Fandom

Math Wiki

Integrală eliptică

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Funcțiile eliptice au fost denumite astfel pentru că acest tip de funcții este legat cu integrala de determinare a perimetrului elipsei. Aceste funcții satisfac ecuațiile diferențiale neliniare de ordinul doi și au o multitudine de aplicații în fizică.

Vom examina integrala

\int R (x, \sqrt {P(x)})dx \!   (1)

unde R(x, y) \! este o funcție rațională de argument, iar P(x) \! - un polinom. Dacă P(x) \! este un polinom de ordinul doi, atunci integrala (1) se exprimă prin funcții elementare. În cazul când P(x) \! este o funcție de ordinul trei sau patru, integrala (1.1) se numește integrală eliptică și, în general, nu poate fi dată în formă finită. În cazurile excepționale, când integrala (1) poate fi exprimată prin funcții elementare, aceasta se numește integrală pseudoeliptică.

Proprietățile funcțiilor și integralelor eliptice sunt elucidate în lucrări de specialitate.

Menționăm că integralele eliptice care conțin polinoame de ordinul trei sau patru nu se deosebesc în mod principial, deoarece prin substituția variabilei de integrare se poate reduce un caz la celălalt.

Presupunem că P(x) este un polinom de ordinul trei. În acest caz integrala eliptică (1) se reduce la integralele de forma:

\int \frac{dx}{\sqrt {P(x)}} \!   (2)

- integrală eliptică de ordinul întâi

\int \frac{xdx}{\sqrt {P(x)}} \!   (3)

- integrală eliptică de ordinul doi

\int \frac{xdx}{(x-a) \sqrt {P(x)}} \!   (4)

- integrală eliptică de ordinul trei


În aplicațiile de mai departe se vor utiliza doar integralele eliptice de ordinul întâi. Pentru concretețe, vom considera că

P(x) = Ax^3 + Bx^2 +C^x + D, \!   (5)

unde A, B, C și D sunt coeficienți reali, iar

P(x) = x^3 + bx^2 + cx + d,	 \! (6)

unde A > 0, b = B/A, c = C/A, d = D/A.

Rădăcinile polinomului::

x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \!   (7)

sunt egale cu

x_1 = \overline A + \overline B - \frac b 3 , \!
x_2= -\frac{\overline A + \overline B}{2} + i \frac{\bar A - \bar B}{2} -\frac b 3, \!
x_3= - \frac {A+B}{2} - i (A-B) \frac {\sqrt 3}{2} - \frac b 3, \!   (8)
\overline A = \sqrt[3]{\frac q 2 + \sqrt Q}, \; \; \bar B = \sqrt[3]{- \frac q 2 - \sqrt Q}, \!
Q= (p/3)^3 + (q/2)^2 , \!
p=-b^2 /3 + c, \; \; q=2 (b/3)^3 - bc/3 + d. \!

Dacă ecuația cubică (1.7) este reală, atunci ea are fie o rădăcină reală și două rădăcini complex-conjugate, fie trei rădăcini reale dintre care cel puțin două sunt egale între ele, fie trei rădăcini reale diferite, în dependență de valoarea mărimii Q (Q este pozitiv, negativ sau egal cu zero). Vom examina cazul când Q<0 și (1.7) are trei rădăcini reale x_1, x_2 \! și x_3. \! Considerăm x_1< x_2<x_3. \! Introducem o nouă variabilă \Psi \! conform relației:

x = x_1 + (x_2 - x_1) \sin^2 \psi \!   (1.9)

În consecință, pentru polinomul (6) avem:

P(x) = (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3) = (x_3 - x_1) (x_2 - x_1)^2 (1 - k^2 \sin^2 \psi) \sin^2 \psi \cos^2 \psi, \!   (10)

unde k^2 = \frac{x_2 -x_1}{x_3 - x_1} \!   (11)

Din (11) se obține k > 0 cu valori cuprinse în intervalul [0, 1]. \!

Utilizând expresiile (1.9) - (1.10), integrala eliptică de ordinul întâi (1.2) poate fi reprezentată sub formă trigonometrică:

\int \frac {dx}{\sqrt {P(x)}} = \frac{2}{\sqrt {x_2-x_1}} \int \frac{d \psi}{1- k^2 \sin^2 \psi} \!   (12)

Astfel, cu precizia unei constante, integrala eliptică de ordinul întâi se reduce la integrala de forma:

\int \frac{d \psi}{\sqrt {1-k^2 \sin^2 \psi}} \!   (13)

Dacă limita inferioară a integralei (13) este egală cu zero, iar limita superioară este o variabilă, atunci expresia (13) este o integrală eliptică de ordinul întâi de forma Legendre:

F(k, \psi) = \int_0^P \frac{d \psi}{\sqrt {1-k^2 \sin^2 \psi}} \!   (14)

Integrala eliptică de ordinul doi, în reprezentarea trigonometrică, ia forma::

F(k, \psi) = \int_0^P {\sqrt {1-k^2 \sin^2 \psi}} d \psi \!   (15)

În cazul când limita superioară în expresiile (14) și (15) este egală cu \frac{\pi}{2}, \! integralele sunt funcții doar de variabila k și se numesc integrale eliptice complete de ordinul întâi și, respectiv, doi:

K(k) \equiv F(k, \frac{\pi}{2}) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{1-k^2 \sin^2 \psi} \!   (16)
E(k) \equiv E(k, \frac{\pi}{2}) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2 \psi} d \psi \!   (17)

Valorile integralelor (16) - (17) sunt date în tabele speciale.

De exemplu, integrala eliptică completă de ordinul întâi poate fi dată sub forma unui șir hipergeometric după k cu raza de convergență egală cu unitatea:

K(k)= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-^2 \sin^2 \psi}} = \!
= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left [ 1+ \sum_{n-1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2^n n!} k^{2n} \sin^{2n} \psi \right ] d \psi= \!
= \frac{\pi}{2} \left \{ 1 + \sum_{n-1}^{\infty}   \left [ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6  \cdots 2n}  \right ]^2 k^{2n} \right \}   (18)

Elliptic Functions and Integral 1.png Elliptic Functions and Integral 2.png Elliptic Functions and Integral 3.png Elliptic Functions and Integral 4.png Elliptic Functions and Integral 5.png Elliptic Functions and Integral 6.png Elliptic Functions and Integral 7.png Elliptic Functions and Integral 8.png Elliptic Functions and Integral 9.png Elliptic Functions and Integral 10.png Elliptic Functions and Integral 11.png Elliptic Functions and Integral 12.png

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki