FANDOM


Limita unei funcţii într-un punct, $ L = \lim_{x \to a} f(x), \! $ este în general o limită bilaterală pentru că variabila x se poate apropia de a şi din stânga şi din dreapta. Aceasta este necesar atunci când funcţia este definită doar în stânga sau doar în dreapta punctului a sau atunci când apropiindu-se din stânga şi din dreapta obţinem limite diferite. Vom folosi următoarea terminologie:

  • $ x \! $ tinde la $ a \! $ dinspre dreapta sau $ x \! $ coboară la $ a \! $ şi notăm $ x \rightarrow a^+ \! $ sau $ x \searrow a \! $
  • $ x \! $ tinde la $ a \! $ dinspre stânga sau $ x \! $ urcă la $ a \! $ şi notăm $ x \rightarrow a^- \! $ sau $ x \nearrow a \! $


DEFINIŢIA 1. Limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui $ f(x) \! $ atunci când x tinde la a dinspre dreapta lui L) dacă pentru orice $ \epsilon>0 \! $ există $ \delta = \delta (\epsilon)>0 \! $ astfel încât $ a<x< x+ \delta \Rightarrow |f(x) - L|< \epsilon. \! $

Faptul că limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L se notează astfel:

$ L = \lim_{x \to a^+} \! $ sau $ L = lim_{x\searrow a} f(x). \! $


DEFINIŢIA 2. Limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui $ f(x) \! $ atunci când x tinde la a dinspre stânga este L) dacă pentru orice $ \epsilon>0 \! $ există $ \delta = \delta (\epsilon)>0 \! $ astfel încât $ a - \delta < x < a \Rightarrow |f(x) - L|< \epsilon. \! $

Altă formulare:

O funcţie $ f: D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R \! $ are limită laterală la stânga (respectiv la dreapta) în punctul de acumulare $ x_0 \; \Leftrightarrow \; \! $ există $ l_s \in \mathbb R \! $ (respectiv $ l_d \in \mathbb R \! $) a.î. $ \lim f(x) = l_s, \! $ (respectiv $ \lim f(x) = l_d \! $).

Faptul că limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L se notează astfel:

$ L = \lim_{x \to a^-} \! $ sau $ L = lim_{x \nearrow a} f(x). \! $


OBSERVAŢIE. Dacă funcţia f are limită la stânga şi limită la dreapta în a şi aceste limite laterale sunt egale cu L:

$ \lim_{x \to a^+} f(x) = L - \lim_{x \to a^-} f(x) \! $

atunci funcţia f are limită în a şi această limită este L:

$ \lim_{x \to a} f(x) = L = \lim_{x \to a^+} f (x) = \lim_{x \to a^-} f(x) \! $


EXEMPLUL 1. Funcţia $ f(x) = \sqrt x \! $ este definită doar pentru $ x \ge 0. \; \; \lim_{x \to 0^+}f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt x = 0. \! $


EXEMPLUL 2. Funcţia

$ sign (x) = \frac {x}{|x|} = \begin{cases} 1, & pentru \; x>0 \\ -1, & pentru \; x<0 \end{cases} \! $

nu are limită în a=0. Limitele laterale însă există: $ \lim_{x \to 0^+} sign(x) = 1 \! $ şi $ \lim_{x \to 0^-} sign(x)=-1. \! $


EXEMPLUL 3. Funcţia treaptă şi funcţia scară. Funcţia treaptă este definită astfel:

$ step(x)= \begin{cases} 0, & pentru \; x<0 \\ \frac 1 2, & pentru \; x=0 \\ 1, & pentru \; x>0 \end{cases} \! $

Pentru $ x \neq 0 \! $ funcţia treaptă poate fi scrisă astfel:

$ step(x) = \frac 1 2 (1+ sign(x)). \! $

Funcţia treaptă are limite laterale în 0 : $ \lim_{x \to 0^+} step(x) =1;\; \lim_{x \to 0^-}step(x)=0. \! $

Funcţie treaptă translatată $ step(x-a) = 1 \! $ are treapta în punctul a (nu în 0) unde are limite laterale: $ \lim_{x \to a^+}step(x-a) =1 \! $ şi $ \lim_{x \to a^-}step(x-a)=0. \! $

Funcţia scară este o funcţie cu mai multe trepte. De exemplu:

$ S_m(x) = \sum_{n=0}^m step(n-n) \! $

La fiecare treaptă, funcţia scară are o limită laterală la stânga şi o limită laterală la dreapta care sunt diferite şi de valoarea funcţiei $ S_m \! $ în punct. În toate celelalte puncte, limitele laterale coincid şi deci funcţia scară are limită în puncte $ x \neq n. \! $