Fandom

Math Wiki

Lema Riemann-Lebesgue

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Lema Riemann-Lebesgue mai este numită şi Teorema lui Mercer sau Lema lui Riemann.

Teorema 1. (Lema lui Riemann) Dacă f: [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb R \! este o funcție integrabilă Riemann, atunci șirurile:

\bigg ( \int_0^{2 \pi} f(x) \sin nx \; dx  \bigg )_{n \in \mathbb N^*} \!
\bigg ( \int_0^{2 \pi} f(x) \cos nx \; dx  \bigg )_{n \in \mathbb N^*} \!

sunt convergente şi avem:

\lim_{n \to \infty} \int_0^{2 \pi} f(x) \sin nx \; dx = 0 =\lim_{n \to \infty} \int_0^{2 \pi} f(x) \cos nx \; dx.   \!

Generalizare Edit

Vom face referire la câteva rezultate:

Teorema 2. Dacă f: [0, T] \rightarrow \mathbb R \! este o funcție continuă şi g: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty) \! este o funcţie continuă şi periodică de perioadă T, atunci:

\lim_{n \to \infty} \int_0^T f(x) g(nx)dx = \frac  1T \bigg ( \int_0^T f(x)dx \bigg ) \bigg ( \int_0^T g(x)dx \bigg ). \!


Teorema 3. Dacă f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este o funcţie integrabilă Riemann şi \varphi : [c, d] \rightarrow [a, b] \! este o funcţie bijectivă, derivabilă şi cu derivata integrabilă Riemann, atunci funcţia (f \circ \varphi) \varphi' \! este integrabilă Rimann şi are loc formula "schimbării de variabilă":

\int_a^b f(x)dx= \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi (t)) \varphi'(t) dt. \!


Corolar. Fie \alpha \in \mathbb R^* \! astfel încât funcţia de gradul întâi \varphi : [c, d] \rightarrow [a, b], \; \varphi(x) = \alpha x + \beta \! este o funcţie bijectivă. Dacă f: [a, b] \rightarrow \mathbb \! este o funcţie integrabilă Riemann, atunci funcţia f \circ \varphi \! este integrabilă Riemann şi are loc formula:

\int_a^b f(x) dx = \alpha \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi (t)) dt. \!

Lema lui Riemann generalizată Edit

Teorema 4. (lema lui Riemann generalizată). Dacă f: [0, T] \rightarrow \mathbb R \! este o funcţie integrabilă Riemann şi g: [0, \infty) \rightarrow \mathbb R \! este o funcţie periodică de perioadă T, astfel încât restricţia g|_{[0, T]} \! este integrabilă Riemann, atunci avem:

\lim_{n \to \infty} \int_0^T  f(x) g(nx) dx = \frac 1 T \bigg ( \int_0^T f(x) dx \bigg ) \bigg (  \int_0^T g(x) dx  \bigg ). \!   (1)


Demonstraţie. Conform corolarului, funcţia dată de g \rightarrow g(nx), \; x \in [0, T] \! este integrabilă Riemann. Urmează că şirul \bigg ( \int_0^T f(x) g(nx)dx \bigg )_{n \in \mathbb N^*} \! este corect definit.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki