Fandom

Math Wiki

Integrală

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

În alte limbi
* English

Prima metodă de schimbare de variabilă Edit

Fie I, J două intervale din \mathbb R \! şi

I \overset {\varphi}{\longrightarrow} J \overset {f}{\longrightarrow} \mathbb R,

cu proprietăţile:

a) \varphi \! - derivabilă pe I.

b) f admite primitive; F este o primitivă a sa;

Atunci (f \circ \varphi) \cdot \varphi' \! admite primitive pe I şi F \circ \varphi este o primitivă a lui (f \circ \varphi ) \cdot \varphi'

\int f(\varphi (x)) \cdot \varphi' (x) dx = F(\varphi (x)) + \mathcal C.  \!

A doua metodă de schimbare de variabilă Edit

Fie I, J două intervale din \mathbb R \! şi

I \overset {\varphi}{\longrightarrow} J \overset {f}{\longrightarrow} \mathbb R,

cu proprietăţile:

a) \varphi \! bijectivă, derivabilă, cu derivata nenulă pe I.

b) funcţia h= (f \circ \varphi) \cdot \varphi' \! admite primitiva H \Rightarrow \! f admite primitive şi funcţia H \circ \varphi^{-1} \! - este o primitivă a lui f.

\int f(x) dx = (H \circ \varphi^{-1}) (x) + \mathcal C.

Formule Edit

Puterea lui t Edit

\int x^n = \frac {x^{n+1}}{n+1} + \mathcal C \; (n \neq -1) \!

Demonstraţia 1: Avem \frac {d}{dx} x^m = mx^{m-1} .\!

De aici, \int mx^{m-1} = x^m + \mathcal C \!

Luăm m=n+1. \!


Demonstraţia 2: (Metoda lui Fermat)

Metoda lui Fermat.png

Se ştie că

1+r+r^2 + \cdots + r^n = \frac {1-r^{n+1}}{1-r} \!

şi

1+r + r^2 + \cdots = \frac {1}{1-r} \! pentru r<1 \!

\int_0^b x^n dx \! este suma infinită a ariilor corespunzătoare unor intervale infinitezimale, intervale care devin tot mai mici când ne apropiem descrescător către zero.

Astfel, ţinând cont că r \searrow 0, \!

\int_0^b x^n dx = f(b) \cdot (b-br) + f(br) \cdot (br-br^2) + f(br^2) \cdot (br^2-br^3) + \cdots = \!
= b^{n+1} (1-r) [ 1+ r^{n+1} + (r^{n+1})^2 + \cdots ] = \!
= b^{n+1} (1-r) [\frac {1}{1-r^{n+1}}] = \frac{b^{n+1}}{1+r + r^2 + \cdots + r^n} = \frac {b^{n+1}}{n+1}. \!

QED.

Funcţia exponenţială şi cea logaritmică Edit

\int e^xdx = e^x + \mathcal C \!

Demonstraţie: Se aplică relaţia \frac {d}{dx} e^x = e^x \!

Aplicaţii Edit

Considerăm funcţia f: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow \mathbb R^2


f(x, y)=
\begin{cases}
\frac {x^2 y}{x^4 + y^2}, \; dac \breve{a} \; (x, y) \neq (0, 0)
\\
\\
0 , \; dac \breve{a} \; (x, y)= (0, 0)
\end{cases}

Această funcţie nu este integrabilă deoarece are un punct discontinuitate.


Considerăm funcţia f: [-1, 1] \times [-1, 1] \rightarrow \mathbb R,


f(x, y)=
\begin{cases}
\frac {2xy}{(x^2 + y^2)^2}, \; dac \breve{a} \; (x, y) \neq 0
\\
\\
0, \; dac \breve {a} \; (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

Această funcţie nu este integrabilă deoarece nu este mărginită.


Calculul ariilor, lungimilor Edit

Calcul arie cu integrala.png Fie f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \! G graficul funcţiei continue.

A(G)- \int_a^b f(x)dx \!

Lungimea graficului funţiei:

L(f) = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \!

Calculul volumelor Edit

Calcul volum cu integrala.png

Aria suprafeţei de rotaţie

Fie f:[a, b] \rightarrow [0, + \infty) \! continuă

A(f) = 2 \pi \int_a^b f(x) \cdot \sqrt {1 + (f'(x))^2} dx

Volum corp de rotaţie:

V(f) = \int_a^b f^2(x) dx.

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki