FANDOM


Enunţ. Din orice șir mărginit se poate extrage un subşir convergent.


Demonstraţie.

Vom utiliza criteriul de convergenţă:

Fie $ (b_n)_{n \in \mathbb N^*}, \; b_n>0, \; \lim_{n \to \infty} b_n =0. \! $ Fie $ (a_n)_{n \in \mathbb N}. \! $ Dacă există un N astfel încât oricare ar fi $ n \ge N \; \Rightarrow \; |a_n - l| < b_n \; \Rightarrow \; a_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} l. \! $

Din ipoteză ştim că $ (a_n)_{n \in \mathbb N^*} \! $ este marginit, deci există $ a, b \in \mathbb Q \! $ astfel încât $ a \ge a_n \ge b, \! $ oricare ar fi $ n \in \mathbb N^*. \! $

Grafica pt lema lui Cesaro

Lungimea intervalului $ [a, b] \! $ este $ b-a. \! $ Calculăm $ c_0 = \frac{a_0+b_0}{2} \! $ şi obţinem două intervale: $ [a_0, c_0] \! $ şi $ [c_0, b_0]. \! $

Notăm cu $ [a_1, b_1] \! $ un interval ce conţine o infinitate de termeni ai şirului. Dacă ambele intervale obţinute mai sus conţin o infinitate de termeni ai şirului, vom considera drept $ [a_1, b_1] \! $ intervalul din stânga.

Lungimea intervalului $ [a_1, b_1] \! $ este $ \frac{b-a}{2}. \! $ Alegem $ a_{n_1} \in [a_1, b_1]. \! $ Notăm $ c_1 = \frac{a_1+b_1}{2}. \! $ Notăm cu $ [a_2, b_2] \! $ intervalul care contine o infinitate de termeni ai şirului. Dacă ambele intervale contin o infinitate de termeni ai şirului, alegem drept $ [a_2, b_2] \! $ pe cel din stânga.

Lungimea intervalului $ [a_2, b_2] \! $ este $ \frac{b-a}{2^2}. \! $

Alegem: $ a_{n_2} \in [a_2, b_2], \; n_2 > n_1. \! $

Repetând procedeul de mai sus, după k paşi vom avea intervalul $ [a_k, b_k] \! $ cu lungimea $ \frac{b-a}{2^k} \! $ şi care conţine o infinitate de termeni ai şirului.

Alegem $ a_{n_k} \in [a_k, b-k], \; n_k > n_{k-1}. \! $

Împărţim intervalul $ [a_k, b-k] \! $ în două intervale egale şi alegem drept interval $ [a_{k+1}, b-{k+1}] \! $ intervalul care conţine o infinitate de termeni ai şirului. Dacă ambele intervale contin o infinitate de termeni, alegem drept $ [a_{k+1}, b-{k+1}] \! $ pe cel din stânga.

Alegem $ a_{n_{k+1}} \in [a_{k+1}, b_{k+1}], \; n_{k+1} > n_k. \! $

Am demonstrat astfel prin inducţie după k, faptul că putem alege un subşir $ (a_{n_k})_{k \in \mathbb N^*} \! $ astfel încât $ a_n \in [a_k, b_k] , \! $ interval de lungime $ \frac{b-a}{2}. \! $

$ a=a_0 \le a_1 \le a_2 \le K \le a_k \le \alpha \le K \le b_k \le K \le b_1 \le b_0 =b. \! $

pentru oricare $ k \in \mathbb N^*. \! $

Rezultă că există şi este unic numărul real $ \alpha \in [a_k, b_k], \; \forall k \in \mathbb N^*. \! $


Dar $ a_{n_k} \in [a_k, b_k] \! $ pentru oricare $ k \in \mathbb N^*, \! $ şi deci $ |a_{n_k}| = \frac{b-a}{2^k}. \! $ Notând $ b_k = \frac{b-a}{2^k} \! $ avem $ b_k >0 \! $ şi $ \lim_{k \to \infty} b_k = 0. \! $


Conform criteriului de convergenţă enunţat anterior rezultă că:

$ a_{n_k} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} \alpha. \! $