FANDOM


Limita unei funcţii într-un punct Edit

În calculul diferenţial şi calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcţii într-un punct. Conceptul este folosit în studiul continuităţii, derivatei, integralei şi alte studii.

Considerăm o funcţie $ f: A \subset \mathbb R^1 \rightarrow \mathbb R^1. \! $ Vom analiza comportamentul lui $ f(x) \! $ atunci când x se apropie de o valoare reală fixată a. Pentru aceasta se presupune că f(x) este definit pentru orice x care se apropie de a. Cu alte cuvinte vom presupune că domeniul de definiţie A conţine o mulţime de forma $ (a-r, a) \cup (a, a+r) \! $ unde $ r>0. \! $

DEFINIŢIE. Funcţia f are limita L în punctul a dacă pntru orice $ \epsilon >0 \! $ există un număr $ \delta = \delta (\epsilon) >0 \! $ astfel ca $ |f(x)-L|< \epsilon, \; \forall x \in A, \; x \neq a \! $ şi $ |x-a|< \delta. \! $


Altă formulare:

Fie $ f: D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \; \; x_0 \! $ un punct de acumulare. Funcţia f are limită în $ x_0 \; \Leftrightarrow \; l_s (x_0) = l_d(x_0), \! $ unde $ l_s \! $ şi $ l_d \! $ sunt limitele laterale


Faptul că funcţia f are limita L în punctul a se notează:

$ \lim_{x \to a} f(x) = L \! $ sau $ f(x) \underset {x \to a} \rightarrow L .\! $


Observaţii Edit

1. Valoarea funcţiei f în punctul a, dacă există, nu intervine în definiţia limitei. Valoarea f(a) poate să nu verifice inegalitatea din definiţia limitei.

2. Fiind dată funcţia f şi numărul L, inegalitatea $ |f(x) -L|< \epsilon \! $ înseamnă $ L- \epsilon < f(x) < L+ \epsilon \! $ şi prin urmare $ \epsilon \! $ poate fi interpretată ca şi acurateţea prescrisă cu care se aproximează L; cât de aproape vrem să fie L.

3. Numărul $ \delta \! $ nu poate fi determinat în mod unic de $ \epsilon \! $. După ce s-a găsit un $ \delta(\epsilon), \! $ orice $ \delta' < \delta(\epsilon), \! $ poate fi luat.

Proprietăţi Edit

1. Dacă $ \lim_{x \to x_0} f(x) \! $ există, atunci această limită este unică.


2. Dacă $ \lim_{x \to x_0} f(x) =l \! $

atunci

$ \lim_{x \to x_0} |f(x)| =|l|. \! $

Reciproca nu este valabilă.


3. Dacă $ \lim_{x \to x_0} |f(x)| =0 \; \Rightarrow \; \lim_{x \to x_0} f(x) =0. \! $


4. Fie $ f, g : D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \! $

cu proprietatea că:

$ \exists U \! $ o vecinătate a lui $ x_0 \in D \! $ astfel încât
$ f(x) \le g(x) \; \forall x \in D \cap U \setminus \{x_0\} \! $

şi dacă există

$ \lim_{x \to x_0} f(x), \; \lim_{x \to x_0} g(x) \! $

atunci:

$ \lim_{x \to x_0} f(x) < \lim_{x \to x_0} g(x). \! $


5. Dacă $ f(x) \le g(x) \le h(x), \; \forall x \in D \cap U \setminus \{ x_0 \} \! $ şi

$ \exists \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) =l \! $

atunci:

$ \exists \lim_{x \to x_0} g(x) = l. \! $


6. Dacă $ |f(x)-l| \le g(x), \; \forall x \in D \cap U \setminus \{ x_0 \} \! $

şi

$ \lim g(x) = 0 \! $ atunci $ \lim f(x) = l. \! $


7. Dacă $ \lim f(x) =0 \! $ şi

$ \exists M>0 \! $ a.î. $ |g(x)| \le M, \! $

atunci

$ \lim f(x) \cdot g(x)=0. \! $


8. Dacă $ f(x) \ge g(x) \! $ şi $ \lim g(x) = + \infty, \! $

atunci

$ \lim f(x) = + \infty. \! $

Dacă $ f(x) \le g(x) \! $ şi $ \lim g(x) = - \infty, \! $

atunci:

$ \lim f(x) = - \infty. \! $

Operaţii cu funcţii Edit

Dacă există $ \lim f(x) = l_1, \; \lim g(x) = l_2 \! $ şi au sens operaţiile:

$ l_1+l_2, \; l_1-l_2, \; l_1 \cdot l_2, \; \frac {l_1}{l_2}, \; l_1^{l_2}, \; \sqrt{l_1}, \! $ atunci:


1. $ \lim (f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2. \! $


2. $ \lim (f(x) g(x)) = l_2 \cdot l_2. \! $


3. $ \lim \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {l_1}{l_2}. \! $


4. $ \lim f(x)^{g(x)} = l_1^{l_2}. \! $


5. $ \lim \sqrt {f(x)} = \sqrt {l_1}. \! $


$ P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n, \; a_0 \neq 0 \! $
$ \lim_{x \to \pm \infty} = a_0 (\pm \infty)^n. \! $


$ \lim_{x \to \infty} q^x = \begin{cases} 0, & daca \; q \in (-1, 1) \\ \\ 1, & daca \; q=1 \\ \\ \infty, & daca \; q>1 \\ \\ nu \; exista, & daca \; q \le -1 \end{cases} \! $


$ \lim_{x \to \infty} \frac {a_0 \cdot x^p + a_1 \cdot x^{p-1} + \cdots + a_p}{b_0 \cdot x^q + b_1 \cdot x^{q-1} + \cdots + b_q} = \begin{cases} 0, & daca \; p<q \\ \\ \frac {a_0}{b_0}, & daca \; p=q \\ \\ \infty, & daca \; p>q \; si \; \frac {a_0}{b_0} >0 \\ \\ - \infty, & daca \; p>q \; si \ \frac {a_0}{b_0} <0. \end{cases} \! $


$ a>1 \! $ $ \lim_{x \to \infty} a^x = \infty \! $   $ \lim_{x \to - \infty} a^x = 0 \! $


$ a \in (0, 1) \! $ $ \lim_{x \to \infty} a^x = 0 \! $   $ \lim_{x \to - \infty} a^x = \infty \! $


$ a>1 \! $ $ \lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \! $ $ \lim_{x \to 0} \log_a x = - \infty \! $


$ a \in (0, 1) \! $ $ \lim_{x \to \infty} \log_a x = - \infty \! $   $ \lim_{x \to 0} \log_a x = \infty \! $


$ \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1 \! $   $ \lim_{u(x) \to 0} \frac {\sin u(x)}{u(x)} =1 \! $


$ \lim_{x \to 0} \frac {\tan x}{x} = 1 \! $   $ \lim_{u(x) \to 0} \frac {\tan u(x)}{u(x)} =1 \! $


$ \lim_{x \to 0} \frac {\arcsin x}{x} = 1 \! $   $ \lim_{u(x) \to 0} \frac {\arcsin u(x)}{u(x)} =1 \! $


$ \lim_{x \to 0} \frac {\arctan x}{x} = 1 \! $   $ \lim_{u(x) \to 0} \frac {\arctan u(x)}{u(x)} =1 \! $


$ \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac 1 x} = e \! $   $ \lim_{u(x) \to 0} (1+ u(x))^{\frac{1}{u(x)}} = e \! $


$ \lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac 1 x \right ) ^x = e\! $   $ \lim_{u(x) \to \infty} \left ( 1+ \frac {1}{u(x)} \right )^{u(x)} = 0 \! $


$ \lim_{x to 0} \frac {\ln (1+x)}{x} = 1 \! $   $ \lim_{u(x) \to 0 } \frac {\ln (1+ u(x))}{u(x)} = 1 \! $


$ \lim_{x \to 0 } \frac {a^x-1}{x} = \ln a \! $   $ \lim_{u(x) \to 0} \frac {a^{u(x)} - 1}{u(x)} = \ln a \! $


$ \lim_{x \to 0} \frac {(1+x)^r -1}{x} = r \! $   $ \lim_{u(x) \to 0} \frac {(1+ u(x))^r-1}{u(x)} = r \! $


$ \lim_{x \to \infty} \frac {x^k}{a^x} = 0 \! $   $ \lim_{u(x) \to \infty} \frac {u(x)^k}{a^{u(x)}} =0 \! $


$ \lim_{x \to \infty} \frac {\ln x}{x^k} = 0 \! $   $ \lim_{u(x) \to \infty} \frac {\ln u(x)}{u(x)^k}. \! $

Exemple Edit

EXEMPLUL 1. Să se arate că $ \lim_{x \to 2} \frac {x^2-4}{x-2}=4. \! $

Soluţie. Fie $ \epsilon>0 \! $ şi să considerăm inegalitatea:

$ \left | \frac{x^2-4}{x-2} -4 \right | < \epsilon \! $ sau $ 4- \epsilon < \frac{x^2-4}{x-2}< 4+ \epsilon\! $

pentru $ x \neq 2. \! $ Aceasta este echivalentă cu inegalitatea: $ 4- \epsilon < x+2 < 4 + \epsilon \! $ sau $ 2- \epsilon <x< 2+ \epsilon, \! $ arătând că putem lua $ \delta = \epsilon. \! $


EXEMPLUL 2 Să se arate că în orice punct $ a>0 ,\! $ funcţia $ f(x) \sqrt x \! $ are limită şi

$ \lim_{x \to a} \sqrt x = \sqrt a.\! $

Soluţie: Într-adevăr, dacă $ \epsilon >0, \! $ atunci are loc:

$ |\sqrt x - \sqrt a| < \epsilon \! $ sau $ \sqrt a - \epsilon < \sqrt x < \sqrt a + \epsilon \! $

care prin ridicare la pătrat devine:

$ a-2 \sqrt a \cdot \epsilon + \epsilon^2 < x < a + 2 \sqrt a \cdot \epsilon + \epsilon^2. \! $

Pentru un a şi un $ \epsilon \! $ dat, putem lua $ \delta = 2 \sqrt a \cdot \epsilon + \epsilon^2. \! $

Limite laterale Edit

(Detalii la articolul Limite laterale ale unei funcții)

Limite infinite Edit

(Detalii la articolul Limită a unei funcții la infinit)

Limite notabile Edit

Funcţia Limita în formă sintetică Limita în formă generală Observaţii
pentru forma generală
Sinus $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac {\sin x}{x} \rightarrow 1 $ $ \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac {\sin f(x)}{f(x)} \rightarrow 1 $ Nu e necesar ca
$ x \rightarrow 0 $
Logaritm natural $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac {\ln (1+x)}{x} \rightarrow 1 $ $ \lim_{f(x) \rightarrow 0} \frac {\ln 1+ f(x)}{f(x)} \rightarrow 1 $ Nu e necesar ca
$ x \rightarrow 0 $


Resurse Edit