Fandom

Math Wiki

Limite extreme ale unui șir

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Prin dreapta încheiată se înţelege mulţimea:

\overline {\mathbb R} = \mathbb R \cup {- \infty , + \infty}. \!

Pe mulţimea \overline {\mathbb R}  \! se consideră relația de ordine obţinută prin prelungirea relaţiei de ordine de pe \Gamma \! astfel:

- \infty < \infty, \; - \infty < x \! şi x < \infty, \; \forall x \in \Gamma. \!

În felul acesta, \overline {\mathbb R}  \! este o mulțime ordonată.

Dacă A \subset \Gamma \! este o mulţime nevidă care nu este majorată, definim sup \; A = + \infty. \! În mod analog, dacă A nu este minorată definim inf \; A = - \infty. \! Cu această convenţie, orice mulţime de numere reale este mărginită în \overline {\mathbb R}. \!

Operațiile algebrice de pe \mathbb R \! se extind pe \overline {\mathbb R}, \! fără însă să fie peste tot definite şi anume:

\infty + x = \infty, \; \forall x \in \overline {\mathbb R}, \; x \neq - \infty \!
- \infty + x = - \infty, \; \forall x \in \overline {\mathbb R}, \; x \neq \infty \!
\infty \cdot x = \begin{cases} \infty \; daca \; x>0 \\- \infty \; daca \; x<0  \end{cases}, \; x \in \overline {\mathbb R}. \!


Definiţia 1. Un șir de numere reale \{ x_n \} \! are limita \infty \! (respectiv - \infty \!) dacă:

\forall \varepsilon \in \Gamma, \; \exists n_{\varepsilon} \mathbb R  \! astfel încât x_n > \varepsilon \! (respectiv x_n < \varepsilon \!), \forall n \ge n_{\varepsilon}. \!

Se folosesc notaţiile: \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \! (respectiv \lim_{n \to \infty} x_n = - \infty \!).


Propoziţia 1. Orice şir monoton de numere reale are limită în \overline {\mathbb R}. \! Orice şir de numere reale conţine un subşir care are limita în \overline {\mathbb R}. \!


Demonstraţie.

Fie \{ x_n \} \! un şir monoton de numere reale. Dacă \{ x_n \} \! este mărginit superior, atunci \{ x_n \} \! este convergent, deci are limită finită. (Teorema ...)

Dacă \{ x_n \} \! nu este mărginit superior, atunci pentru \forall \varepsilon \in \Gamma, \; \exists x_{n_{\varepsilon}} > \varepsilon. \! Cum \{ x_n \} \! este crescător vom avea x_n > \varepsilon, \; \forall n \ge n_{\varepsilon}, \! deci \lim_{n \to \infty} x_n = + \infty. \! Dacă \{ x_n \} \! este descrescător, se procedează în mod analog.

Fie acum \{ x_n \} \! un şir de numere reale oarecare. Dacă \{ x_n \} \! este mărginit, atunci din Lema lui Cesàro rezultă că există un subşir \{ x_{n_k} \} \! convergent. Să presupunem că \{ x_n \} \! nu este mărginit (de exemplu nu este mărginit superior). vom arăta în acest caz că există un subşir care are limita + \infty. \! Într-adevăr, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 1. Fie x_k >1. \! De asemenea, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 2. Atunci putem alege k_2 > k_1 \! astfel încât x_{k_2}>2. \! Construim astfel prin inducţie un şir strict crescător de numere naturale \{ x_k \} \! cu proprietatea x_{k_n}>n. \! Rezultă \lim_{n \to \infty} x_{k_n}= \infty. \!


Definiţia 2. Fie \{ x_n \} \! un şir de numere reale şi a \in \overline {\mathbb R}. \! Spunem că a este punct-limită pentru şirul \{ x_n \} \! dacă există un subşir \{ x_{k_n} \} \! astfel încât a = \lim_{n \to \infty} x_{k_n} \!


Observaţia 1. Dacă un şir are limită, atunci acest şir are un singur punct limită care coincide cu limita sa.


Exemple

1) Şirul x_n = (-1)^n \! are două puncte limită: -1 şi 1.

2) Şirul x_n = n^{(-1)^n} \! are două puncte limită: 0 şi - \infty.

3) Şirul x_n = n \! are un singur punct limită: \infty. \!

4) Şirul x_n= \frac {(-1)^n}{n} \! are un punct limită: 0.


Teorema 1. Pentru orice şir de numere reale \{x_n \} \! există un cel mai mic punct limită (finit sau nu) şi un cel mai mare punct limită (finit sau nu).


Demontraţie.

Dacă \{x_n \} \! nu este majorat, atunci din Propoziţia 1 rezultă că există un subşir care are limita + \infty. \! Aşadar, + \infty \! este punct limită şi evident este cel mai mare.

Să presupunem acum că şirul \{x_n \} \! este majorat şi să notăm cu A mulţimea punctelor sale limită. Dacă A este vidă, atunci din Lema lui Cesàro rezultă că \{x_n \} \! nu este mărginită inferior. În această situaţie - \infty \! este singurul punct limită şi deci şi cel mai mare. Să presupunem acum că A \neq \varnothing. \! Cum \{x_n \} \! este majorat, rezultă că şi A este majorată, deci există sup \; A \in \Gamma \! (Teorema 1). Să observăm însă că \alpha = sup \; A \in A. \! Într-adevăr, din definiţia marginii superioare rezultă că \forall  \; p \in \mathbb R^* \! există a_P \in A \! astfel încât \alpha - \frac 1 p < a_P \le \alpha. \!


Limite extreme sir 3.png Limite extreme sir 4.png Limite extreme sir 5.png

Also on Fandom

Random Wiki