FANDOM


Lema Riemann-Lebesgue mai este numită şi Teorema lui Mercer sau Lema lui Riemann.

Teorema 1. (Lema lui Riemann) Dacă $ f: [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcție integrabilă Riemann, atunci șirurile:

$ \bigg ( \int_0^{2 \pi} f(x) \sin nx \; dx \bigg )_{n \in \mathbb N^*} \! $
$ \bigg ( \int_0^{2 \pi} f(x) \cos nx \; dx \bigg )_{n \in \mathbb N^*} \! $

sunt convergente şi avem:

$ \lim_{n \to \infty} \int_0^{2 \pi} f(x) \sin nx \; dx = 0 =\lim_{n \to \infty} \int_0^{2 \pi} f(x) \cos nx \; dx. \! $

Generalizare Edit

Vom face referire la câteva rezultate:

Teorema 2. Dacă $ f: [0, T] \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcție continuă şi $ g: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty) \! $ este o funcţie continuă şi periodică de perioadă T, atunci:

$ \lim_{n \to \infty} \int_0^T f(x) g(nx)dx = \frac 1T \bigg ( \int_0^T f(x)dx \bigg ) \bigg ( \int_0^T g(x)dx \bigg ). \! $


Teorema 3. Dacă $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcţie integrabilă Riemann şi $ \varphi : [c, d] \rightarrow [a, b] \! $ este o funcţie bijectivă, derivabilă şi cu derivata integrabilă Riemann, atunci funcţia $ (f \circ \varphi) \varphi' \! $ este integrabilă Rimann şi are loc formula "schimbării de variabilă":

$ \int_a^b f(x)dx= \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi (t)) \varphi'(t) dt. \! $


Corolar. Fie $ \alpha \in \mathbb R^* \! $ astfel încât funcţia de gradul întâi $ \varphi : [c, d] \rightarrow [a, b], \; \varphi(x) = \alpha x + \beta \! $ este o funcţie bijectivă. Dacă $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb \! $ este o funcţie integrabilă Riemann, atunci funcţia $ f \circ \varphi \! $ este integrabilă Riemann şi are loc formula:

$ \int_a^b f(x) dx = \alpha \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi (t)) dt. \! $

Lema lui Riemann generalizată Edit

Teorema 4. (lema lui Riemann generalizată). Dacă $ f: [0, T] \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcţie integrabilă Riemann şi $ g: [0, \infty) \rightarrow \mathbb R \! $ este o funcţie periodică de perioadă T, astfel încât restricţia $ g|_{[0, T]} \! $ este integrabilă Riemann, atunci avem:

$ \lim_{n \to \infty} \int_0^T f(x) g(nx) dx = \frac 1 T \bigg ( \int_0^T f(x) dx \bigg ) \bigg ( \int_0^T g(x) dx \bigg ). \! $   (1)


Demonstraţie. Conform corolarului, funcţia dată de $ g \rightarrow g(nx), \; x \in [0, T] \! $ este integrabilă Riemann. Urmează că şirul $ \bigg ( \int_0^T f(x) g(nx)dx \bigg )_{n \in \mathbb N^*} \! $ este corect definit.

Resurse Edit