FANDOM


Laplacianul (notat $ \Delta \! $ sau $ \nabla^2 \! $) este un operator diferențial liniar de ordinul doi, definit formal în spaţiul funcţiilor de clasă $ \mathcal C^2, \! $ prin produsul scalar al operatorului nabla cu el însuşi: $ \nabla \cdot \nabla = div \; grad, \! $ adică într-un sistem de referinţă cartezian:

$ \Delta = \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2}. \! $


Este singurul operator diferențial de ordinul doi invariant la o transformare ortogonală de coordonate, adică, dacă de la sistemul $ (x, y, z) \! $ se trece la sistemul $ (X, Y, Z) \! $ printr-o transformare ortogonală, deci $ \varphi (x, y, z) = \Phi (X, Y, Z), \! $ atunci:

$ \frac {\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac {\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = \frac {\partial^2 \Phi}{\partial X^2} + \frac {\partial^2 \Phi}{\partial Y^2} + \frac {\partial^2 \Phi}{\partial Z^2}. \! $

Expresia operatorului în diverse sisteme de coordonate Edit

Sistemul de coordonate
$ \nabla^2 f \! $
Coordonate carteziene $ \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2}. \! $
Coordonate sferice $ \Delta f ( r , \theta , \varphi ) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \, \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}\,. $
Coordonate cilindrice $ \Delta f ( \rho , \varphi , z ) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\,\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\,, $

Vezi şi Edit

Resurse Edit