FANDOM


Fie A un inel și $ m, n \in \mathbb N^*. $ Un tablou de forma:

$ \alpha = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} \\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \cdots & \alpha_{mn} \end{pmatrix} \! $

cu m linii și n coloane, format din elemente ale lui A se numește matrice cu m linii și n coloane; convenim să notăm a astfel de matrice și sub formă mai condensată:

$ \alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}. \! $


Dacă $ m=n \! $ notăm $ M_{m,n}(A) =M_n(A); \! $ o matrice din $ M_n(A) \! $ se zice pătratică de ordin n.


Pentru $ \alpha, \beta \in M_{m,n}, \; \; \alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}} \! $ și $ \beta = (\beta_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}} \! $ definim:

$ \alpha + \beta = (\alpha_{ij} + \beta_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}. \! $

Asociativitatea adunării matricelor este imediată, elementul neutru este matrice $ O_{m,n} \! $ din $ M_{m,n}(A) \! $ ce are toate elementele egale cu zero, iar opusa matricei $ \alpha \! $ este matricea $ - \alpha =(- \alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}, \! $ de unde concluzia că $ (M_{m, n}(A), +) \! $ este grup (abelian).

Pentru $ m,n, p \in \mathbb N^*, \; \alpha \in M_{m,n}(A), \; \beta \in M_{n,p} (A), \; \alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}, \; \beta = (\beta_{ij})_{\overset{1 \le j \le n}{1 \le k \le p}} \! $ definim $ \alpha \beta = (\gamma_{ik})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le k \le p}}, \! $ unde $ \gamma_{ik} = \sum_{j=1} \alpha_{ij} \beta_{jk} \! $ pentru $ 1 \le j \le m \! $ și $ 1 \le k \le p. \! $

În mod evident, $ \alpha \beta \in M_{m,p}(A). \! $

Să demonstrăm că dacă $ m, n, p ,q \in \mathbb N^* \! $ și $ \alpha \in M_{m, n}(A), \; \beta \in M_{n, p}(A), \; \gamma \in M_{p, q}(A), \! $ atunci $ (\alpha \beta) \gamma = \alpha(\beta \gamma). \! $ Într-adevăr, fie $ \alpha \beta = (\delta_{ik})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le k \le p}}, \! $ cu $ \delta_{ik} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{jk} \! $ și $ (\alpha \beta) \gamma = (\varepsilon_{it})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le t \le q}} \! $ cu $ \varepsilon_{it}= \sum_{k=1}^p \delta_{ik}\gamma_{kt} = \sum_{k=1}^p (\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \beta_{jk})\gamma_{kt} = \sum_{k=1}^p \sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{jk}\gamma_{kt}. \! $


Dacă $ \beta \gamma = (\delta'_{jt})_{\overset{1 \le j \le n}{1 \le t \le q}} \! $ cu $ \delta'_{jt} = \sum_{k=1}^p \beta_{jk} \gamma_{kt} \! $ iar $ \alpha (\beta \gamma) = (\varepsilon'_{it})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le t \le q}} , \! $ atunci $ \varepsilon'_{it} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \delta'_{jt} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \sum_{k=1}^p \beta_{jk} \gamma_{kt} = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^p \alpha_{ij} \beta_{jk} \gamma_{kt}, \! $ de unde egalitatea $ (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma). \! $


Ținând cont de distributivitatea înmulțirii de pe A față de adunare, deducem imediat că dacă $ \alpha \in M_{m,n} (A) \! $ și $ \beta, \gamma \in M_{n, p}(A) \! $ atunci $ \alpha (\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma \! $ iar dacă $ \alpha, \beta \in M_{m, n} (A) \! $ și $ \gamma \in M_{n, p} (A) \! $ atunci $ (\alpha + \beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma. \! $


Sumând cele de mai sus, deducem că dacă $ n \in \mathbb N, \; n \ge 2, \! $ atunci $ (M_n(A), + , \cdot) \! $ este un inel (denumit inelul matricelor pătratice de ordin n cu elemente din A).

Dacă inelul A este unitar, atunci și inelul $ (M_n(A), +, \cdot) \! $ este unitar, elementul neutru fiind matricea $ I_n \! $ ce are pe diagonala principală 1 și în rest 0.

Să remarcăm faptul că în general, chiar dacă A este comutativ, $ M_n(A) \! $ nu este comutativ.


Resurse Edit