FANDOM


Definiţie Edit

DEFINIŢIA 1. Şirul de numere reale $ (a_n) \! $ converge la numărul L dacă pentru orice $ \epsilon >0 \! $ există un număr $ N = N (\epsilon) \! $ astfel ca toţi termenii de rang $ n> N (\epsilon) \! $ ai şirului să verifice inegalitatea:

$ |a_n - L| < \epsilon. \! $

Faptul că şirul $ (a_n) \! $ converge la numărul L se notează pe scurt cu $ \lim_{n \to \infty} a_n = L \! $ şi spunem că pentru n tinzând către infinit, limita lui $ (a_n) \! $ este L.

COMENTARIU: Dacă şirul $ (a_n) \! $ converge la L, atunci orice subşir $ (a_{n_k}) \! $ al şirului $ (a_n) \! $ converge la L. Într-adevăr, pentru orice $ \epsilon>0 \! $ există $ N = N (\epsilon) \! $ astfel încât pentru $ n> N (\epsilon) \! $ să avem $ |a_n - L| < \epsilon. \! $ De aici rezultă că pentru orice $ n_k> N \! $ avem $ |a_{n_k} - L| < \epsilon. \! $

Nu orice şir este convergent. De exemplu, şirul $ a_n= (-1)^n \! $ nu converge. Aceasta întrucât subşirul $ a_{2k} = (-1)^{2k} = 1 \! $ converge la 1 şi subşirul $ a_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1 \! $ converge la -1.

Proprietăţi Edit

Limita unui şir convergent este unică.

Dacă şirul $ (a_n) \! $ ar converge la $ L_1 \! $ şi la $ L_2 \! $ cu $ L_1 \neq L_2 \! $, atunci ar rezulta că există $ N_1 \! $ şi $ N_2 \! $ astfel încât $ |a_n - L_1| < \frac {|L_1 - L_2|}{2} \! $ pentru orice $ n> N_1 \! $ şi $ |a_n - L_2| < \frac {|L_1 - L_2|}{2} \! $ pentru orice $ n> N_2. \! $ De aici rezultă că pentru orice $ n> \max \{ N_1, N_2 \} \! $ avem: $ |L_1 - L_2| \le |L_1 - a_n| + |L_2 - a_n| < |L_1 - L_2| \! $ ceea ce este absurd.

Dacă un şir $ (a_n) \! $ converge la $ L \! $, atunci este mărginit. Într-adevăr, există $ N(1) \! $ astfel că pentru orice $ n> N(1) \! $ să avem: $ |a_n - L|<1 \! $ şi astfel $ |a_n - L| + |L| < 1+ |L| \! $ pentru orice $ n> N(1). \! $ Rezultă în continuare că pentru orice n are loc inegalitatea:

$ |a_n| \le \max \{ |a_1|, |a_2|, \cdots , |a_{N(1)}|, 1+|L| \} .\! $

Vezi şi Edit