FANDOM


În alte limbi
* English

Prima metodă de schimbare de variabilă Edit

Fie I, J două intervale din $ \mathbb R \! $ şi

$ I \overset {\varphi}{\longrightarrow} J \overset {f}{\longrightarrow} \mathbb R, $

cu proprietăţile:

a) $ \varphi \! $ - derivabilă pe I.

b) f admite primitive; F este o primitivă a sa;

Atunci $ (f \circ \varphi) \cdot \varphi' \! $ admite primitive pe I şi $ F \circ \varphi $ este o primitivă a lui $ (f \circ \varphi ) \cdot \varphi' $

$ \int f(\varphi (x)) \cdot \varphi' (x) dx = F(\varphi (x)) + \mathcal C. \! $

A doua metodă de schimbare de variabilă Edit

Fie I, J două intervale din $ \mathbb R \! $ şi

$ I \overset {\varphi}{\longrightarrow} J \overset {f}{\longrightarrow} \mathbb R, $

cu proprietăţile:

a) $ \varphi \! $ bijectivă, derivabilă, cu derivata nenulă pe I.

b) funcţia $ h= (f \circ \varphi) \cdot \varphi' \! $ admite primitiva H $ \Rightarrow \! $ f admite primitive şi funcţia $ H \circ \varphi^{-1} \! $ - este o primitivă a lui f.

$ \int f(x) dx = (H \circ \varphi^{-1}) (x) + \mathcal C. $

Formule Edit

Puterea lui t Edit

$ \int x^n = \frac {x^{n+1}}{n+1} + \mathcal C \; (n \neq -1) \! $

Demonstraţia 1: Avem $ \frac {d}{dx} x^m = mx^{m-1} .\! $

De aici, $ \int mx^{m-1} = x^m + \mathcal C \! $

Luăm $ m=n+1. \! $


Demonstraţia 2: (Metoda lui Fermat)

Metoda lui Fermat

Se ştie că

$ 1+r+r^2 + \cdots + r^n = \frac {1-r^{n+1}}{1-r} \! $

şi

$ 1+r + r^2 + \cdots = \frac {1}{1-r} \! $ pentru $ r<1 \! $

$ \int_0^b x^n dx \! $ este suma infinită a ariilor corespunzătoare unor intervale infinitezimale, intervale care devin tot mai mici când ne apropiem descrescător către zero.

Astfel, ţinând cont că $ r \searrow 0, \! $

$ \int_0^b x^n dx = f(b) \cdot (b-br) + f(br) \cdot (br-br^2) + f(br^2) \cdot (br^2-br^3) + \cdots = \! $
$ = b^{n+1} (1-r) [ 1+ r^{n+1} + (r^{n+1})^2 + \cdots ] = \! $
$ = b^{n+1} (1-r) [\frac {1}{1-r^{n+1}}] = \frac{b^{n+1}}{1+r + r^2 + \cdots + r^n} = \frac {b^{n+1}}{n+1}. \! $

QED.

Funcţia exponenţială şi cea logaritmică Edit

$ \int e^xdx = e^x + \mathcal C \! $

Demonstraţie: Se aplică relaţia $ \frac {d}{dx} e^x = e^x \! $

Aplicaţii Edit

Considerăm funcţia $ f: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow \mathbb R^2 $

$ f(x, y)= \begin{cases} \frac {x^2 y}{x^4 + y^2}, \; dac \breve{a} \; (x, y) \neq (0, 0) \\ \\ 0 , \; dac \breve{a} \; (x, y)= (0, 0) \end{cases} $

Această funcţie nu este integrabilă deoarece are un punct discontinuitate.


Considerăm funcţia $ f: [-1, 1] \times [-1, 1] \rightarrow \mathbb R, $

$ f(x, y)= \begin{cases} \frac {2xy}{(x^2 + y^2)^2}, \; dac \breve{a} \; (x, y) \neq 0 \\ \\ 0, \; dac \breve {a} \; (x, y) = (0, 0) \end{cases} $

Această funcţie nu este integrabilă deoarece nu este mărginită.


Calculul ariilor, lungimilor Edit

Calcul arie cu integrala Fie $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \! $ G graficul funcţiei continue.

$ A(G)- \int_a^b f(x)dx \! $

Lungimea graficului funţiei:

$ L(f) = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \! $

Calculul volumelor Edit

Calcul volum cu integrala

Aria suprafeţei de rotaţie

Fie $ f:[a, b] \rightarrow [0, + \infty) \! $ continuă

$ A(f) = 2 \pi \int_a^b f(x) \cdot \sqrt {1 + (f'(x))^2} dx $

Volum corp de rotaţie:

$ V(f) = \int_a^b f^2(x) dx. $

Vezi şi Edit


Resurse Edit