FANDOM


Lemniskate von Bernoulli

Definiţie Edit

Lemniscata lui Bernoulli [gr. lemniscos "panglică"] este o curbă plană, loc geometric al punctelor pentru care produsul distanţelor la două puncte fixe este egal cu pătratul jumătăţii distanţei dintre punctele fixe:

$ PF_1 \cdot PF_2 = a^2, \! $

unde $ F_1(-a, 0), \; F_2(a, 0) \! $ sunt punctele fixe cu $ F_1F_2 = 2a. \! $

Lemniscate Building

Lemniscata este un caz particular al ovalelelor lui Cassini‎‎ şi are ecuaţia carteziană:

$ (x^2 + y^2)^2- 2 a^2 (x^2 - y^2)=0, \! $

iar ecuaţia polară (cu polul în originea sistemului cartezian):

$ r^2 = 2 a^2 \cos 2 \theta. \! $

Aria unei bucle a lemniscatei este $ 2a^2. \! $

Lemniscata a fost considerată şi denumită astfel de Jacques Bernoulli (1694), ca soluţie a unei probleme de mecanică.

Construcţie (Metoda lui Maclaurin) Edit

Constructia lemniscatei

Fie O mijlocul segmentului $ F_1F_2 = 2a. \! $ Construim cercul de centru $ F_1 \! $ (sau $ F_2 \! $) şi rază $ \frac {2}{\sqrt 2}. \! $ Secanta din O la cerc intersectează cercul în P şi Q. Pe acestă secantă construim punctele $ M \! $ şi $ M_1 \! $ de o parte şi de alta a lui O cu proprietatea $ OM= OM_1 = PQ. \! $ M descrie o buclă a lemniscatei în timp ce $ M_1 \! $ descrie cealaltă buclă.

Caracteristici ale curbei Edit

Lemniscata are două axe de simetrie: dreapta suport a segmentului $ F_1F_2 \! $ şi mediatoarea segmentului $ F_1F_2 \! $. O este numit şi nodul curbei şi este punct de inflexiune pentru ambele ramuri. Tangentele în O la curbă formează unghiuri de $ 45^{\circ} \! $ cu axa $ F_1F_2. \! $ Avem $ d(O, A_1) = d(O, A_2) = c \sqrt 2 \! $ iar $ A_1 \! $ şi $ A_2 \! $ se numesc vârfuri.

Ecuaţiile lemniscatei Edit

Ecuaţia în coordonate carteziene Edit

Ecuaţia curbei în coordonate carteziene (O ca origine) este:

$ (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2). \! $


Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţie lemniscatei considerăm ca origine punctul O şi fie $ (x, y) \! $ coordonatele punctului M. Construim $ MM' \! $ perpendiculara prin M la axa Ox. Considerăm triunghiurile dreptunghice $ MM'F_1 \! $ şi $ MM'F_2. \! $ Aplicând teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri, obţinem relaţiile:

$ MF_1^2 = y^2 + (x-c)^2 \! $
$ MF_2^2 = y^2 + (x+c)^2 \! $

Ţinând seama de relaţia $ MF_1 \cdot MF_2 = a^2 \! $ rezultă:

$ \left [ y^2 + (x-c)^2 \right ] \cdot \left [ y^2 + (x+c)^2 \right ] = c^4, \! $

de unde obţinem ecuaţia:

$ (x^2 + y^2)^2 = 2 c^2 (x^2 - y^2), \! $

care dă reprezentarea în coordonate carteziene a lemniscatei.

Ecuaţia în coordonate polare Edit

$ r^2 = 2a^2 cos 2 \theta $

Resurse Edit

Familia Bernoulli
Jacob Bernoulli
Jacques Bernoulli
(Jakob Bernoulli)
(1654 - 1705)
Ecuația diferențială de tip Bernoulli
Numerele lui Bernoulli
Lemniscata lui Bernoulli
Operatorul Bernoulli
Inegalitatea lui Bernoulli
-frate- Johann Bernoulli
Jean Bernoulli
(Johann Bernoulli)
(1667 – 1748)
Identitatea lui Bernoulli
Regula lui Bernoulli
|
fiu
|
Daniel Bernoulli
Daniel Bernoulli
(1700–1782)
Legea lui Bernoulli
Teoria cinetică a gazelor
Teoria probabilităților