2)   \vec r (s) = x (s) \vec i + y (s) \vec j + z (s) \vec k \;, \; \; k, s \in [0, l(\Gamma)].

Teorema 3.2: Dacă curba \Gamma \! este parametrizată natural atunci:

(0.3.3)     | \vec r' (s)| = 1

Demonstraţie:
\vec r' (s) = x' (s) \vec i + y' (s) \vec j + z' (s) \vec k =

= \frac {dt}{ds} x' (t) \vec i + \frac {dt}{ds} y' (t) \vec j + \frac {dt}{ds} z' (t) \vec k = = \frac {x' (t) \vec i + y' (t) \vec j + z' (t) \vec k}{\frac {ds}{dt}} = \frac {x' (t) \vec i + y' (t) \vec j + z' (t) \vec k}{\sqrt {x'^2 (t) + y'^2 (t) + z'^2 (t)}}

de unde calculând modulul rezultă formula (0.3.3).


Din teorema precedentă şi corolarul 3.1 rezultă:

Corolarul 3.1: Vectorul \vec {r''} (s) este perpendicular pe \vec {r'} (s).



Lungimea unei curbe plane. Parametrizare canonică Edit

Să considerăm că C = Im \; c, \! unde

c: [a, b] \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2, \; c(t) = (x(t), y(t)), \; a<b, \!

este o curbă plană parametrizată regulat.


Definiţie. Lungimea curbei C = Im \; c \! este definită prin formula:

L(C) = \int_a^b \|  \dot c(t) \| dt= \int_a^b \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt >0. \!

Observaţie. Definiţia de mai sus este consistentă din punct de vedere geometric deoarece dacă împărţim curba plană C = Im \; c \! în arce de curbă suficient de mici, atunci putem aproxima lungimea acestor arce de curbă cu lungimea segmentelor de dreaptă pe care le subîntind. Evident, lungimea curbei C = Im \; c \! se obţine adunând lungimile acestor segmente de dreaptă şi aplicând sumei un procedeu la limită ca la integrale care ne conduce la formula de mai sus.


Observaţie. Dacă \bar t = \bar t(t) \! este o schimbare de parametru pentru curba plană C = Im \; c, \! atunci:

L(\bar C) = L(C), \!

adică lungimea unei curbe plane nu depinde nici de parametrizare, nici de orientare.


Exemplu. Sa se calculeze lungimea cercului C = Im \; c, \! unde:

c: [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb R^2, \; c(t) = (r \cos t, r \sin t), \; r>0. \!


Vectorul tangent într-un punct arbitrar al cercului C = Im \; c \! este:

\dot c(t) = (-r \sin t, r \cos t) \!

iar norma acestui vector (viteza) este:

v(t) = \| \dot c(t) \| = r, \; \forall t \in [0, 2 \pi]. \!

În concluzie, lungimea cercului este:

L(C) = \int_0^{2\pi} r dt = 2 \pi r. \!


Teoremă. Dacă L>0 \! este lungimea curbei plane C = Im \; c, \! atunci funcţia:

s: [a, b] \rightarrow [0, L], \; s(t) \overset{def}{=} \int_a^t \| \dot c(\sigma) \| d \sigma \!

este o schimbare de parametru pentru curba C = Im \; c \! având proprietatea că:

\| \dot {\tilde c(s)} \| =1, \; \forall s \in [0, L], \!

unde:

\tilde c: [0, L] \rightarrow \mathbb R^2, \; \tilde c(s) = c(t(s)) = (x(t(s)), y(t(s))). \!

Demonstraţie. Din definiţia integralei definite deducem că şi funcţia

s(t) = \int_a^b \| \dot c(\sigma) \| d \sigma \!

este derivabilă şi, mai mult, avem:

\frac{ds}{dt} = \| \dot c(t) \| \neq 0, \; \forall t \in [a, b]. \!

Atunci conform teoremei funcţiei inverse din analiză matematică, rezultă că funcţia s= s(t) \! este inversabilă iar inversa acesteia:

t= t(s) \!

verifică relaţia:

\frac{dt}{ds} = \frac{1}{\| \dot c(s) \|} \neq 0, \; \forall s \in [0, L]. \!

În concluzie, funcţia s=s(t) \! este oschimbare de parametru, adică aplicaţia:

\tilde c : [0, L] \rightarrow \mathbb R^2, \; \tilde c(s) = c(t(s)) =  (x(t(s)), y(t(s))), \!

este o reparametrizare a curbei C = Im \;  c. \! Prin urmare, avem:

\tilde C = Im \; \tilde c = Im \; c = C. \!

Folosim acum regula de derivare a funcţiilor compuse, deducem că:

\dot {\tilde c(s)} = \dot c (t(s)) \cdot \frac{dt}{ds} \; \Rightarrow \; \| \dot {\tilde c (t(s))} \| = \| \dot c(t(s)) \| \cdot \frac{1}{\| \dot c(t(s)) \|} = 1, \; \forall s \in [0, L] \!

QED.


Definiţie. Parametrul s din teorema precedentă se numeşte parametrul canonic sau parametrul lungime de arc al curbei C = Im \; c \! iar reparametrizarea curbei C = Im \; c \! dată de:

\tilde c : [0, L] \rightarrow \mathbb R^2, \; \tilde c(s) = c(t(s)) = (x(t(s)), y(t(s))), \!

se numeşte parametrizarea canonică a curbei plane C = Im \; c. \!


Observaţii.

1. Parametrizarea canonică a curbei C = Im \; c \! păstrează orientarea curbei C deoarece:

\frac{dr}{ds} = \frac {1}{\| \dot c(s) \|} >0, \;  \forall s \in [0, L]. \!

2. Proprietatea fundamentală a unei curbe plane \tilde C = Im \; \tilde c, \! parametrizată canonic prin:

\tilde c(s) = (\tilde x(s), \tilde y(s)), \; \forall s \in [0, L], \!

este că:

\| \dot {\tilde c(s)} \| = 1  , \; \forall s \in [0, L]. \!

Din acest motiv, curbele plane parametrizate canonic se mai numesc şi curbe de viteză unu.


3. Teorema precedentă ne arată că teoretic orice curbă plană parametrizată regulată poate fi reparametrizată canonic. Practic însă găsirea parametrului canonic s este adesea foarte dificilă, chiar imposibilă, deoarece integrala care defineşte parametrul canonic conduce la funcţii s(t) \! extrem de complicate, care nu pot fi uşor inversate.


Exemplu. Să se reparametrizeze prin lungimea de arc cercul C = Im \; c, \! unde:

c : [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb R^2, \; c(t) = (r \cos t, r \sin t), \; r>0. \!


Lg arc img 1.png Lg arc img 2.png


Lungime arc curba 3.png Lungime arc curba 4.png Lungime arc curba 5.png Lungime arc curba 6.png Lungime arc curba 7.png Lungime arc curba 8.png Lungime arc curba 9.png Lungime arc curba 10.png Lungime arc curba 11.png Lungime arc curba 12.png Lungime arc curba 13.png Lungime arc curba 14.png Lungime arc curba 15.png Lungime arc curba 16.png Lungime arc curba 17.png Lungime arc curba 18.png Lungime arc curba 19.png

Studiu vectorial Edit

Vector lung arc 1.png Vector lung arc 2.png Vector lung arc 3.png Vector lung arc 4.png Vector lung arc 5.png Vector lung arc 6.png

Lung arc rasp.png

Resurse Edit


În alte limbi
* English

Also on Fandom

Random Wiki