Fandom

Math Wiki

Lema lui Cesàro

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Enunţ. Din orice șir mărginit se poate extrage un subşir convergent.


Demonstraţie.

Vom utiliza criteriul de convergenţă:

Fie (b_n)_{n \in \mathbb N^*}, \; b_n>0, \; \lim_{n \to \infty} b_n =0. \! Fie (a_n)_{n \in \mathbb N}. \! Dacă există un N astfel încât oricare ar fi n \ge N \; \Rightarrow \; |a_n - l| < b_n \; \Rightarrow \; a_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} l. \!

Din ipoteză ştim că (a_n)_{n \in \mathbb N^*} \! este marginit, deci există a, b \in \mathbb Q \! astfel încât a \ge a_n \ge b, \! oricare ar fi n \in \mathbb N^*. \!

Grafica pt lema lui Cesaro.png

Lungimea intervalului [a, b] \! este b-a. \! Calculăm c_0 = \frac{a_0+b_0}{2} \! şi obţinem două intervale: [a_0, c_0] \! şi [c_0, b_0]. \!

Notăm cu [a_1, b_1] \! un interval ce conţine o infinitate de termeni ai şirului. Dacă ambele intervale obţinute mai sus conţin o infinitate de termeni ai şirului, vom considera drept [a_1, b_1] \! intervalul din stânga.

Lungimea intervalului [a_1, b_1] \! este \frac{b-a}{2}. \! Alegem a_{n_1} \in [a_1, b_1]. \! Notăm c_1 = \frac{a_1+b_1}{2}. \! Notăm cu [a_2, b_2] \! intervalul care contine o infinitate de termeni ai şirului. Dacă ambele intervale contin o infinitate de termeni ai şirului, alegem drept [a_2, b_2] \! pe cel din stânga.

Lungimea intervalului [a_2, b_2] \! este \frac{b-a}{2^2}. \!

Alegem: a_{n_2} \in [a_2, b_2], \; n_2 > n_1. \!

Repetând procedeul de mai sus, după k paşi vom avea intervalul [a_k, b_k] \! cu lungimea \frac{b-a}{2^k} \! şi care conţine o infinitate de termeni ai şirului.

Alegem a_{n_k} \in [a_k, b-k], \; n_k > n_{k-1}. \!

Împărţim intervalul [a_k, b-k] \! în două intervale egale şi alegem drept interval [a_{k+1}, b-{k+1}] \! intervalul care conţine o infinitate de termeni ai şirului. Dacă ambele intervale contin o infinitate de termeni, alegem drept [a_{k+1}, b-{k+1}] \! pe cel din stânga.

Alegem a_{n_{k+1}} \in [a_{k+1}, b_{k+1}], \; n_{k+1} > n_k. \!

Am demonstrat astfel prin inducţie după k, faptul că putem alege un subşir (a_{n_k})_{k \in \mathbb N^*} \! astfel încât a_n \in [a_k, b_k] , \! interval de lungime \frac{b-a}{2}. \!

a=a_0 \le a_1 \le a_2 \le K \le a_k \le \alpha \le K \le b_k \le K \le b_1 \le b_0 =b. \!

pentru oricare k \in \mathbb N^*. \!

Rezultă că există şi este unic numărul real \alpha \in [a_k, b_k], \; \forall  k \in \mathbb N^*. \!


Dar a_{n_k} \in [a_k, b_k] \! pentru oricare k \in \mathbb N^*, \! şi deci |a_{n_k}| = \frac{b-a}{2^k}. \! Notând b_k = \frac{b-a}{2^k} \! avem b_k >0 \! şi \lim_{k \to \infty} b_k = 0. \!


Conform criteriului de convergenţă enunţat anterior rezultă că:

a_{n_k} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} \alpha. \!

Also on Fandom

Random Wiki