Fandom

Math Wiki

Lucru mecanic

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments3 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Introducere Edit

Noţiunea de lucru mecanic a apărut din necesitatea de a măsura munca (fizică) depusă de om, precum şi de maşinile construite de el pentru a-1 ajuta în această muncă.

Să considerăm situaţia simplă în care un buştean este deplasat pe un plan orizontal cu ajutorul unui cablu de către un om. Aceeaşi deplasare se poate realiza şi cu ajutorul unui cal sau al unui tractor. Generalizând până la abstractizare interacţiunea care se realizează prin intermediul cablului între buştean pe de o parte şi om, cal sau tractor pe de altă parte, s-a ajuns la noţiunea de forţă. Această noţiune ne permite să facem abstracţie de situaţia concretă considerată şi în loc să spunem că omul munceşte, vom spune că forţa F produce un lucru mecanic. Lucrul mecanic al forţei F este cu atât mai mare cu cât intensitatea forţei şi deplasarea corpului (asupra căruia acţionează forţa) sunt mai mari. Pentru generalizare, se poate face abstracţie şi de corpul considerat şi să spunem că o forţă produce lucru mecanic atunci când punctul său de aplicaţie se deplasează. Ştim că o forţă care acţionează asupra unui rigid are caracterul unui vector alunecător, adică efectul forţei nu se schimbă dacă punctul de aplicaţie se deplasează pe suportul ei. Trebuie să observăm că în cadrul noţiunii de lucru mecanic al unei forţe nu o astfel de deplasare este luată în considerare, ci deplasarea efectivă a punctului de pe corp în care se consideră aplicată forţa.

Denumirea de lucru mecanic a fost dată de inginerul francez Gaspard-Gustave Coriolis. Conţinutul noţiunii s-a adâncit, o dată cu cea de căldură, în secolul al XlX-lea când s-a dovedit experimental că există un raport constant între cantitatea de lucru mecanic (care este legat de mişcarea mecanică) şi cantitatea de căldură (care este legată de o formă de mişcare nemecanică a materiei) în care acesta se poate transforma.

Definiţie Edit

Se consideră un punct material M care se deplasează pe traiectoria curbilinie (\Gamma), \! fiind acţionat de forţa variabilă \vec F. \! La momentul t punctul material se află în M_1 \! având faţă de un punct de referinţă fix 0 vectorul de poziţie \vec r \!, iar la momentul t + dt \! se află în M_2 \! , având vectorul de poziţie \vec r + d \vec r .\! Prin definiţie se va numi lucrul mecanic elementar, corespunzător forţei \vec F \! şi deplasării elementare d \vec r ,\! produsul scalar:

dL = \vec F \cdot d \vec r = F \cdot ds \cdot \cos (\vec F \cdot d \vec r), \! unde |d \vec r| = ds. \!   (1)


Rezultă că: lucrul mecanic elementar corespunzător unei forţe \vec F \! şi unei deplasări elementare d \vec r \! a punctului de aplicaţie al forţei este egal cu produsul scalar dintre forţă şi deplasarea elementară. În expresia (1) s-a aproximat că în intervalul de timp dt forţa \vec F \! rămâne constantă, iar arcul este egal cu coarda corespunzătoare. Folosind exprimarea analitică a vectorilor \vec F \! şi d \vec r \! în funcţie de proiecţiile vectorilor pe axele unui sistem cartezian Oxyz (figura 1):

\vec F = \vec i F_x + \vec j F_y + \vec k F_z; \; \; d \vec r = \vec i dx + \vec j dy + \vec k dz \!   (3)

expresia (1) devine:

dL = F_x dx + F_y dy + F_z dz \!   (4)
Lucru mecanic, fig. 1.png

Fig. 1

În funcţie de viteza \vec v =\dot { \vec r}, \! expresia lucrului mecanic elementar este:

d \vec L = \vec F \cdot \vec v \cdot dt = (F_x \dot x + F_y \dot y + F_z \dot z) dt. \!

Proprietăţi ale lucrului mecanicEdit

a) este o mărime scalară având ca unitate de măsură în sistemul internaţional SI joule-ul (J) şi în sistemul tehnic kilogram - forţă - metrul (kgf.m);

b) este pozitiv când \angle (\vec F \cdot d \vec r) = \alpha \in (0, \frac {\pi}{2}) \! şi poartă în acest caz numele de lucru mecanic motor

c) este negativ când \angle (\vec F \cdot d \vec r) = \alpha \in ( \frac {\pi}{2}, \pi) \! şi poartă în acest caz numele de lucru mecanic rezistent

d) este nul când \alpha = \frac {\pi}{2} \!

e) dacă deplasarea d \vec r \! este compusă din n deplasări elementare:

d \vec r = d \vec r_1 + d \vec r_2 + \cdots d \vec r_n \!   (5)

atunci:

dL = \vec F \cdot d \vec r = \vec F \cdot d \vec r_1 + \vec F \cdot d \vec r_2 + \cdots + \vec F \cdot d \vec r_n  \!   (6)

Deci: lucrul mecanic elementar corespunzător unei deplasări compuse este egal cu suma lucrurilor mecanice elementare aferente deplasărilor componente;

f) dacă forţa F reprezintă rezultanta unică a unui sistem de forţe:

\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \cdots + \vec F_n \!   (7)

atunci lucrul mecanic este:

dL = \vec F \cdot d \vec r = \vec F_1 \cdot d \vec r + \vec F_2 \cdot d \vec r + \cdots + \vec F_n \cdot d \vec r  \!   (8)

Adică, lucrul mecanic elementar corespunzător rezultantei unui sistem de forţe este egal cu suma algebrică a lucrurilor mecanice elementare ale forţelor componente.


Lucrul mecanic total Edit

Lucru mecanic, fig. 2.png

Fig. 2

Când este corespunzător unei forţe variabile \vec F \! şi unei deplasări finite a punctului material între punctele A şi B pe o traiectorie curbilinie (figura 2) lucrul mecanic este dat de expresia:

L_{A-B} = \int_{(AB)} (\vec F \cdot d \vec r)= \!
= \int_{(AB)} (F_x \cdot dx + F_y \cdot dy + F_z \cdot dz) = \!
=  \int_{AB} (F \cdot ds \cdot \cos \alpha) \!   (9)

iar în cazul unui cuplu:

L_{\theta_1 - \theta_2} = \int_{(\theta_1 - \theta_2)} (\vec M \cdot \vec {d \theta})= \!
= \int_{(\theta_1 - \theta_2)} (M \cdot d \theta \cdot \cos \alpha) \!   (10)

Expresia (9) se obţine prin descompunerea mişcării finite în mişcării elementare pentru care forţa \vec F \! se consideră constantă., iar arcul de curbă se aproximează cu coarda şi însumarea lucrurilor mecanice elementare corespunzătoare. Din relaţia (9) se observă că lucrul mecanic corespunzător unei deplasări finite a unui punct material şi unei forţe variabile depind atât de modul cum variază forţa, cât şi de forma traiectoriei.

Lucrul mecanic în cazul forţelor conservative Edit

În cazul în care forţa F este conservativă expresia ei este:

\vec F = \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \vec i +\frac{\partial U}{\partial y} \vec j +\frac{\partial U}{\partial z} \vec k = \mathit {grad} U, \!   (11)

unde U(x, y, z) \! este funcţia de forţă.

Funcţia de forţă este o funcţie scalară de coordonatele punctului, cu ajutorul căreia se pot determina componentele forţei astfel:

\begin{cases} F_x = \frac{\partial U}{\partial x} \\ \\  F_y = \frac{\partial U}{\partial y} \\  \\ F_z = \frac{\partial U}{\partial z}    \end{cases} \!

Pentru a exista o funcţie de forţă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy, care sunt :

\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}; \!     \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial y}; \!     \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial z} \!

Lucrul mecanic elementar este:

dL = \vec F \cdot d \vec r = \frac {\partial U}{\partial x} dx + \frac {\partial U}{\partial y} dy + \frac {\partial U}{\partial z} dz = dU \!   (12)
dL=dU \!   (13)

Lucrul mecanic total este:

L_{A-B} = \int_{AB} \vec F d \vec r = \int_A^B dU = U_B-U_A \!   (14)

unde U_A = U(x_A, y_A, z_A) \! şi U_B = U(x_B, y_B, z_B) \! sunt funcţiile de forţă corespunzătoare poziţiilor iniţială şi finală.


Rezultă că: lucrul mecanic total în cazul unei forţe conservative depinde numai de poziţiile iniţială şi finală ale punctului, fiind independent de forma traiectoriei. În locul funcţiei U, se poate considera funcţia V, numită şi funcţie potenţială şi definită prin relaţia: Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): V = −U \!.

În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): dL = −dV \!.


Funcţia de forţă U şi funcţia potenţială V nu pot fi determinate decât cu aproximaţia unei constante.

Dacă un punct material este acţionat simultan de un sistem de forţe conservative \vec F_1, \vec F_2, \cdots , \vec F_n \! care derivă din funcţiile de forţă U_1, U_2, \cdots , U_n, \! astfel încât:

\begin{matrix} F_{x1} = \frac{\partial U_1}{\partial x} &  F_{y1} = \frac{\partial U_1}{\partial y} & F_{z1} = \frac{\partial U_1}{\partial z} \\ \\ F_{x2} = \frac{\partial U_2}{\partial x} & F_{y2} = \frac{\partial U_2}{\partial y} & F_{z2} = \frac{\partial U_2}{\partial z} \\ \\ \cdots & \cdots & \cdots \\  \\  F_{xn} = \frac{\partial U_n}{\partial x} & F_{yn} = \frac{\partial U_n}{\partial y} & F_{zn} = \frac{\partial U_n}{\partial z}  \end{matrix} \!

Rezultanta \vec R = \vec F_1 + \vec F_2 + \cdots + \vec F_n \! va avea proiecţiile:

F_x = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial x} \!
F_y = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial y} \!
F_z = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial z} \!

adică rezultanta \vec R \! derivă din funcţia de forţă U= U_1 + U_2 + \cdots + U_n. \! Un astfel de sistem de forţe se numeşte sistem conservativ.

Exemple Edit

Lucru mecanic, fig. 3.png

Fig. 3

a) Forţa \vec F \! este constantă ca modul şi direcţie iar traiectoria este o curbă oarecare (fig. 3). Faţă de mamamamama

F=F_x = \frac{\partial U}{\partial x}; \; F_y=F_z=0 \!   (15)

deci:

U = x F + \mathcal C \!   (16)

Rezultă L_{A_1-B_1} = U_{B_1} - U_{A_1} \pm F \cdot h \cdot \cos {\varphi}, \!   (17)

unde \varphi \! este unghiul dintre segmentul de dB şi axa Ox.

Semnul plus se iareaptă A când punctul coboară, iar semnul minus când punctul urcă.


b) În cazul în care \vec F \! este o forţă gravitaţională (figura 4) notând-o cu G, rezultă:

Lucru mecanic, fig. 4.png

Fig. 4

G_x=G_y=0, \; G_x = G = \frac{\partial U}{\partial x} \!   (18)
U = zG+ \mathcal C \!
L_{A-B} = G(z_B-z_A) \!

În general:

L=\pm Gh \!   (19)

Rezultă că: lucrul mecanic al unei greutăţi nu depinde de forma traiectoriei pe care se deplasează punctul său de aplicaţie, ci depinde. numai de poziţiile extreme între care se efectuează mişcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerică a forţei şi diferenţa de cotă dintre poziţiile iniţială şi finală.


Lucru mecanic, fig. 5.png

Fig. 5

c) Lucrul mecanic al unei forţe elastice. Se consideră un resort spiral OM în stare liberă fixat în punctul 0 (figura 5). Prin întinderea arcului cu lungimea x ia naştere o forţă |\vec F| = kx, \! proporţională cu alungirea resortului. Coeficientul de proporţionalitate notat prin k poartă numele de constantă elastică a resortului şi reprezintă forţa necesară pentru a produce o alungire a resortului egală cu unitatea. Pentru o deplasare elementară dx a punctului M \! din M' \! în M'' , \! lucrul mecanic elementar corespunzător forţei elastice \vec F \! şi deplasării dx \! este :

dL = - F \cdot dx=-k \cdot dx \!   (20)

Pentru o deplasare finită din A în B a extremităţii M a resortului când acesta este întins, lucrul mecanic va fi:

L_{A-B}=- \int_A^B k \cdot x \cdot dx = - \frac 1 2 k(x^2_B - x^2_A) \!   (21)

Lucrul mecanic elementar corespunzător unui sistem de forţe ce acţionează asupra unui solid rigid Edit

Lucru mecanic, fig. 6.png

Fig. 6

Se consideră un solid rigid liber (figura 6), supus acţiunii unui sistem de forţe active \vec F_i \; (i= 1, 2 , \cdots , n). \!

Lucrul mecanic elementar corespunzător forţei \vec F_i \! şi deplasării elementare d \vec r_i, \! a punctului de aplicaţie M_i, \! al forţei este:

dL_i = \vec F_i \cdot d \vec r_i = \vec F_i \cdot \vec v_i \cdot dt \!   (22)

Notând cu:

\vec v_0 \! — viteza punctului O, aparţinând solidului rigid;
\vec \omega \! — viteza unghiulară de rotaţie a solidului rigid faţă de punctul 0, relaţia (22) devine:
dL_i = \vec F_i(\vec v_0 - \vec \omega \times \vec r'_i) dt= \!
= \vec F_i \cdot \vec v_0 \cdot dt + (\vec r' \times \vec F_i) \omega' \cdot dt \!

unde \vec r' \! este vectorul de poziţie al punctului M faţă de punctul 0. Pentru întregul sistem de forţe se obţine:

dL= v_0 \sum_{i=1}^n \vec F_i \cdot dt + \vec \omega \sum_{i=1}^n \left ( \vec r'_i \times \vec F_i  \right ) dt \!

Dar:

1. \vec v_0 \cdot dt = d \vec r_0 \! — deplasarea elementară prin translaţie a rigidului

2. \vec \omega \cdot dt = d \theta \! — unghiul elementar de rotaţie considerat ca vector;

3. \sum_{i=1}^n \vec F_i = \vec R \! — vectorul rezultant al sistemului de forţe active;

4. \sum_{i=1}^n \vec r'_i \times \vec F_i = \vec M_0 \! — vectorul moment rezultant al sistemului de forţe active relativ la polul 0;

Adică:

 dL = \vec R \cdot d \vec r_0 + \vec M_0 \cdot d \theta \!   (23)


Un caz important în aplicaţiile tehnice este acela al unui rigid acţionat de un cuplu Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): (\vec F; −\vec F). \!

În acest caz mişcarea rigidului este o rotaţie. Având în vedere că \vec R = 0 , \! din relaţia (23) se obţine:

dL= \vec M_0 \cdot d \theta ; \ \; L= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \vec M_0 \cdot d \vec \theta \!   (24)

Când axa de rotaţie coincide cu suportul lui M_0 \! şi acesta este constant, rezultă:

L=M_0 \cdot (\theta_2 - \theta_1) = \pm M_0 \cdot d \theta \!   (25)

Lucrul mecanic al forţelor interioare Edit

Lucru mecanic, fig. 7.png

Fig. 7

Se consideră două puncte materiale M_i \! şi M_j \! asupra cărora acţionează forţele interioare \vec F_{ij} \! şi respectiv \vec F_{ji} \! (figura 7). Fie \vec r_i \! şi \vec r_j \! vectorii de poziţie ai punctelor M_i \! şi M_j \! în raport cu punctul fix 0.

Lucrul mecanic elementar aferent forţelor \vec F_{ij} \! şi respectiv \vec F_{ji} \! şi deplasărilor elementare ale punctelor de aplicaţie le forţelor este:

dL = \vec F_{ij} \cdot d \vec r_i + \vec F_{ji} \cdot d \vec r_j = \vec F_{ij} (d \vec r_i - d \vec r_j). \!

Deoarece \begin{cases} \vec F_{ji} = - \vec F_{ij} \\ d \vec r_i - d \vec r_j = d (\vec r_i - \vec r_j) = d (\overrightarrow {M_j M_i}) \\ \vec F_{ij} = \lambda \overrightarrow {M_j M_i} \end{cases} \! rezultă că dL= \frac 1 2 \lambda d (\overrightarrow {M_jM}^2) \!   (26)

În expresia (26) \lambda \! este un scalar pozitiv sau negativ după cum punctele M_i \! şi M_j \! se resping sau se atrag.


Dacă punctele materiale aparţin unui sistem material rigid \overrightarrow{M_jM_i} = const ,\! iar dL = 0 , \! rezultă că: suma lucrurilor mecanice elementare ale forţelor interioare ce acţionează punctele unui sistem material rigid, pentru orice deplasare elementară a sistemului este nulă.

Reprezentarea grafică a lucrului mecanic Edit

În figura 8 este arătată reprezentarea grafică a lucrului mecanic cu ajutorul unei diagrame.

Lucru mecanic, fig. 8.png

Fig. 8

În abscisă se reprezintă proiecţia deplasării pe direcţia forţei, iar în ordonată este reprezentată forţa. Lucrul mecanic corespunzător forţei F(s) \! şi deplasării finite s_1 s_2 \! este egal cu valoarea ariei dată de diagrama a:

L = \int_{s_1}^{s_2} F \cdot ds = \!suprafaţa s_1 s'_1 s'_2 s_2 \!   (27)

iar în cazul unui moment prin valoarea suprafeţei date de diagrama b.

Curs lucru mecanic 1.png Curs lucru mecanic 2.png Curs lucru mecanic 3.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki