Fandom

Math Wiki

Laplacian

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Laplacianul (notat \Delta \! sau \nabla^2 \!) este un operator diferențial liniar de ordinul doi, definit formal în spaţiul funcţiilor de clasă \mathcal C^2, \! prin produsul scalar al operatorului nabla cu el însuşi: \nabla \cdot \nabla = div \; grad, \! adică într-un sistem de referinţă cartezian:

\Delta = \frac {\partial^2}{\partial x^2} +  \frac {\partial^2}{\partial y^2} +  \frac {\partial^2}{\partial z^2}. \!


Este singurul operator diferențial de ordinul doi invariant la o transformare ortogonală de coordonate, adică, dacă de la sistemul (x, y, z) \! se trece la sistemul (X, Y, Z) \! printr-o transformare ortogonală, deci \varphi (x, y, z) = \Phi (X, Y, Z), \! atunci:

\frac {\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac {\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = \frac {\partial^2 \Phi}{\partial X^2} + \frac {\partial^2 \Phi}{\partial Y^2} + \frac {\partial^2 \Phi}{\partial Z^2}. \!

Expresia operatorului în diverse sisteme de coordonate Edit

Sistemul de coordonate
\nabla^2 f \!
Coordonate carteziene  \frac {\partial^2}{\partial x^2} +  \frac {\partial^2}{\partial y^2} +  \frac {\partial^2}{\partial z^2}. \!
Coordonate sferice \Delta f ( r , \theta , \varphi ) = \frac{1}{r^2} 
\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2  \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin \theta}  \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \, \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2\theta}  \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}\,.
Coordonate cilindrice \Delta f ( \rho , \varphi , z ) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}
\left( \rho\,\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) +
\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\,,

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki