Fandom

Math Wiki

Limită a unei funcții

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Limita unei funcţii într-un punct Edit

În calculul diferenţial şi calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcţii într-un punct. Conceptul este folosit în studiul continuităţii, derivatei, integralei şi alte studii.

Considerăm o funcţie f: A \subset \mathbb R^1 \rightarrow \mathbb R^1. \! Vom analiza comportamentul lui f(x) \! atunci când x se apropie de o valoare reală fixată a. Pentru aceasta se presupune că f(x) este definit pentru orice x care se apropie de a. Cu alte cuvinte vom presupune că domeniul de definiţie A conţine o mulţime de forma (a-r, a) \cup (a, a+r) \! unde r>0. \!

DEFINIŢIE. Funcţia f are limita L în punctul a dacă pntru orice \epsilon >0 \! există un număr \delta = \delta (\epsilon) >0 \! astfel ca |f(x)-L|< \epsilon, \; \forall x \in A, \; x \neq a  \! şi |x-a|< \delta. \!


Altă formulare:

Fie f: D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \; \; x_0 \! un punct de acumulare. Funcţia f are limită în x_0 \; \Leftrightarrow \; l_s (x_0) = l_d(x_0), \! unde l_s \! şi l_d \! sunt limitele laterale


Faptul că funcţia f are limita L în punctul a se notează:

\lim_{x \to a} f(x) = L \! sau f(x) \underset {x \to a} \rightarrow L .\!


Observaţii Edit

1. Valoarea funcţiei f în punctul a, dacă există, nu intervine în definiţia limitei. Valoarea f(a) poate să nu verifice inegalitatea din definiţia limitei.

2. Fiind dată funcţia f şi numărul L, inegalitatea |f(x) -L|< \epsilon \! înseamnă L- \epsilon < f(x) < L+ \epsilon \! şi prin urmare \epsilon \! poate fi interpretată ca şi acurateţea prescrisă cu care se aproximează L; cât de aproape vrem să fie L.

3. Numărul \delta \! nu poate fi determinat în mod unic de \epsilon \!. După ce s-a găsit un \delta(\epsilon), \! orice \delta' < \delta(\epsilon), \! poate fi luat.

Proprietăţi Edit

1. Dacă \lim_{x \to x_0} f(x) \! există, atunci această limită este unică.


2. Dacă \lim_{x \to x_0} f(x) =l \!

atunci

\lim_{x \to x_0} |f(x)| =|l|. \!

Reciproca nu este valabilă.


3. Dacă \lim_{x \to x_0} |f(x)| =0 \; \Rightarrow \; \lim_{x \to x_0} f(x) =0. \!


4. Fie f, g : D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \!

cu proprietatea că:

\exists U \! o vecinătate a lui x_0 \in D \! astfel încât
f(x) \le g(x) \; \forall x \in D \cap U \setminus \{x_0\} \!

şi dacă există

\lim_{x \to x_0} f(x), \; \lim_{x \to x_0} g(x) \!

atunci:

\lim_{x \to x_0} f(x) < \lim_{x \to x_0} g(x). \!


5. Dacă f(x) \le g(x) \le h(x), \; \forall x \in D \cap U \setminus \{ x_0 \} \! şi

\exists \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) =l \!

atunci:

 \exists \lim_{x \to x_0} g(x) = l. \!


6. Dacă |f(x)-l| \le g(x), \; \forall x \in D \cap U \setminus \{ x_0 \} \!

şi

\lim g(x) = 0 \! atunci \lim f(x) = l. \!


7. Dacă \lim f(x) =0 \! şi

\exists M>0 \! a.î. |g(x)| \le M, \!

atunci

\lim f(x) \cdot g(x)=0. \!


8. Dacă f(x) \ge g(x) \! şi \lim g(x) = + \infty, \!

atunci

\lim f(x) = + \infty. \!

Dacă f(x) \le g(x) \! şi \lim g(x) = - \infty, \!

atunci:

\lim f(x) = - \infty. \!

Operaţii cu funcţii Edit

Dacă există \lim f(x) = l_1, \; \lim g(x) = l_2 \! şi au sens operaţiile:

l_1+l_2, \; l_1-l_2, \; l_1 \cdot l_2, \; \frac {l_1}{l_2}, \; l_1^{l_2}, \; \sqrt{l_1}, \! atunci:


1. \lim (f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2. \!


2. \lim (f(x) g(x)) = l_2 \cdot l_2. \!


3. \lim \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {l_1}{l_2}. \!


4. \lim f(x)^{g(x)} = l_1^{l_2}. \!


5. \lim \sqrt {f(x)} = \sqrt {l_1}. \!


P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n, \; a_0 \neq 0 \!
\lim_{x \to \pm \infty} = a_0 (\pm \infty)^n. \!


\lim_{x \to \infty} q^x = \begin{cases} 0, & daca \; q \in (-1, 1) \\ \\ 1, & daca \; q=1 \\ \\ \infty, & daca \; q>1 \\ \\ nu \; exista, & daca \; q \le -1   \end{cases} \!


\lim_{x \to \infty} \frac {a_0 \cdot x^p + a_1 \cdot x^{p-1} + \cdots + a_p}{b_0 \cdot x^q + b_1 \cdot x^{q-1} + \cdots + b_q} = \begin{cases} 0, & daca \; p<q \\ \\ \frac {a_0}{b_0}, & daca \; p=q  \\ \\ \infty, & daca \; p>q \; si \; \frac {a_0}{b_0} >0 \\ \\ - \infty, & daca \; p>q \; si \ \frac {a_0}{b_0} <0. \end{cases} \!


a>1 \! \lim_{x \to \infty} a^x = \infty \!   \lim_{x \to - \infty} a^x = 0 \!


a \in (0, 1) \! \lim_{x \to \infty} a^x = 0 \!   \lim_{x \to - \infty} a^x = \infty \!


a>1 \! \lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \! \lim_{x \to 0} \log_a x = - \infty \!


a \in (0, 1) \! \lim_{x \to \infty} \log_a x = - \infty \!   \lim_{x \to 0} \log_a x =  \infty \!


\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1 \!   \lim_{u(x) \to 0} \frac {\sin u(x)}{u(x)} =1 \!


\lim_{x \to 0} \frac {\tan x}{x} = 1 \!   \lim_{u(x) \to 0} \frac {\tan u(x)}{u(x)} =1 \!


\lim_{x \to 0} \frac {\arcsin x}{x} = 1 \!   \lim_{u(x) \to 0} \frac {\arcsin u(x)}{u(x)} =1 \!


\lim_{x \to 0} \frac {\arctan x}{x} = 1 \!   \lim_{u(x) \to 0} \frac {\arctan u(x)}{u(x)} =1 \!


\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac 1 x} = e \!   \lim_{u(x) \to 0} (1+ u(x))^{\frac{1}{u(x)}} = e \!


\lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac 1 x \right ) ^x  = e\!   \lim_{u(x) \to \infty} \left ( 1+ \frac {1}{u(x)} \right )^{u(x)} = 0 \!


\lim_{x to 0} \frac {\ln (1+x)}{x} = 1 \!   \lim_{u(x) \to 0 } \frac {\ln (1+ u(x))}{u(x)} = 1 \!


\lim_{x \to 0 } \frac {a^x-1}{x} = \ln a \!   \lim_{u(x) \to 0} \frac {a^{u(x)} - 1}{u(x)} = \ln a \!


\lim_{x \to 0} \frac {(1+x)^r -1}{x} = r \!   \lim_{u(x) \to 0} \frac {(1+ u(x))^r-1}{u(x)} = r \!


\lim_{x \to \infty} \frac {x^k}{a^x} = 0 \!   \lim_{u(x) \to \infty} \frac {u(x)^k}{a^{u(x)}} =0 \!


\lim_{x \to \infty} \frac {\ln x}{x^k} = 0 \!   \lim_{u(x) \to \infty} \frac {\ln u(x)}{u(x)^k}. \!

Exemple Edit

EXEMPLUL 1. Să se arate că \lim_{x \to 2} \frac {x^2-4}{x-2}=4. \!

Soluţie. Fie \epsilon>0 \! şi să considerăm inegalitatea:

\left | \frac{x^2-4}{x-2} -4  \right | < \epsilon \! sau  4- \epsilon < \frac{x^2-4}{x-2}< 4+ \epsilon\!

pentru x \neq 2. \! Aceasta este echivalentă cu inegalitatea: 4- \epsilon < x+2 < 4 + \epsilon \! sau 2- \epsilon <x< 2+ \epsilon, \! arătând că putem lua \delta = \epsilon. \!


EXEMPLUL 2 Să se arate că în orice punct a>0 ,\! funcţia f(x) \sqrt x \! are limită şi

\lim_{x \to a} \sqrt x = \sqrt a.\!

Soluţie: Într-adevăr, dacă \epsilon >0, \! atunci are loc:

|\sqrt x - \sqrt a| < \epsilon \! sau \sqrt a - \epsilon < \sqrt x < \sqrt a + \epsilon \!

care prin ridicare la pătrat devine:

a-2 \sqrt a \cdot \epsilon + \epsilon^2 < x < a + 2 \sqrt a \cdot \epsilon + \epsilon^2. \!

Pentru un a şi un \epsilon \! dat, putem lua \delta = 2 \sqrt a \cdot \epsilon + \epsilon^2. \!

Limite laterale Edit

(Detalii la articolul Limite laterale ale unei funcții)

Limite infinite Edit

(Detalii la articolul Limită a unei funcții la infinit)

Limite notabile Edit

Funcţia Limita în formă sintetică Limita în formă generală Observaţii
pentru forma generală
Sinus  \lim _{x \rightarrow 0} \frac {\sin x}{x} \rightarrow 1  \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac {\sin f(x)}{f(x)} \rightarrow 1 Nu e necesar ca
 x \rightarrow 0
Logaritm natural  \lim _{x \rightarrow 0} \frac {\ln (1+x)}{x} \rightarrow 1  \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac {\ln 1+ f(x)}{f(x)} \rightarrow 1 Nu e necesar ca
 x \rightarrow 0


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki