Fandom

Math Wiki

Limite laterale ale unei funcții

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Limita unei funcţii într-un punct, L = \lim_{x \to a} f(x), \! este în general o limită bilaterală pentru că variabila x se poate apropia de a şi din stânga şi din dreapta. Aceasta este necesar atunci când funcţia este definită doar în stânga sau doar în dreapta punctului a sau atunci când apropiindu-se din stânga şi din dreapta obţinem limite diferite. Vom folosi următoarea terminologie:

  • x \! tinde la a \! dinspre dreapta sau x \! coboară la a \! şi notăm x \rightarrow a^+  \! sau x \searrow a \!
  • x \! tinde la a \! dinspre stânga sau x \! urcă la a \! şi notăm x \rightarrow a^-  \! sau x \nearrow a \!


DEFINIŢIA 1. Limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui f(x) \! atunci când x tinde la a dinspre dreapta lui L) dacă pentru orice \epsilon>0 \! există  \delta = \delta (\epsilon)>0 \! astfel încât a<x< x+ \delta \Rightarrow  |f(x) - L|< \epsilon. \!

Faptul că limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L se notează astfel:

L = \lim_{x \to a^+} \! sau L = lim_{x\searrow a} f(x). \!


DEFINIŢIA 2. Limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui f(x) \! atunci când x tinde la a dinspre stânga este L) dacă pentru orice \epsilon>0 \! există \delta = \delta (\epsilon)>0 \! astfel încât a - \delta < x < a \Rightarrow |f(x) - L|< \epsilon. \!

Altă formulare:

O funcţie f: D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R \! are limită laterală la stânga (respectiv la dreapta) în punctul de acumulare x_0 \; \Leftrightarrow \;  \! există l_s \in \mathbb R \! (respectiv l_d \in \mathbb R \!) a.î. \lim f(x) = l_s, \! (respectiv \lim f(x) = l_d \!).

Faptul că limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L se notează astfel:

L = \lim_{x \to a^-} \! sau L = lim_{x \nearrow a} f(x). \!


OBSERVAŢIE. Dacă funcţia f are limită la stânga şi limită la dreapta în a şi aceste limite laterale sunt egale cu L:

\lim_{x \to a^+} f(x) = L - \lim_{x \to a^-} f(x) \!

atunci funcţia f are limită în a şi această limită este L:

\lim_{x \to a} f(x) = L = \lim_{x \to a^+} f (x) = \lim_{x \to a^-} f(x) \!


EXEMPLUL 1. Funcţia f(x) = \sqrt x \! este definită doar pentru x \ge 0. \; \; \lim_{x \to 0^+}f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt x = 0. \!


EXEMPLUL 2. Funcţia

sign (x) = \frac {x}{|x|} = \begin{cases} 1, & pentru \; x>0 \\ -1, & pentru \; x<0 \end{cases} \!

nu are limită în a=0. Limitele laterale însă există: \lim_{x \to 0^+} sign(x) = 1 \! şi \lim_{x \to 0^-} sign(x)=-1. \!


EXEMPLUL 3. Funcţia treaptă şi funcţia scară. Funcţia treaptă este definită astfel:

step(x)= \begin{cases} 0, & pentru \; x<0 \\ \frac 1 2, & pentru \; x=0 \\ 1, & pentru \; x>0 \end{cases} \!

Pentru x \neq 0 \! funcţia treaptă poate fi scrisă astfel:

step(x) = \frac 1 2 (1+ sign(x)). \!

Funcţia treaptă are limite laterale în 0 : \lim_{x \to 0^+} step(x) =1;\; \lim_{x \to 0^-}step(x)=0. \!

Funcţie treaptă translatată step(x-a) = 1 \! are treapta în punctul a (nu în 0) unde are limite laterale: \lim_{x \to a^+}step(x-a) =1 \! şi \lim_{x \to a^-}step(x-a)=0. \!

Funcţia scară este o funcţie cu mai multe trepte. De exemplu:

S_m(x) = \sum_{n=0}^m step(n-n) \!

La fiecare treaptă, funcţia scară are o limită laterală la stânga şi o limită laterală la dreapta care sunt diferite şi de valoarea funcţiei S_m \! în punct. În toate celelalte puncte, limitele laterale coincid şi deci funcţia scară are limită în puncte x \neq n. \!

Also on Fandom

Random Wiki