Fandom

Math Wiki

Inel de matrici

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie A un inel și m, n \in \mathbb N^*. Un tablou de forma:

\alpha = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\  \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} \\   \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \cdots & \alpha_{mn} \end{pmatrix}  \!

cu m linii și n coloane, format din elemente ale lui A se numește matrice cu m linii și n coloane; convenim să notăm a astfel de matrice și sub formă mai condensată:

\alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}. \!


Dacă m=n \! notăm M_{m,n}(A) =M_n(A); \! o matrice din M_n(A) \! se zice pătratică de ordin n.


Pentru \alpha, \beta \in M_{m,n}, \; \; \alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}} \! și  \beta = (\beta_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}} \! definim:

\alpha + \beta =  (\alpha_{ij} + \beta_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}. \!

Asociativitatea adunării matricelor este imediată, elementul neutru este matrice O_{m,n} \! din M_{m,n}(A) \! ce are toate elementele egale cu zero, iar opusa matricei \alpha \! este matricea - \alpha =(- \alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}},  \! de unde concluzia că (M_{m, n}(A), +) \! este grup (abelian).

Pentru m,n, p \in \mathbb N^*, \; \alpha \in M_{m,n}(A), \; \beta \in M_{n,p} (A),  \; \alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}, \; \beta = (\beta_{ij})_{\overset{1 \le j \le n}{1 \le k \le p}} \! definim \alpha \beta = (\gamma_{ik})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le k \le p}}, \! unde \gamma_{ik} = \sum_{j=1} \alpha_{ij} \beta_{jk} \! pentru 1 \le j \le m \! și 1 \le k \le p. \!

În mod evident, \alpha \beta \in M_{m,p}(A). \!

Să demonstrăm că dacă m, n, p ,q \in \mathbb N^* \! și \alpha \in M_{m, n}(A), \; \beta \in M_{n, p}(A), \; \gamma \in M_{p, q}(A), \! atunci (\alpha \beta) \gamma = \alpha(\beta \gamma). \! Într-adevăr, fie \alpha \beta = (\delta_{ik})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le k \le p}}, \! cu \delta_{ik} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{jk} \! și (\alpha \beta) \gamma = (\varepsilon_{it})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le t \le q}} \! cu \varepsilon_{it}= \sum_{k=1}^p \delta_{ik}\gamma_{kt} = \sum_{k=1}^p (\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \beta_{jk})\gamma_{kt} = \sum_{k=1}^p \sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{jk}\gamma_{kt}. \!


Dacă \beta \gamma = (\delta'_{jt})_{\overset{1 \le j \le n}{1 \le t \le q}} \! cu \delta'_{jt} = \sum_{k=1}^p \beta_{jk} \gamma_{kt} \! iar \alpha (\beta \gamma) = (\varepsilon'_{it})_{\overset{1 \le i \le m}{1  \le t \le q}} , \! atunci \varepsilon'_{it} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \delta'_{jt} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \sum_{k=1}^p \beta_{jk} \gamma_{kt} = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^p \alpha_{ij} \beta_{jk} \gamma_{kt}, \! de unde egalitatea (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma). \!


Ținând cont de distributivitatea înmulțirii de pe A față de adunare, deducem imediat că dacă \alpha \in M_{m,n} (A) \! și \beta, \gamma \in M_{n, p}(A) \! atunci \alpha (\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma \! iar dacă \alpha, \beta \in M_{m, n} (A) \! și \gamma \in M_{n, p} (A) \! atunci (\alpha + \beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma. \!


Sumând cele de mai sus, deducem că dacă n \in \mathbb N, \; n \ge 2, \! atunci (M_n(A), + , \cdot) \! este un inel (denumit inelul matricelor pătratice de ordin n cu elemente din A).

Dacă inelul A este unitar, atunci și inelul (M_n(A), +, \cdot) \! este unitar, elementul neutru fiind matricea I_n \! ce are pe diagonala principală 1 și în rest 0.

Să remarcăm faptul că în general, chiar dacă A este comutativ, M_n(A) \! nu este comutativ.


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki