Fandom

Math Wiki

Legile lui Kepler

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Legea atracţiei universale a fost formulată de Isaac Newton, plecand de la principiul fundamental al dinamicii si de la rezultatele anterioare ale lui Galilei si Kepler, in cadrul modelulu heliocentric al lui N. Copernic. Cele trei legi ale lui Kepler, privitoare la mişcarea planetelor sistemului solar, sunt:

1. Legea orbitelor eliptice: Planetele se mişcă in jurul Soarelui pe traiectorii eliptice, Soarele fiind intr-unul din focare.

2. Legea ariilor: Viteza areolară a oricărei planete din sistemul solar este o constantă a miscării.

3. Legea perioadelor: Raportul dintre pătratul perioadei miscării si cubul semiaxei mari are o valoare constantă pentru toate planetele sistemului solar.

Primele două legi sunt consecinţe directe ale conservării momentului unghiular al unui corp sub acţiunea unei forţe de tip central, asa cum a fost demonstrat anterior.

Să demonstrăm acum cea de-a treia lege a lui Kepler. Pentru aceasta, vom evalua perioada miscării pe orbita eliptică:

T=\frac{A}{\Omega_a} = \frac{\pi ab}{J/(2m)} \!   (1)

Ţinând cont că:

b=a \sqrt{1 - \epsilon^2} \!   (2)


şi folosind relaţia a = \frac{p}{1 - \epsilon^2} = \frac{k}{2 |E|} \!   (3)

obţinem:

\frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi^2 m}{k}. \!   (4)

Înlocuind acum constanta k din legea atracţiei gravitaţionale, constatăm că acest raport este independent de masa planetei:

\frac{T^2}{a^3} \frac{4 \pi^2}{\gamma M} .\!   (5)

In tabelul următor sunt prezentate cateva date referitoare la sistemul planetar al Soarelui, unele exprimate in unităţi de măsură specifice Pămantului.

Planeta Raza (R_Pam) T(ani) \epsilon Masa (M_Pam)
Mercur 0,387 0,241 0,206 0,055
Venus 0,723 0,615 0,007 0,815
Pămant 1,000 1,000 0,017 1,000
Marte 1,524 1,881 0,093 0,107
Jupiter 5,203 11,862 0,048 317,94
Saturn 9,539 29,460 0,056 95,18
Uranus (1781) 19,191 84,020 0,046 14,53
Neptun (1846) 30,061 164,77 0,010 17,13
Pluto (1930) 39,529 247,68 0,248 0,0022


Forţa de atracţie gravitaţională dintre două corpuri purtătoare de sarcină (masă) gravitaţională este direct proporţională cu produsul maselor gravitaţionale ale corpurilor si invers proporţională cu pătratul distanţei dintre ele:

\vec F = - \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat e_r. \!   (6)

Constanta atracţiei universale, \gamma, \! care intervine in ecuaţia (6) este numeric egală cu forţa de interacţiune dintre două corpuri cu masa de 1 kg, aflate in vid, la distanţa de 1m unul de celălalt. Valoarea sa a fost măsurată de Cavendish cu ajutorul unui instrument de mare sensibilitate pentru măsurarea forţelor - balanţa de torsiune, prezentată schematic in Fig.1.

Două sfere din plumb cu diametrul de 5 cm sunt fixate la capetele unei bare cu lungimea de 1,8 m, suspendată la mijlocul ei de un fir de torsiune din cuarţ. De acesta este prinsă oglinda O. Aducand in apropierea sferelor mici alte două sfere, tot din plumb, dar de diametru mai mare (31 cm), s-a constatat o deviere a barei către poziţia marcată cu linie punctată, ca urmare a atracţiei sferelor de masă m1 de către sferele de masă m_2. \! Deviaţia barei a putut fi măsurată cu ajutorul unghiului de deviere a unui fascicul luminos provenit de la o sursă de lumină, reflectat de oglinda O si proiectat apoi pe un ecran.[1] Etalonand firul din cuarţ astfel incat să se cunoască valoarea forţei ce produce torsiunea firului pentru un unghi de deviaţie dat, s-a putut calcula valoarea forţei de interacţiune dintre corpuri si astfel valoarea constantei gravitaţionale. Experimentul lui Cavendish a fost primul care a permis o evaluare numerică a constantei \gamma \! si de asemenea, a masei Pamantului. Valoarea acceptata in prezent pentru \gamma \! este:

\gamma = 6,67 \times 10^{-11} \frac {Nm^2}{kg}. \!

Note Edit

  1. După cum este cunoscut din cursul elementar de fizică, dacă o oglindă plană se roteste cu un anume unghi,  \alpha. \! faţă de direcţia (fixă) a fascicolului incident, fascicolul reflectat se roteste cu un unghi 2 \alpha. \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki