FANDOM


Determinarea constantei elastice a unui resort Edit

Deformarea unui resort

Deformarea unui resort

Fie un resort de masa neglijabila, lungime $ l_0 \! $ si constanta elastica k, suspendat de capatul sau superior. La capatul inferior este atarnat un corp de masa M. Resortul se alungeste cu $ \Delta l = l-l_0 $ sub actiunea greutatii $ M·g \! $ a corpului. Forta elastica $ –k \cdot \Delta l \! $ si greutatea mentin sistemul corp-resort in echilibru:

$ M·g = k \cdot \Delta l \! $ (1)

de unde putem afla constanta elastica k a resortului:

$ k = \frac {M \cdot g}{\Delta l} \! $ (2)

Relatia (2) permite calcularea constantei elastice k a resortului, prin metoda statica. Masa M a corpului se afla prin cantarire, D l se masoara cu rigla, iar g@ 9,81 m/s2.


Daca o forta deformatoare, Fd, scoate sistemul din pozitia de echilibru, alungind resortul cu x0 si apoi lasandu-l liber, acesta va executa o miscare oscilatorie, de amplitudine x0. Ecuatia de miscare a sistemului este:

$ M \cdot a= –k \cdot x \! $ (3)

sau: d2x/dt2 +(k/M)·x =0 (4) Solutia ecuatiei (4) este: x(t) = x0·sin(w ·t+p /2) (5) cu w =(M/k)1/2 - pulsatia miscarii oscilatorii. Fiindca:

w =2·p /T (6)

rezulta: k = 4·p2·M/T2 (7) Aceasta reprezinta expresia constantei elastice a resortului, determinata prim metoda dinamica. Perioada T a miscarii oscilatorii se afla cronometrand durata "t" a "n" oscilatii complete (T= t/n).

Daca masa m a resortului nu este neglijabila, trebuie luata in considerare contributia ei la perioada oscilatiilor. Masa m a resortului este uniform distribuita de-a lungul lungimii sale l. Densitatea liniara de masa este m = m/l. Masa elementului de lungime dx, aflat la distanta x de punctul O de sustinere, se scrie:

dm = m ·dx = (m/l)·dx (8)

Presupunem o variatie liniara a vitezei de la v0=0 (capatul fix o este in repaus) pana la vmax=v (viteza capatului liber la trecerea prin pozitia de echilibru), cand x ia valori de la 0 la l. In consecinta, viteza elementului dx, aflat la distanta x de punctul de sustinere, va fi:

vx = v·x/l (9) Energia cinetica a elementului dm este: dEC = dmx ·vx2/2 = (m/l)·dx·(v·x/l)2/2 (10)

sau: dEC = dx·m·v2·x2/(2·l3) (11) Efectuand integrarea, se afla energia cinetica a intregului resort (de masa m si lungime l) cand extremitatea inferioara trece prin pozitia de echilibru:

EC = (m/3)·v2/2 (12)

Rezultatul (12) exprima contributia masei resortului la energia cinetica de oscilatie a intregului sistem corp-resort. Aceasta contributie este aceea a unui corp cu masa m/3, atarnat la capatul liber al resortului.

Considerand intregul sistem (fig.3) energia cinetica totala este:

WC = (M+m/3)·v2/2 (13)

Egaland expresia (13) cu energia potentiala maxima Wp=k·A2/2, se obtine pentru constanta elastica a resortului k, expresia:

k = (M+m/3)·4·p2/T2 (14)

In calculele de mai sus, a fost luata in considerare expresia v =w ·A pentru valoarea maxima a vitezei si w = 2·p /T. Relatia (14) permite aflarea constantei unui resort elastic prin metoda dinamica, daca se cunosc masa corpului "M", masa resortului "m" si se masoara durata "t" a "n" oscilatii, aflandu-se astfel perioada T= t/n.

Resurse Edit