FANDOM


Fie A un inel și m, n \in \mathbb N^*. Un tablou de forma:

\alpha = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\  \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} \\   \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \cdots & \alpha_{mn} \end{pmatrix}  \!

cu m linii și n coloane, format din elemente ale lui A se numește matrice cu m linii și n coloane; convenim să notăm a astfel de matrice și sub formă mai condensată:

\alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}. \!


Dacă m=n \! notăm M_{m,n}(A) =M_n(A); \! o matrice din M_n(A) \! se zice pătratică de ordin n.


Pentru \alpha, \beta \in M_{m,n}, \; \; \alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}} \! și  \beta = (\beta_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}} \! definim:

\alpha + \beta =  (\alpha_{ij} + \beta_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}. \!

Asociativitatea adunării matricelor este imediată, elementul neutru este matrice O_{m,n} \! din M_{m,n}(A) \! ce are toate elementele egale cu zero, iar opusa matricei \alpha \! este matricea - \alpha =(- \alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}},  \! de unde concluzia că (M_{m, n}(A), +) \! este grup (abelian).

Pentru m,n, p \in \mathbb N^*, \; \alpha \in M_{m,n}(A), \; \beta \in M_{n,p} (A),  \; \alpha = (\alpha_{ij})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le j \le n}}, \; \beta = (\beta_{ij})_{\overset{1 \le j \le n}{1 \le k \le p}} \! definim \alpha \beta = (\gamma_{ik})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le k \le p}}, \! unde \gamma_{ik} = \sum_{j=1} \alpha_{ij} \beta_{jk} \! pentru 1 \le j \le m \! și 1 \le k \le p. \!

În mod evident, \alpha \beta \in M_{m,p}(A). \!

Să demonstrăm că dacă m, n, p ,q \in \mathbb N^* \! și \alpha \in M_{m, n}(A), \; \beta \in M_{n, p}(A), \; \gamma \in M_{p, q}(A), \! atunci (\alpha \beta) \gamma = \alpha(\beta \gamma). \! Într-adevăr, fie \alpha \beta = (\delta_{ik})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le k \le p}}, \! cu \delta_{ik} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{jk} \! și (\alpha \beta) \gamma = (\varepsilon_{it})_{\overset{1 \le i \le m}{1 \le t \le q}} \! cu \varepsilon_{it}= \sum_{k=1}^p \delta_{ik}\gamma_{kt} = \sum_{k=1}^p (\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \beta_{jk})\gamma_{kt} = \sum_{k=1}^p \sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{jk}\gamma_{kt}. \!


Dacă \beta \gamma = (\delta'_{jt})_{\overset{1 \le j \le n}{1 \le t \le q}} \! cu \delta'_{jt} = \sum_{k=1}^p \beta_{jk} \gamma_{kt} \! iar \alpha (\beta \gamma) = (\varepsilon'_{it})_{\overset{1 \le i \le m}{1  \le t \le q}} , \! atunci \varepsilon'_{it} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \delta'_{jt} = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \sum_{k=1}^p \beta_{jk} \gamma_{kt} = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^p \alpha_{ij} \beta_{jk} \gamma_{kt}, \! de unde egalitatea (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma). \!


Ținând cont de distributivitatea înmulțirii de pe A față de adunare, deducem imediat că dacă \alpha \in M_{m,n} (A) \! și \beta, \gamma \in M_{n, p}(A) \! atunci \alpha (\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma \! iar dacă \alpha, \beta \in M_{m, n} (A) \! și \gamma \in M_{n, p} (A) \! atunci (\alpha + \beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma. \!


Sumând cele de mai sus, deducem că dacă n \in \mathbb N, \; n \ge 2, \! atunci (M_n(A), + , \cdot) \! este un inel (denumit inelul matricelor pătratice de ordin n cu elemente din A).

Dacă inelul A este unitar, atunci și inelul (M_n(A), +, \cdot) \! este unitar, elementul neutru fiind matricea I_n \! ce are pe diagonala principală 1 și în rest 0.

Să remarcăm faptul că în general, chiar dacă A este comutativ, M_n(A) \! nu este comutativ.


Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki