Math Wiki
Register
Advertisement
Linia poligonala

În cazul curbelor plane, elementul de arc, notat este dat de: şi defineşte lungimea arcului elementar. Deoarece în cazul curbelor spaţiale avem:

Dacă curba spaţială este dată prin reprezentarea parametrică, atunci elementul de arc este:

Dacă şi sunt două puncte de pe curba atunci lungimea arcului de curbă situat între cele două puncte este dat de:


Dacă curba este dată prin ecuaţia carteziană explicită, atunci făcând o parametrizare naturală: obţinem pentru element de arc relaţia:



Fie dată parametric:

Ne propunem să definim lungimea acestei curbe, precum şi o formulă de calcul pentru lungime. Pentru acesta înscriem în curba linia poligonală (vezi figura precedentă).

Definiţia 3.1: Se numeşte lungimea curbei limita lungimii liniei poligonale când şi lungimea celui mai mare segment de pe linia poligonală tinde la zero.

Teorema 3.1: Dacă funcţiile au derivată continuă atunci curba are lungime finită, dată de:

  (LCS)
Demonstraţie: Lungimea liniei poligonale este dată de ( este valoarea parametrului t corespunzătoare punctului ):

unde .

Se demonstrează la analiză matematică că limita lui când şi este tocmai integrala din partea dreaptă a egalităţii (LCS)

Definiţia 3.2: Se numeşte parametrul natural al curbei lungimea arcului de curbă AM, A fiind punctul de coordonate , iar M punctul de coordonate .

Din teorema precedentă rezultă imediat:

Propoziţia 3.1: Parametrul natural al curbei este dat de:

(0.3.1)  

Remarca 3.1: Dacă în loc de parametrul t se consideră ca şi parametru parametrul natural s se obţine o parametrizare echivalentă a curbei (vezi remarca ??), numită parametrizarea naturală:

(0.3.2)   .

Teorema 3.2: Dacă curba este parametrizată natural atunci:

(0.3.3)    

Demonstraţie:

de unde calculând modulul rezultă formula (0.3.3).


Din teorema precedentă şi corolarul 3.1 rezultă:

Corolarul 3.1: Vectorul este perpendicular pe .



Lungimea unei curbe plane. Parametrizare canonică[]

Să considerăm că unde

este o curbă plană parametrizată regulat.


Definiţie. Lungimea curbei este definită prin formula:

Observaţie. Definiţia de mai sus este consistentă din punct de vedere geometric deoarece dacă împărţim curba plană în arce de curbă suficient de mici, atunci putem aproxima lungimea acestor arce de curbă cu lungimea segmentelor de dreaptă pe care le subîntind. Evident, lungimea curbei se obţine adunând lungimile acestor segmente de dreaptă şi aplicând sumei un procedeu la limită ca la integrale care ne conduce la formula de mai sus.


Observaţie. Dacă este o schimbare de parametru pentru curba plană atunci:

adică lungimea unei curbe plane nu depinde nici de parametrizare, nici de orientare.


Exemplu. Sa se calculeze lungimea cercului unde:


Vectorul tangent într-un punct arbitrar al cercului este:

iar norma acestui vector (viteza) este:

În concluzie, lungimea cercului este:


Teoremă. Dacă este lungimea curbei plane atunci funcţia:

este o schimbare de parametru pentru curba având proprietatea că:

unde:

Demonstraţie. Din definiţia integralei definite deducem că şi funcţia

este derivabilă şi, mai mult, avem:

Atunci conform teoremei funcţiei inverse din analiză matematică, rezultă că funcţia este inversabilă iar inversa acesteia:

verifică relaţia:

În concluzie, funcţia este oschimbare de parametru, adică aplicaţia:

este o reparametrizare a curbei Prin urmare, avem:

Folosim acum regula de derivare a funcţiilor compuse, deducem că:

QED.


Definiţie. Parametrul s din teorema precedentă se numeşte parametrul canonic sau parametrul lungime de arc al curbei iar reparametrizarea curbei dată de:

se numeşte parametrizarea canonică a curbei plane


Observaţii.

1. Parametrizarea canonică a curbei păstrează orientarea curbei C deoarece:

2. Proprietatea fundamentală a unei curbe plane parametrizată canonic prin:

este că:

Din acest motiv, curbele plane parametrizate canonic se mai numesc şi curbe de viteză unu.


3. Teorema precedentă ne arată că teoretic orice curbă plană parametrizată regulată poate fi reparametrizată canonic. Practic însă găsirea parametrului canonic s este adesea foarte dificilă, chiar imposibilă, deoarece integrala care defineşte parametrul canonic conduce la funcţii extrem de complicate, care nu pot fi uşor inversate.


Exemplu. Să se reparametrizeze prin lungimea de arc cercul unde:


Lg arc img 1 Lg arc img 2


Lungime arc curba 3 Lungime arc curba 4 Lungime arc curba 5 Lungime arc curba 6 Lungime arc curba 7 Lungime arc curba 8 Lungime arc curba 9 Lungime arc curba 10 Lungime arc curba 11 Lungime arc curba 12 Lungime arc curba 13 Lungime arc curba 14 Lungime arc curba 15 Lungime arc curba 16 Lungime arc curba 17 Lungime arc curba 18 Lungime arc curba 19

Studiu vectorial[]

Vector lung arc 1 Vector lung arc 2 Vector lung arc 3 Vector lung arc 4 Vector lung arc 5 Vector lung arc 6

Lung arc rasp

Resurse[]


În alte limbi
* English
Advertisement