FANDOM


Legea fluxului electric este o lege de stare, generală din cadrul teoriei clasice (Maxwell - Hertz) asupra electromagnetismului. Se exprimă în formele integrală şi diferenţială (locală).

Forma integrală Edit

Forma integrală a legii se referă la fluxul electric într-o suprafaţă închisă S situată într-un câmp electric (fig. 1) şi are enunţul:

Fluxul electric prin orice suprafaţă închisă $ \Sigma, \! $ aşezată în câmpul electromagnetic, având orice formă şi orice poziţie, în oricare moment este egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice adevărate ce aparţin corpurilor din interiorul supafeţei:

$ {\; }_{\underset{S}{\grave O}} \vec D d \vec s = Q \! $

unde $ Q = \sum_{k} Q_k. \! $   (1)


Sarcinile electrice din exteriorul suprafeţei închise nu modifică fluxul electric prin suprafaţa S. Dacă $ Q=0, \! $ atunci legea devine:

$ \int_{\Sigma} \vec D d \vec s =0. \! $   (2)
Legea fluxului electric, fig. 1

Fig. 1. Schiţă explicativă pentru legea fluxului electric.

Forma diferenţială (locală) Edit

Forma locală a acestei legi se poate obţine din forma integrală (1). În acest sens, admitem că volumul $ v_{\Sigma} \! $ delimitat de $ \Sigma \! $ este un domeniu de continuitate pentru câmpul de vectori $ \vec D, \! $ deci că nu există suprafeţe, linii sau puncte unde s-ar găsi sarcini electrice adevărate, care ar cauza discontinuităţi pentru $ \vec D. \! $ Într-un astfel de domeniu pot exista numai sarcini electrice volumetrice cu densitatea $ \rho_V, \! $ încât:

$ Q= {\; }_{\underset{S}{\grave O}} r_v dv \! $   (3)

În aceste condiţii se poate realiza transformarea de integrală de tip Gauss-Ostrogradski:

$ \int_{\Sigma} \vec D d \vec s = \int_{v_{\Sigma}} div \vec D d \vec v \! $   (4)

Înlocuind relaţiile (3) şi (4) în (1) şi renunţând la operaţia de inegrare, rezultă forma diferenţială (locală) a legii::

$ div \vec D = r_V \! $   (5)

cu următorul enunţ:

Divergenţa volumetrică a vectorului câmp $ \vec D, \! $ calculată în oricare punct al unui domeniu de continuitate, este egală cu densitatea volumetrică a sarcinii electrice adevărate din acel punct.


Dacă în domeniul de volum $ v_{\Sigma}, \! $ există suprafeţe încărcate cu sarcini electrice de densitate $ \rho_s \! $ (fig. 2), în puncte ale unei astfel de suprafeţe $ div \vec D = \infty \! $ şi, în consecinţă, se operează cu divergenţa superficială:

$ div_s \vec D = r_s \! $   (6)
Legea fluxului electric, fig. 2

Fig. 2. Suprafaţă încărcată cu sarcini electrice adevărate

Considerând că $ \vec D_1 \! $ şi $ \vec D_2 \! $ sunt inducţiile electrice în puncte foarte apropiate de o parte şi de alta a suprafeţei $ S_{12} \! $ (fig. 2), atunci:

$ div_s \vec D = \vec n_{12} \times (D_2- D_1) = - D_{1n} + D_{2n}, \! $   (7)

unde $ n_{12} \! $ este versorul normal la suprafaţă, iar $ D_{1n} = \vec n_{12} \vec D_1 \! $ şi $ D_{2n} = \vec n_{12} \vec D_2 \! $ sunt valorile componentelor normale la aceeaşi suprafaţă ale inducţiei electrice.

Rezultă:

$ D_{2n} - D_{1n} = r_s \! $   (8)

sau

$ \varepsilon_1 \left ( \frac{\partial V}{\partial n} \right )_1 - \varepsilon_2 \left ( \frac{\partial V}{\partial n} \right )_2= \rho_s \! $   (9)

unde:

$ \frac{\P V}{\P n} = E_n \! $   (10)

şi

$ D_n = e E_n. \! $   (11)


Aşadar, pentru $ \rho_s \neq 0, \! $ componentele inducţiei electrice, normale la suprafaţa $ S_{12}, \! $ sunt discontinui, $ D_{1n} {}^1 D_{2n} \! $ (nu se conservă), iar pentru $ \rho_s = 0 \! $ aceste componente sunt continui, $ D_{1n} = D_{2n} \! $ (se conservă).

Vezi şi Edit