Fandom

Math Wiki

Integrală Lebesgue

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Integrarea funcţiilor simple Edit

Fie (X, \mathcal A, \mu) \! - un spaţiu cu măsură finită, f : X \rightarrow \mathbb R \! - o funcție simplă, adică:

f(x) = \sum_{j=1}^n c_j 1_{A_j} (x), \!

unde

A_j = \{ x \in X \; | \; f(x) = c_j \}, \; \; A_i \cap A_j = \varnothing , \; i \neq j , \; \; A_j \in \mathcal A, \; j = \overline{1, n}, \; \; \bigsqcup_{j=1}^n A_j = X. \!


Definiţia 1. Vom numi integrală Lebesgue de la funcţia simplă f pe spaţiul X (notaţie: \int_X f(x) d \mu (x) \! sau \int_X f d\mu \! ) suma:

\int_X fd\mu = \sum_{j=1}^n c_j \mu (A_j). \!


Observaţie. Fie A \subset X \! - mulţime numărabilă, f - funcţie simplă măsurabilă, Atunci f(x) \cdot I_{\Delta} (x) \! - funcţie simplă, măsurabilă. Prin definiţie:

\int_A f(x) d \mu (x) = \int_A fd \mu \overset{def}{=} \int_A f \cdot I_A d \mu. \!


Exemplu. a) Fie A \subset X, \; A \in \mathcal A \! şi I_A(x) \! - funcţia caracteristică a mulţimii A. Atunci:

\int_X I_A (x) d \mu (x) = \mu (A). \!


b) Fie X= [a, b], \; \mathcal A \; - \; \sigma \! algebra mulţimilor măsurabile în sens Lebesgue, \mu = m \! este măsura Lebesgue, \left. D \right |_{(0, 1)} (x) dm(x) = 1 \cdot m (\{ \mathbb Q \cap [0, 1]  \}) + 0 \cdot m (\{ [0, 1] \setminus \mathbb Q  \}) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0. \!

Proprietăţile integralei Lebesgue Edit

Fie (X, \mathcal A, \mu) \! - spaţiu cu măsura finită.


Teorema 1. (linearitatea integralei) Fie f, g \! - funcţii simple măsurabile, \{ \alpha, \beta \} \subset \mathbb R. \! Atunci:

\int_X (\alpha f + \beta g) d \mu = \alpha \int_X f \; d \mu + \beta \int_X g \; d \mu. \!


Demonstraţie. Fie:

f(x) = \sum_{j=1}^n c_j \cdot I_{A_j} (x) , \; \; A_i \cap A_j = \varnothing, \ i \neq j , \; \bigsqcup_{j=1}^n A_j = X, \!
g(x) = \sum_{i=1}^n b_i \cdot I_{B_i} (x) , \; \; B_i \cap B_k = \varnothing, \ i \neq k , \; \bigsqcup_{i=1}^n B_i = X. \!

Cum funcţia \alpha f + \beta g \! primeşte valoarea \alpha c_j + \beta b_k \! pe mulţimea C_{ji} = A_j \cap B_i, \! avem:

\alpha f(x) + \beta g(x) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k (\alpha c_j + \beta b_i) \cdot I_{C_{ji}} (x), \!

unde \bigsqcup_{j, k} C_{jk} = X, \! şi mulţimile C_{jk} \! sunt disjuncte. Conform definiţiei integralei şi aditivităţii măsurii, se obţine:

\int_X (\alpha f + \beta g) d \mu = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k (\alpha c_j + \beta b_k) \mu (A_j \cap B_i) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k \alpha c_j \mu (A_j \cap B_i) + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k \beta b_i \mu (A_j \cap B_i) =  \!
= \alpha \sum_{j=1}^n c_j \sum_{i=1}^k \mu (A_j \cap B_i) + \beta \sum_{i=1}^k b_i \sum_{j=1}^n \mu  (A_j \cap B_i) = \alpha \sum_{j=1}^n c_j \mu (A_j) + \beta \sum_{i=1}^k b_i \mu (B_i) =  \!
= \alpha \int_X f \; d \mu + \beta \int_X g \;d \mu. \!


Teorema 2. (nenegativitatea integralei) Fie f - funcţie simplă, măsurabilă şi f \ge 0 (mod \mu). \! Atunci: \int_X f d \mu \ge 0. \!


Demonstraţie. f \ge 0 (mod \mu) \! înseamnă că dacă c_j <0 \! pentru un j, atunci \mu(A_j) = \mu ( \{x \in X \; | \; f =c_j  \}) =0, \! prin urmare:

\int_X f d \mu \ge 0. \!


Teorema 3. (monotonia integralei) Fie f, g - funcţii simple, măsurabile şi f \ge g (mod \mu). \! Atunci \int_X f   d\mu \ge \int_X g  d \mu. \!


Demonstraţie. Se consideră funcţia simplă măsurabilă h = f-g \! şi se aplică teorema 2.


Teorema 4. Fie f - funcţie simplă măsurabilă şi a \le f(x) \le b(mod \mu). \! Atunci:

a \mu (X) \le \int_X f d \mu \le b \mu (X). \!


Demonstraţie. Rezultă din teorema 3.


Teorema 5.(referitor la integrala de la o funcţie echivalentă cu zero). Dacă f este funcţie simplă măsurabilă şi f=0 (mod \mu), \! atunci \int_X f d\mu =0. \!


Demonstraţie. Rezultă nemijlocit din definiţia 1. În adevăr, dacă toţi coeficienţii c_j \! sunt nuli, atunci f este identic nulă, iar dacă c_j \neq 0 \! pentru un anume j, atunci \mu(A_J) = \mu (\{ x \in X \; | \; f=c_j \})=0 \! şi

\int_X f d \mu = \sum_{j=1}^n c_j \mu(A_j)=0. \!


Teorema 6. Dacă f, g sunt două funcţii măsurabile şi f=g (mod \mu), \! atunci \int_X f d\mu = \int_X gd \mu. \!

Demonstraţie. Se consideră funcţia simplă măsurabilă h=f-g \; (mod \; \mu) \! şi se aplică teorema 5.


Teorema 7. Dacă f este o funcţie simplă măsurabilă, atunci:

\left | \int_X f d \mu  \right | \le \int_X |f| d \mu. \!


Demonstraţie. Dacă f este funcţie simplă măsurabilă atunci şi |f| \! este simplă măsurabilă şi \forall x \in X: \!

-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|. \!

Conform proprietăţii de monotonie a integralei:

- \int_X |f| d \mu \le \int_X f d \mu \le \int_X |f| d \mu \!

sau, echivalent,

\left | \int_X f d \mu \right | \le \int_X |f| d \mu. \!



Fie f o funcţie simplă măsurabilă fixată, \nu: \mathcal A \rightarrow \mathbb R \! o funcţie numerică definită prin:

\nu(A) = \int_A f d \mu \; \; A \in \mathcal A. \!


Teorema 8. Funcţia de mulţimi \nu \! este măsură cu semn.


Demonstraţie. Este clar că \nu(\varnothing) =0. \! Verificăm \sigma-aditivitatea funcţiei \nu. \! Fie A = \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j \; \; A_j \in \mathcal A \; \; A_i \cap A_j = \varnothing, \; \; i \neq j, \!

f(x) = \sum_{j=1}^n c_j \cdot I_{B_j}(x), \; \; B_i \cap B_j = \varnothing, \; \; i \neq j, \; \; X = \bigcup_{j=1}^n B_j. \!

Utilizând definiţia integralei şi \sigma- aditivitatea măsurii \mu, \! se obţine:

\nu(A)= \int_A fd\mu = \int_X f \cdot I_A d \mu = \sum_{j=1}^n c_j \mu (B_j \cap A) = \sum_{j=1}^n c_j \mu \left ( B_j \cap \bigcup_i A_i \right ) = \!
= \sum_{j=1}^n c_j \mu \left ( \bigcup_i (B_j \cap A) \right ) = \sum_{j=1}^n c_j \sum_i \mu (B_j \cap A) = \sum_i \sum_{j=1}^n c_j \mu (B_j \cap A) =  \!
= \sum_i \int_{A_i} f d \mu = \sum_i \nu(A). \!


Definiţia 2. Vom spune că funcţia de mulţimi \lambda : \mathcal A \rightarrow \mathbb R \! se numeşte absolut continuă în raport cu măsura \mu, \! dacă pentru orice \varepsilon > 0 \! există un număr pozitiv \delta, \! astfel încât pentru orice E \in \mathcal A \! cu \mu (E) < \delta \! se verifică |\lambda(E)| < \varepsilon. \!


Teorema 9. (continuitatea absolută a integralei) Măsura cu semn \nu \! este o funcţie absolut continuă în raport cu măsura \mu. \!

Demonstraţie. Fie f funcţie simplă măsurabilă şi c= \sup_{x \in X} |f(x)|. \! Dacă c=0, \! teorema este clară. Fie c>0. \! Pentru orice \varepsilon >0 \! punem \delta = \frac{\varepsilon}{c}. \! Atunci, pentru \mu (E) < \delta \! avem:

|\nu(E)| = \left | \int_E f d \mu \right | \le \int_E |f| d \mu \le c \cdot \mu(E) < c \cdot \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon. \!

Integrala Lebesgue de la funcţii mărginite Edit

Fie (X, \mathcal A, \mu) \! un spaţiu cu măsură finită, f : X \rightarrow \mathbb R \! o funcţie măsurabilă mărginită pe X. Atunci (a se vedea teorema ???) există un șir de funcţii simple măsurabile (f_n)_{n \in \mathbb N} \! uniform convergent la f pe X. Vom considera şirul integralelor respective I_n = \int_X f_n d \mu \! şi vom arăta că şirul (I_n) \! este fundamental. Într-adevăr, cum \overset {\rightarrow}{\rightarrow} f \! pe X, avem:

\forall \varepsilon >0 \; \exists n_0 \in \mathbb N \; \; \forall m, n > n_0, \; \; \forall x \in X \! avem:
|f_m(x)-f_n(x)| < \frac{\varepsilon}{\mu(X)}. \!

Integrala Lebesgue 5.png Integrala Lebesgue 6.png Integrala Lebesgue 7.png Integrala Lebesgue 8.png Integrala Lebesgue 9.png Integrala Lebesgue 10.png Integrala Lebesgue 11.png Integrala Lebesgue 12.png Integrala Lebesgue 13.png Integrala Lebesgue 14.png

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki