Fandom

Math Wiki

Limită a unui șir

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţie Edit

DEFINIŢIA 1. Şirul de numere reale (a_n) \! converge la numărul L dacă pentru orice \epsilon >0 \! există un număr N = N (\epsilon) \! astfel ca toţi termenii de rang n> N (\epsilon) \! ai şirului să verifice inegalitatea:

|a_n - L| < \epsilon. \!

Faptul că şirul (a_n) \! converge la numărul L se notează pe scurt cu \lim_{n \to \infty} a_n = L \! şi spunem că pentru n tinzând către infinit, limita lui (a_n) \! este L.

COMENTARIU: Dacă şirul (a_n) \! converge la L, atunci orice subşir (a_{n_k}) \! al şirului (a_n) \! converge la L. Într-adevăr, pentru orice \epsilon>0 \! există N = N (\epsilon) \! astfel încât pentru n> N (\epsilon) \! să avem |a_n - L| < \epsilon. \! De aici rezultă că pentru orice n_k> N \! avem |a_{n_k} - L| < \epsilon. \!

Nu orice şir este convergent. De exemplu, şirul a_n= (-1)^n \! nu converge. Aceasta întrucât subşirul a_{2k} = (-1)^{2k} = 1 \! converge la 1 şi subşirul a_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1 \! converge la -1.

Proprietăţi Edit

Limita unui şir convergent este unică.

Dacă şirul (a_n) \! ar converge la L_1 \! şi la L_2 \! cu L_1 \neq L_2 \!, atunci ar rezulta că există N_1 \! şi N_2 \! astfel încât |a_n - L_1| < \frac {|L_1 - L_2|}{2} \! pentru orice n> N_1 \! şi |a_n - L_2| < \frac {|L_1 - L_2|}{2} \! pentru orice n> N_2. \! De aici rezultă că pentru orice n> \max \{ N_1, N_2 \} \! avem: |L_1 - L_2| \le |L_1 - a_n| + |L_2 - a_n| < |L_1 - L_2| \! ceea ce este absurd.

Dacă un şir (a_n) \! converge la L \!, atunci este mărginit. Într-adevăr, există N(1) \! astfel că pentru orice n> N(1) \! să avem: |a_n - L|<1 \! şi astfel |a_n - L| + |L| < 1+ |L| \! pentru orice n> N(1). \! Rezultă în continuare că pentru orice n are loc inegalitatea:

|a_n| \le \max \{ |a_1|, |a_2|, \cdots , |a_{N(1)}|, 1+|L| \} .\!

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki