Fandom

Math Wiki

Legea lui Hooke

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments8 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Determinarea constantei elastice a unui resort Edit

Deformarea unui resort.gif

Deformarea unui resort

Fie un resort de masa neglijabila, lungime l_0 \! si constanta elastica k, suspendat de capatul sau superior. La capatul inferior este atarnat un corp de masa M. Resortul se alungeste cu \Delta l = l-l_0 sub actiunea greutatii Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): M·g \!

a corpului. Forta elastica Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): –k \cdot \Delta l \!
si greutatea mentin sistemul corp-resort in echilibru:
Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): M·g = k \cdot \Delta l \!
(1)

de unde putem afla constanta elastica k a resortului:

k = \frac {M \cdot g}{\Delta l} \! (2)

Relatia (2) permite calcularea constantei elastice k a resortului, prin metoda statica. Masa M a corpului se afla prin cantarire, D l se masoara cu rigla, iar g@ 9,81 m/s2.


Daca o forta deformatoare, Fd, scoate sistemul din pozitia de echilibru, alungind resortul cu x0 si apoi lasandu-l liber, acesta va executa o miscare oscilatorie, de amplitudine x0. Ecuatia de miscare a sistemului este:

Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): M \cdot a= –k \cdot x \!
                            (3)

sau: d2x/dt2 +(k/M)·x =0 (4) Solutia ecuatiei (4) este: x(t) = x0·sin(w ·t+p /2) (5) cu w =(M/k)1/2 - pulsatia miscarii oscilatorii. Fiindca:

w =2·p /T (6)

rezulta: k = 4·p2·M/T2 (7) Aceasta reprezinta expresia constantei elastice a resortului, determinata prim metoda dinamica. Perioada T a miscarii oscilatorii se afla cronometrand durata "t" a "n" oscilatii complete (T= t/n).

Daca masa m a resortului nu este neglijabila, trebuie luata in considerare contributia ei la perioada oscilatiilor. Masa m a resortului este uniform distribuita de-a lungul lungimii sale l. Densitatea liniara de masa este m = m/l. Masa elementului de lungime dx, aflat la distanta x de punctul O de sustinere, se scrie:

dm = m ·dx = (m/l)·dx (8)

Presupunem o variatie liniara a vitezei de la v0=0 (capatul fix o este in repaus) pana la vmax=v (viteza capatului liber la trecerea prin pozitia de echilibru), cand x ia valori de la 0 la l. In consecinta, viteza elementului dx, aflat la distanta x de punctul de sustinere, va fi:

vx = v·x/l (9) Energia cinetica a elementului dm este: dEC = dmx ·vx2/2 = (m/l)·dx·(v·x/l)2/2 (10)

sau: dEC = dx·m·v2·x2/(2·l3) (11) Efectuand integrarea, se afla energia cinetica a intregului resort (de masa m si lungime l) cand extremitatea inferioara trece prin pozitia de echilibru:

EC = (m/3)·v2/2 (12)

Rezultatul (12) exprima contributia masei resortului la energia cinetica de oscilatie a intregului sistem corp-resort. Aceasta contributie este aceea a unui corp cu masa m/3, atarnat la capatul liber al resortului.

Considerand intregul sistem (fig.3) energia cinetica totala este:

WC = (M+m/3)·v2/2 (13)

Egaland expresia (13) cu energia potentiala maxima Wp=k·A2/2, se obtine pentru constanta elastica a resortului k, expresia:

k = (M+m/3)·4·p2/T2 (14)

In calculele de mai sus, a fost luata in considerare expresia v =w ·A pentru valoarea maxima a vitezei si w = 2·p /T. Relatia (14) permite aflarea constantei unui resort elastic prin metoda dinamica, daca se cunosc masa corpului "M", masa resortului "m" si se masoara durata "t" a "n" oscilatii, aflandu-se astfel perioada T= t/n.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki