FANDOM


Integrarea funcţiilor simple Edit

Fie $ (X, \mathcal A, \mu) \! $ - un spaţiu cu măsură finită, $ f : X \rightarrow \mathbb R \! $ - o funcție simplă, adică:

$ f(x) = \sum_{j=1}^n c_j 1_{A_j} (x), \! $

unde

$ A_j = \{ x \in X \; | \; f(x) = c_j \}, \; \; A_i \cap A_j = \varnothing , \; i \neq j , \; \; A_j \in \mathcal A, \; j = \overline{1, n}, \; \; \bigsqcup_{j=1}^n A_j = X. \! $


Definiţia 1. Vom numi integrală Lebesgue de la funcţia simplă f pe spaţiul X (notaţie: $ \int_X f(x) d \mu (x) \! $ sau $ \int_X f d\mu \! $ ) suma:

$ \int_X fd\mu = \sum_{j=1}^n c_j \mu (A_j). \! $


Observaţie. Fie $ A \subset X \! $ - mulţime numărabilă, f - funcţie simplă măsurabilă, Atunci $ f(x) \cdot I_{\Delta} (x) \! $ - funcţie simplă, măsurabilă. Prin definiţie:

$ \int_A f(x) d \mu (x) = \int_A fd \mu \overset{def}{=} \int_A f \cdot I_A d \mu. \! $


Exemplu. a) Fie $ A \subset X, \; A \in \mathcal A \! $ şi $ I_A(x) \! $ - funcţia caracteristică a mulţimii A. Atunci:

$ \int_X I_A (x) d \mu (x) = \mu (A). \! $


b) Fie $ X= [a, b], \; \mathcal A \; - \; \sigma \! $ algebra mulţimilor măsurabile în sens Lebesgue, $ \mu = m \! $ este măsura Lebesgue, $ \left. D \right |_{(0, 1)} (x) dm(x) = 1 \cdot m (\{ \mathbb Q \cap [0, 1] \}) + 0 \cdot m (\{ [0, 1] \setminus \mathbb Q \}) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0. \! $

Proprietăţile integralei Lebesgue Edit

Fie $ (X, \mathcal A, \mu) \! $ - spaţiu cu măsura finită.


Teorema 1. (linearitatea integralei) Fie $ f, g \! $ - funcţii simple măsurabile, $ \{ \alpha, \beta \} \subset \mathbb R. \! $ Atunci:

$ \int_X (\alpha f + \beta g) d \mu = \alpha \int_X f \; d \mu + \beta \int_X g \; d \mu. \! $


Demonstraţie. Fie:

$ f(x) = \sum_{j=1}^n c_j \cdot I_{A_j} (x) , \; \; A_i \cap A_j = \varnothing, \ i \neq j , \; \bigsqcup_{j=1}^n A_j = X, \! $
$ g(x) = \sum_{i=1}^n b_i \cdot I_{B_i} (x) , \; \; B_i \cap B_k = \varnothing, \ i \neq k , \; \bigsqcup_{i=1}^n B_i = X. \! $

Cum funcţia $ \alpha f + \beta g \! $ primeşte valoarea $ \alpha c_j + \beta b_k \! $ pe mulţimea $ C_{ji} = A_j \cap B_i, \! $ avem:

$ \alpha f(x) + \beta g(x) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k (\alpha c_j + \beta b_i) \cdot I_{C_{ji}} (x), \! $

unde $ \bigsqcup_{j, k} C_{jk} = X, \! $ şi mulţimile $ C_{jk} \! $ sunt disjuncte. Conform definiţiei integralei şi aditivităţii măsurii, se obţine:

$ \int_X (\alpha f + \beta g) d \mu = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k (\alpha c_j + \beta b_k) \mu (A_j \cap B_i) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k \alpha c_j \mu (A_j \cap B_i) + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k \beta b_i \mu (A_j \cap B_i) = \! $
$ = \alpha \sum_{j=1}^n c_j \sum_{i=1}^k \mu (A_j \cap B_i) + \beta \sum_{i=1}^k b_i \sum_{j=1}^n \mu (A_j \cap B_i) = \alpha \sum_{j=1}^n c_j \mu (A_j) + \beta \sum_{i=1}^k b_i \mu (B_i) = \! $
$ = \alpha \int_X f \; d \mu + \beta \int_X g \;d \mu. \! $


Teorema 2. (nenegativitatea integralei) Fie f - funcţie simplă, măsurabilă şi $ f \ge 0 (mod \mu). \! $ Atunci: $ \int_X f d \mu \ge 0. \! $


Demonstraţie. $ f \ge 0 (mod \mu) \! $ înseamnă că dacă $ c_j <0 \! $ pentru un j, atunci $ \mu(A_j) = \mu ( \{x \in X \; | \; f =c_j \}) =0, \! $ prin urmare:

$ \int_X f d \mu \ge 0. \! $


Teorema 3. (monotonia integralei) Fie f, g - funcţii simple, măsurabile şi $ f \ge g (mod \mu). \! $ Atunci $ \int_X f d\mu \ge \int_X g d \mu. \! $


Demonstraţie. Se consideră funcţia simplă măsurabilă $ h = f-g \! $ şi se aplică teorema 2.


Teorema 4. Fie f - funcţie simplă măsurabilă şi $ a \le f(x) \le b(mod \mu). \! $ Atunci:

$ a \mu (X) \le \int_X f d \mu \le b \mu (X). \! $


Demonstraţie. Rezultă din teorema 3.


