Fandom

Math Wiki

Lemniscata lui Bernoulli

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Lemniskate von Bernoulli.png

Definiţie Edit

Lemniscata lui Bernoulli [gr. lemniscos "panglică"] este o curbă plană, loc geometric al punctelor pentru care produsul distanţelor la două puncte fixe este egal cu pătratul jumătăţii distanţei dintre punctele fixe:

PF_1 \cdot PF_2 = a^2, \!

unde F_1(-a, 0), \; F_2(a, 0) \! sunt punctele fixe cu F_1F_2 = 2a. \!

Lemniscate Building.gif

Lemniscata este un caz particular al ovalelelor lui Cassini‎‎ şi are ecuaţia carteziană:

(x^2 + y^2)^2- 2 a^2 (x^2 - y^2)=0, \!

iar ecuaţia polară (cu polul în originea sistemului cartezian):

r^2 = 2 a^2 \cos 2 \theta. \!

Aria unei bucle a lemniscatei este 2a^2. \!

Lemniscata a fost considerată şi denumită astfel de Jacques Bernoulli (1694), ca soluţie a unei probleme de mecanică.

Construcţie (Metoda lui Maclaurin) Edit

Constructia lemniscatei.png

Fie O mijlocul segmentului F_1F_2 = 2a. \! Construim cercul de centru F_1 \! (sau F_2 \!) şi rază \frac {2}{\sqrt 2}. \! Secanta din O la cerc intersectează cercul în P şi Q. Pe acestă secantă construim punctele M \! şi M_1 \! de o parte şi de alta a lui O cu proprietatea OM= OM_1 = PQ. \! M descrie o buclă a lemniscatei în timp ce M_1 \! descrie cealaltă buclă.

Caracteristici ale curbei Edit

Lemniscata are două axe de simetrie: dreapta suport a segmentului F_1F_2 \! şi mediatoarea segmentului F_1F_2 \!. O este numit şi nodul curbei şi este punct de inflexiune pentru ambele ramuri. Tangentele în O la curbă formează unghiuri de 45^{\circ} \! cu axa F_1F_2. \! Avem d(O, A_1) = d(O, A_2) = c \sqrt 2 \! iar A_1 \! şi A_2 \! se numesc vârfuri.

Ecuaţiile lemniscatei Edit

Ecuaţia în coordonate carteziene Edit

Ecuaţia curbei în coordonate carteziene (O ca origine) este:

(x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2). \!


Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţie lemniscatei considerăm ca origine punctul O şi fie (x, y) \! coordonatele punctului M. Construim MM' \! perpendiculara prin M la axa Ox. Considerăm triunghiurile dreptunghice MM'F_1 \! şi MM'F_2. \! Aplicând teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri, obţinem relaţiile:

MF_1^2 = y^2 + (x-c)^2 \!
MF_2^2 = y^2 + (x+c)^2 \!

Ţinând seama de relaţia MF_1 \cdot MF_2 = a^2 \! rezultă:

\left [ y^2 + (x-c)^2 \right ] \cdot \left [ y^2 + (x+c)^2 \right ] = c^4, \!

de unde obţinem ecuaţia:

(x^2 + y^2)^2 = 2 c^2 (x^2 - y^2), \!

care dă reprezentarea în coordonate carteziene a lemniscatei.

Ecuaţia în coordonate polare Edit

r^2 = 2a^2 cos 20

Resurse Edit

Familia Bernoulli
Jacob Bernoulli.jpg
Jacques Bernoulli
(Jakob Bernoulli)
(1654 - 1705)
Ecuația diferențială de tip Bernoulli
Numerele lui Bernoulli
Lemniscata lui Bernoulli
Operatorul Bernoulli
Inegalitatea lui Bernoulli
-frate- Johann Bernoulli.jpg
Jean Bernoulli
(Johann Bernoulli)
(1667 – 1748)
Identitatea lui Bernoulli
Regula lui Bernoulli
|
fiu
|
Daniel Bernoulli.jpg
Daniel Bernoulli
(1700–1782)
Legea lui Bernoulli
Teoria cinetică a gazelor
Teoria probabilităților

Also on Fandom

Random Wiki