FANDOM


Prin dreapta încheiată se înţelege mulţimea:

$ \overline {\mathbb R} = \mathbb R \cup {- \infty , + \infty}. \! $

Pe mulţimea $ \overline {\mathbb R} \! $ se consideră relația de ordine obţinută prin prelungirea relaţiei de ordine de pe $ \Gamma \! $ astfel:

$ - \infty < \infty, \; - \infty < x \! $ şi $ x < \infty, \; \forall x \in \Gamma. \! $

În felul acesta, $ \overline {\mathbb R} \! $ este o mulțime ordonată.

Dacă $ A \subset \Gamma \! $ este o mulţime nevidă care nu este majorată, definim $ sup \; A = + \infty. \! $ În mod analog, dacă A nu este minorată definim $ inf \; A = - \infty. \! $ Cu această convenţie, orice mulţime de numere reale este mărginită în $ \overline {\mathbb R}. \! $

Operațiile algebrice de pe $ \mathbb R \! $ se extind pe $ \overline {\mathbb R}, \! $ fără însă să fie peste tot definite şi anume:

$ \infty + x = \infty, \; \forall x \in \overline {\mathbb R}, \; x \neq - \infty \! $
$ - \infty + x = - \infty, \; \forall x \in \overline {\mathbb R}, \; x \neq \infty \! $
$ \infty \cdot x = \begin{cases} \infty \; daca \; x>0 \\- \infty \; daca \; x<0 \end{cases}, \; x \in \overline {\mathbb R}. \! $


Definiţia 1. Un șir de numere reale $ \{ x_n \} \! $ are limita $ \infty \! $ (respectiv $ - \infty \! $) dacă:

$ \forall \varepsilon \in \Gamma, \; \exists n_{\varepsilon} \mathbb R \! $ astfel încât $ x_n > \varepsilon \! $ (respectiv $ x_n < \varepsilon \! $), $ \forall n \ge n_{\varepsilon}. \! $

Se folosesc notaţiile: $ \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \! $ (respectiv $ \lim_{n \to \infty} x_n = - \infty \! $).


Propoziţia 1. Orice şir monoton de numere reale are limită în $ \overline {\mathbb R}. \! $ Orice şir de numere reale conţine un subşir care are limita în $ \overline {\mathbb R}. \! $


Demonstraţie.

Fie $ \{ x_n \} \! $ un şir monoton de numere reale. Dacă $ \{ x_n \} \! $ este mărginit superior, atunci $ \{ x_n \} \! $ este convergent, deci are limită finită. (Teorema ...)

Dacă $ \{ x_n \} \! $ nu este mărginit superior, atunci pentru $ \forall \varepsilon \in \Gamma, \; \exists x_{n_{\varepsilon}} > \varepsilon. \! $ Cum $ \{ x_n \} \! $ este crescător vom avea $ x_n > \varepsilon, \; \forall n \ge n_{\varepsilon}, \! $ deci $ \lim_{n \to \infty} x_n = + \infty. \! $ Dacă $ \{ x_n \} \! $ este descrescător, se procedează în mod analog.

Fie acum $ \{ x_n \} \! $ un şir de numere reale oarecare. Dacă $ \{ x_n \} \! $ este mărginit, atunci din Lema lui Cesàro rezultă că există un subşir $ \{ x_{n_k} \} \! $ convergent. Să presupunem că $ \{ x_n \} \! $ nu este mărginit (de exemplu nu este mărginit superior). vom arăta în acest caz că există un subşir care are limita $ + \infty. \! $ Într-adevăr, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 1. Fie $ x_k >1. \! $ De asemenea, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 2. Atunci putem alege $ k_2 > k_1 \! $ astfel încât $ x_{k_2}>2. \! $ Construim astfel prin inducţie un şir strict crescător de numere naturale $ \{ x_k \} \! $ cu proprietatea $ x_{k_n}>n. \! $ Rezultă $ \lim_{n \to \infty} x_{k_n}= \infty. \! $


Definiţia 2. Fie $ \{ x_n \} \! $ un şir de numere reale şi $ a \in \overline {\mathbb R}. \! $ Spunem că a este punct-limită pentru şirul $ \{ x_n \} \! $ dacă există un subşir $ \{ x_{k_n} \} \! $ astfel încât $ a = \lim_{n \to \infty} x_{k_n} \! $


Observaţia 1. Dacă un şir are limită, atunci acest şir are un singur punct limită care coincide cu limita sa.


Exemple

1) Şirul $ x_n = (-1)^n \! $ are două puncte limită: -1 şi 1.

2) Şirul $ x_n = n^{(-1)^n} \! $ are două puncte limită: 0 şi $ - \infty. $

3) Şirul $ x_n = n \! $ are un singur punct limită: $ \infty. \! $

4) Şirul $ x_n= \frac {(-1)^n}{n} \! $ are un punct limită: 0.


Teorema 1. Pentru orice şir de numere reale $ \{x_n \} \! $ există un cel mai mic punct limită (finit sau nu) şi un cel mai mare punct limită (finit sau nu).


Demontraţie.

Dacă $ \{x_n \} \! $ nu este majorat, atunci din Propoziţia 1 rezultă că există un subşir care are limita $ + \infty. \! $ Aşadar, $ + \infty \! $ este punct limită şi evident este cel mai mare.

Să presupunem acum că şirul $ \{x_n \} \! $ este majorat şi să notăm cu A mulţimea punctelor sale limită. Dacă A este vidă, atunci din Lema lui Cesàro rezultă că $ \{x_n \} \! $ nu este mărginită inferior. În această situaţie $ - \infty \! $ este singurul punct limită şi deci şi cel mai mare. Să presupunem acum că $ A \neq \varnothing. \! $ Cum $ \{x_n \} \! $ este majorat, rezultă că şi A este majorată, deci există $ sup \; A \in \Gamma \! $ (Teorema 1). Să observăm însă că $ \alpha = sup \; A \in A. \! $ Într-adevăr, din definiţia marginii superioare rezultă că $ \forall \; p \in \mathbb R^* \! $ există $ a_P \in A \! $ astfel încât $ \alpha - \frac 1 p < a_P \le \alpha. \! $


Limite extreme sir 3 Limite extreme sir 4 Limite extreme sir 5