Teorema 5.(referitor la integrala de la o funcţie echivalentă cu zero). Dacă f este funcţie simplă măsurabilă şi $ f=0 (mod \mu), \! $ atunci $ \int_X f d\mu =0. \! $


Demonstraţie. Rezultă nemijlocit din definiţia 1. În adevăr, dacă toţi coeficienţii $ c_j \! $ sunt nuli, atunci f este identic nulă, iar dacă $ c_j \neq 0 \! $ pentru un anume j, atunci $ \mu(A_J) = \mu (\{ x \in X \; | \; f=c_j \})=0 \! $ şi

$ \int_X f d \mu = \sum_{j=1}^n c_j \mu(A_j)=0. \! $


Teorema 6. Dacă f, g sunt două funcţii măsurabile şi $ f=g (mod \mu), \! $ atunci $ \int_X f d\mu = \int_X gd \mu. \! $

Demonstraţie. Se consideră funcţia simplă măsurabilă $ h=f-g \; (mod \; \mu) \! $ şi se aplică teorema 5.


Teorema 7. Dacă f este o funcţie simplă măsurabilă, atunci:

$ \left | \int_X f d \mu \right | \le \int_X |f| d \mu. \! $


Demonstraţie. Dacă f este funcţie simplă măsurabilă atunci şi $ |f| \! $ este simplă măsurabilă şi $ \forall x \in X: \! $

$ -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|. \! $

Conform proprietăţii de monotonie a integralei:

$ - \int_X |f| d \mu \le \int_X f d \mu \le \int_X |f| d \mu \! $

sau, echivalent,

$ \left | \int_X f d \mu \right | \le \int_X |f| d \mu. \! $



Fie f o funcţie simplă măsurabilă fixată, $ \nu: \mathcal A \rightarrow \mathbb R \! $ o funcţie numerică definită prin:

$ \nu(A) = \int_A f d \mu \; \; A \in \mathcal A. \! $


Teorema 8. Funcţia de mulţimi $ \nu \! $ este măsură cu semn.


Demonstraţie. Este clar că $ \nu(\varnothing) =0. \! $ Verificăm $ \sigma- $aditivitatea funcţiei $ \nu. \! $ Fie $ A = \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j \; \; A_j \in \mathcal A \; \; A_i \cap A_j = \varnothing, \; \; i \neq j, \! $

$ f(x) = \sum_{j=1}^n c_j \cdot I_{B_j}(x), \; \; B_i \cap B_j = \varnothing, \; \; i \neq j, \; \; X = \bigcup_{j=1}^n B_j. \! $

Utilizând definiţia integralei şi $ \sigma $- aditivitatea măsurii $ \mu, \! $ se obţine:

$ \nu(A)= \int_A fd\mu = \int_X f \cdot I_A d \mu = \sum_{j=1}^n c_j \mu (B_j \cap A) = \sum_{j=1}^n c_j \mu \left ( B_j \cap \bigcup_i A_i \right ) = \! $
$ = \sum_{j=1}^n c_j \mu \left ( \bigcup_i (B_j \cap A) \right ) = \sum_{j=1}^n c_j \sum_i \mu (B_j \cap A) = \sum_i \sum_{j=1}^n c_j \mu (B_j \cap A) = \! $
$ = \sum_i \int_{A_i} f d \mu = \sum_i \nu(A). \! $


Definiţia 2. Vom spune că funcţia de mulţimi $ \lambda : \mathcal A \rightarrow \mathbb R \! $ se numeşte absolut continuă în raport cu măsura $ \mu, \! $ dacă pentru orice $ \varepsilon > 0 \! $ există un număr pozitiv $ \delta, \! $ astfel încât pentru orice $ E \in \mathcal A \! $ cu $ \mu (E) < \delta \! $ se verifică $ |\lambda(E)| < \varepsilon. \! $


Teorema 9. (continuitatea absolută a integralei) Măsura cu semn $ \nu \! $ este o funcţie absolut continuă în raport cu măsura $ \mu. \! $

Demonstraţie. Fie f funcţie simplă măsurabilă şi $ c= \sup_{x \in X} |f(x)|. \! $ Dacă $ c=0, \! $ teorema este clară. Fie $ c>0. \! $ Pentru orice $ \varepsilon >0 \! $ punem $ \delta = \frac{\varepsilon}{c}. \! $ Atunci, pentru $ \mu (E) < \delta \! $ avem:

$ |\nu(E)| = \left | \int_E f d \mu \right | \le \int_E |f| d \mu \le c \cdot \mu(E) < c \cdot \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon. \! $

Integrala Lebesgue de la funcţii mărginite Edit

Fie $ (X, \mathcal A, \mu) \! $ un spaţiu cu măsură finită, $ f : X \rightarrow \mathbb R \! $ o funcţie măsurabilă mărginită pe X. Atunci (a se vedea teorema ???) există un șir de funcţii simple măsurabile $ (f_n)_{n \in \mathbb N} \! $ uniform convergent la f pe X. Vom considera şirul integralelor respective $ I_n = \int_X f_n d \mu \! $ şi vom arăta că şirul $ (I_n) \! $ este fundamental. Într-adevăr, cum $ \overset {\rightarrow}{\rightarrow} f \! $ pe X, avem:

$ \forall \varepsilon >0 \; \exists n_0 \in \mathbb N \; \; \forall m, n > n_0, \; \; \forall x \in X \! $ avem:
$ |f_m(x)-f_n(x)| < \frac{\varepsilon}{\mu(X)}. \! $

Integrala Lebesgue 5 Integrala Lebesgue 6 Integrala Lebesgue 7 Integrala Lebesgue 8 Integrala Lebesgue 9 Integrala Lebesgue 10 Integrala Lebesgue 11 Integrala Lebesgue 12 Integrala Lebesgue 13 Integrala Lebesgue 14

Vezi şi Edit


Resurse Edit