Fandom

Math Wiki

Integrală cu parametru

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Integrala cu parametru 1.png Integrala cu parametru 2.png Integrala cu parametru 3.png Integrala cu parametru 4.png Integrala cu parametru 5.png Integrala cu parametru 6.png Integrala cu parametru 7.png Integrala cu parametru 8.png Integrala cu parametru 9.png Integrala cu parametru 10.png Integrala cu parametru 11.png Integrala cu parametru 12.png Integrala cu parametru 13.png Integrala cu parametru 14.png Integrala cu parametru 15.png Integrala cu parametru 16.png Integrala cu parametru 17.png Integrala cu parametru 18.png Integrala cu parametru 19.png Integrala cu parametru 20.png Integrala cu parametru 21.png Integrala cu parametru 22.png


Integrale cu parametru pe interval compact Edit

Definiţie Considerăm f: [a, b] \times [c, d] \rightarrow \mathbb R, \; \forall t \in [c, d], \! funcţia x \rightarrow f (x, t) : [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este integrabilă atunci \mathbf I: [c, d] \rightarrow \mathbb R, \; \mathbf I(t) = \int_a^b f(x, t) dx \! se numeşte integrală cu parametru.

Un caz mai general este reprezentat de f: [a, b] \times [c, d] \rightarrow \mathbb R, \; \alpha, \beta : [c,d] \rightarrow [a, b], \; \mathbf I(t) = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} f(x)dx. \!


Teorema de continuitate. Dacă f: [a, b] \times [c, d] \rightarrow \mathbb R, \; \alpha, \beta: [c ,d] \rightarrow [a, b] \! sunt funcţie continue, atunci \mathbf I \! este continuă.


Teorema de derivabilitate. Dacă f şi \frac{\partial}{\partial t} \! continue iar \alpha \! şi \beta \! sunt derivabile, atunci \mathbf I \! derivabilă şi:

\mathbf I' (t) = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial f}{\partial t} (x, t)dx + \beta' (t) \cdot f(\beta(t), t) - \alpha'(t) \cdot f(\alpha(t), t). \!


Teorema de integrare. Dacă f este continuă, atunci:

\int_c^d \left ( \int_a^b f(x, t) dt \right ) dx = \int_a^b \left ( \int_c^d f(x, t) dt \right ) dx \!

Integrale cu parametru pe interval necompact (improprii, generalizate) Edit

Fie f: [a, b] \times [c, d] \rightarrow \mathbb R, \! b finit sau infinit.

Definiţie \mathbf I: [c, d] \rightarrow \mathbb R, \; \mathbf I(t) = \int_a^b f(x, t) dx \! se numeşte uniform convergentă dacă:

\forall \varepsilon >0, \; \exists \delta_{\varepsilon}, \; a< \delta_{\varepsilon} < b, \; \left | \int_a^b f(x, t) dx \right | < \varepsilon, \forall u, v: \delta_{\varepsilon} <u<v<b, \forall t \in [c, d]. \!


Teoremă (criteriul de dominare uniformă). Dacă |f(x, t)| \le \varphi(x), \forall x \in [a, b], \forall t \in [c, d] \! şi \int_a^b \varphi(x)dx \! convergentă, atunci \int_a^b f(x, t) dx \! este uniform şi absolut convergentă.


Teoremă (Dirichlet). Dacă f este continuă, F(u) = \int_a^b f(x)dx \! mărginită şi x \rightarrow g(x, t) \! derivabilă şi crescătoare pentru orice t, iar \lim_{x \to b} g(x, t) = 0 \! uniform în raport cu t, atunci \int_a^b f(x) g(x, t)dx \! este uniform convergentă.

Observaţie: Ipoteza de derivabilitate a lui g poate fi eliminată folosind forma slăbită a teoremei de medie.


Teorema de continuitate. Dacă  f: [a, b] \times [c,d] \rightarrow \mathbb R \! este continuă şi \int_a^b f(x, t) dx \! este uniform convergentă, atunci \mathbf I: [c, d] \rightarrow \mathbb R, \; \mathbf I(t) = \int_a^b f(x, t) dx \! este continuă.


Teorema de derivabilitate. Dacă f, \; \frac{\partial f}{\partial t}: [a, b) \times [c, d] \rightarrow \mathbb R \! sunt continue, \int_a^b f(x, t) dx \! converge şi \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x, t)dx \! converge uniform, atunci există \mathbf I' (t) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x, t)dx. \!


Teorema de integrare. Dacă  f: [a, b] \times [c,d] \rightarrow \mathbb R \! este continuă şi \int_a^b f(x, t) dx \! este uniform convergentă, atunci:

\int_c^d \left ( \int_a^b f(x, t) dt \right ) dx = \int_a^b \left ( \int_c^d f(x, t) dt \right ) dx \!

Observaţie. Rezultatele rămân adevărate şi în cazul intervalului nemărginit t \in [c, \infty). \!

Diferenţiala unei integrale parametrice Edit

Considerăm următoarea integrală:

\int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx \!

Efectuăm integrarea prin părţi de n ori. De exemplu, pentru n=2 \!:

=\left. -x^2 e^{-x} \right |_0^{\infty} + \int_0^{\infty} 2x e^{-x} dx =\left. 0- 2xe^{-x} \right |_0^{\infty} + \int_0^{\infty} 2x e^{-x} dx = \left. 0- 2e^{-x} \right |_0^{\infty} =2 . \!


Acum să încercăm o altă metodă. Considerăm integrala:

\int_0^{\infty} e^{-\alpha x} dx \!

integrală cu parametrul \alpha. \! Avem:

\int_0^{\infty} e^{-\alpha x} dx = \left. \frac {1}{-\alpha} e^{-\alpha x} \right |_0^{\infty} = \frac{1}{\alpha}. \!

Diferenţiala după \alpha \! este:

\frac{d}{d \alpha} \int_0^{\infty} e^{-\alpha x} dx = \frac{d}{d \alpha} \frac{1}{\alpha} \!

sau

- \int_0^{\infty} xe^{-\alpha x}dx = \frac{-1}{\alpha^2} \!

Apoi succesiv:

+ \int_0^{\infty} x^2e^{-\alpha x}dx = \frac{+2}{\alpha^3}, \!
- \int_0^{\infty} x^3e^{-\alpha x}dx = \frac{-2 \cdot 3}{\alpha^4}. \!

Derivata de ordinul n este:

\pm \int_0^{\infty} x^n e^{-\alpha x}dx = \frac{\pm n!}{\alpha^{n+1}}. \!


Pentru \alpha =1 \! integrala devine n!. \!


Exemple Edit

1. \mathbf I(t) = \int_t^{t^2} \frac{x}{1+x^2 t^2} dx, \; \mathbf I: [0, 1] \rightarrow [0, 1] \! este continuă.


2. \mathbf I(t) = \int_t^{t^2} tx dx, \; \mathbf I: [0, 1] \rightarrow [0, 1] \! este derivabilă. Calculul derivatei:

  • direct: \mathbf I(t) = \int_t^{t^2} tx dx = t (\frac {t^4}{2} - \frac{t^2}{2}) = \frac {t^5}{2} - \frac{t^3}{2}, \; \mathbf I'(t) = \frac {5t^4}{2} - \frac{3t^2}{2}. \!
  • prin formula \mathbf I'(t) = \int_t^{t^2} xdx + 2t \cdot t \cdot t^2 - 1 \cdot t \cdot t = \frac{t^4}{4} - \frac{t^2}{2} + 2t^4 - t^2 = \frac {5t^4}{2} - \frac{3t^2}{2}. \!


3. Calculăm direct şi prin schimbarea ordinii de integrare \int_0^1 \left ( \int_2^3 txdx \right ) dt = \int_0^1 \left ( t \frac {x^2}{2} |^3_2  \right ) dt = \frac 5 2 \int_0^1 t dt = \frac 5 4 \! şi \int_3^2 \left ( \int_0^1 txdt \right ) dx = \int_3^2 \left ( x \frac{t^2}{2} |^1_0 \right ) dx = \frac 1 2 \int_2^3 xdx = \frac 1 2 (\frac 9 4 - \frac 4 4) = \frac 5 4. \!


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki