FANDOM


Definiţii Edit

În cele ce urmează, se lucrează numai cu inele unitare.

Un triplet $ (A, +, \cdot), \! $ unde A este o mulţime nevidă iar "+" şi "$ \cdot \! $" sunt două legi de compoziţie pe A (numite adunare şi înmulţire), se numeşte inel dacă:

  (G): $ (A, +) \! $ este grup abelian (comutativ)

  (M): $ (A, \cdot) \! $ este monoid

  (D): înmulţirea este distributivă la stânga şi la dreapta faţă de adunare:

$ \forall x, y, z \in A, \; x(y+z) = xy + xz, \; \; (y+z)x= yx+zx. \! $


În cele ce urmează (dacă nu este pericol de confuzie) când vom vorbi despre un inel A, vom pune în evidenţă doar mulţimea A (operaţiile aditivă şi multiplicativă subînţelegându-se).


Notăm prin 0 elementul neutru al operaţiei de adunare, iar pentru $ a \in A, \! $ prin "$ -a \! $" vom nota opusul lui a.


Dacă în inelul A legea de compoziţie "$ \cdot \! $" admite element unitate, notat prin 1, vom spune că inelul A este unitar.

Spunem că inelul A nu are divizori ai lui zero, dacă $ x \neq 0, \; y \neq 0 \; \Rightarrow \; xy \neq 0; \! $ în caz contrar spunem că A este inel cu divizori ai lui zero.


Dacă A este un inel unitar şi $ 0=1, \! $ vom spune despre A că este inelul nul. În caz contrar, vom spune că A este inel nenul.

Un inel A se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma:

$ (M_3) \; xy=yx , \; \forall x, y \in A. \! $

Un inel comutativ, cu cel puţin două elemente şi fără divizori ai lui zero, se numeşte domeniu de integritate (sau inel integru).

Morfism de inele Edit

Fie inelele $ (A, +, \cdot), \! $ şi $ (A, \oplus, \odot). \! $ O funcţie $ f: A \rightarrow A' \! $ se numeşte morfism de inele dacă, $ \forall x, y \in A: \! $

1) $ f(x +y) = f(x) \oplus f(y); \! $

2) $ f(x \cdot y) = f(x) \odot f(y); \! $

3) $ f(1) = 1', \! $ unde 1 este unitatea inelului A şi $ 1' \! $ unitatea lui $ A'. \! $

Un morfism de inele bijectiv se numeşte izomorfism. Vom spune că inelul A este izomorf cu inelul $ A', \! $ şi scriem $ A \simeq A', \! $ dacă există cel puţin un izomorfism $ f: A \rightarrow A'. \! $

Subinel Edit

Elementele inversabile ale unui inel A se numesc unităţi ale lui A. Notăm cu $ U(A) \! $ mulţimea subunităţilor inelului A.

Fie A un inel; $ U(A) \! $ este grup în raport cu operaţia indusă de înmulţirea lui A, numit grupul unităţilor inelului A.

Fie $ (A, + , \cdot) \! $ un inel cu elementul unitate notat 1 şi $ S \subset A; \! $ S se numeşte subinel al lui A dacă $ (S, +, \cdot) \! $ este inel şi $ 1 \in S. \! $

Exemple de inele Edit

1. Se poate demonstra că $ (\mathbb Z, +, \cdot) \! $ este inel comutativ unitar.


2. Dacă vom considera $ A = 2 \mathbb Z = \{ 2n \; : \; n \in \mathbb Z \}, \! $ atunci $ (A, +, \cdot) \! $ este exemplu de inel comutativ neunitar (căci $ 1 \not \in 2 \mathbb Z \! $).


3. Numerele complexe $ a + bi, \! $ cu $ a, b \in \mathbb Z \! $ se numesc întregi ai lui Gauss (de exemplu: $ 2+3i, \; -1+2i, \; 4=4+0i, \; i=0 +1 \cdot i \! $ sunt întregi ai lui Gauss). Notăm $ \mathbb Z[i] = \{ a+bi \; | \; a, b \in \mathbb Z \} \! $ mulţimea întregilor lui Gauss. $ (\mathbb Z[i], +) \! $ este un inel integru.


4. Fie I o mulţime nevidă şi A un inel. Notăm $ A^I = \{ f \; | \; f: I \rightarrow A \} \! $ mulţimea tuturor funcţiilor $ f: I \rightarrow A. \! $ Pentru $ f, g \in A^I \! $ şi $ x \in I , \! $ $ f(x) \! $ şi $ g(x) \! $ sunt elemente ale inelului A. Putem defini astfel funcţiile $ f + g : I \rightarrow A, \; (f+g) (x) = f(x)+ g(x), \; x \in I \! $ şi $ fg: I \rightarrow A, \; (fg)(x) = f(x) \cdot g(x) \! $ numite suma, respectiv produsul funcţiei f cu funcţia g.


5. Fie A un inel comutativ. Notăm $ A[X] \! $ mulţimea polinoamelor cu coeficienţi în A. $ (A[X], +, \cdot) \! $ este inel.


6. Fie $ f \in A[X]. \! $ Funcţia $ f^*: A \rightarrow A \! $ definită prin $ f^*(x) = f(x) \in A, \; \forall x \in A, \! $ este numită funcţia polinomială asociată polinomului f. Vom nota funcţia f tot cu f.


7. Zerourile funcţiei polinomiale f, se numesc rădăcini (din A) ale polinomului f. Aşadar, un element $ \alpha \in A $ este rădăcină (din A) a polinomului $ f \in A[X] \! $ dacă $ f(\alpha) =0. \! $


8. Dacă $ \mathbb Z_n \! $ este mulţimea claselor de resturi modulo n, atunci $ (\mathbb Z_n, +, \cdot ) \! $ este inel unitar comutativ cu n elemente.


9. Vezi şi Inel de matrici


Observaţie. Dacă A este un inel unitar, rezultă că adunarea de pe A este comutativă.

Într-adevăr, calculând pentru $ a, b \in A, \! $ $ (a+b)(1+1) \! $ în două moduri (ţinând cont de distributivitatea la stânga şi la dreapta înmulţirii faţă de adunare) obţinem egalitatea:

$ a+a+b+b = a+b+a +b, \! $

de unde

$ a+b=b+a. \! $


Observaţie. Notarea generică cu litera A a unui inel oarecare se explică prin aceea că în limba franceză noţiunea matematică corespunzătoare se traduce prin anneau.

În anumite cărţi, un inel oarecare se notează prin R de la faptul că în limba engleză noţiunea matematică de inel se traduce prin ring.


Propoziţie. Dacă A este un inel, atunci:

(i). $ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0, \! $ pentru orice $ a \in A \! $

(ii). $ a (-b) = (-a)b = -(ab) \! $ şi $ (-a)(-b) = ab, \! $ pentru orice $ a, b \in A \! $

(iii). $ a(b-c) = ab-ac \! $ şi $ (a-b)c=ac-bc, \! $ pentru orice $ a, b \in A \! $

(iv). $ a(b_1+b_2 + \cdots + b_n)= ab_1+ ab_2 + \cdots + ab_n \! $ şi $ (a_1+a_2+ \cdots + a_n)b= a_1b+ a_2b + \cdots + a_nb, \! $ pentru orice $ a, b, a_i, b_i \in A, 1 \le 1 \le n \! $

(v). Dacă $ a, b \in A, \; n \in \mathbb N^* \! $ şi $ ab=ba \! $ avem egalităţile:

$ a^n-b^n= (a-b)(a^{n-1}+ a^{n-2}b+ \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}) \! $
$ a^{2n+1}+b^{2n+1}= (a+b)(a^{2n}- a^{2n-1}b+ \cdots - ab^{2n-1} + b^{2n}). \! $


Demonstraţie.

(i). Totul rezultă din 0+0=0.

(ii). Totul rezultă din (i) şi din aceea că b+(-b)=0.

(iii). Rezultă din (ii).

(iv). Se face inducţie matematică după n.

(v). Se fac calculele în membrul drept. QED.


Observaţie. Definind pentru $ a \in A \! $ şi $ n \in \mathbb Z \! $


$ na= \begin{cases} \underset{n \; ori}{\underbrace{a+ \cdots + a}} & daca \; n>0 \\ \\ 0 & daca \; n=0 \\ \\ \underset{-n \; ori}{\underbrace{(-a)+ \cdots + (-a)}} & daca \; n<0, \end{cases} \! $

atunci

(vi). $ a(nb) = (na)b = n(ab) \! $ pentru orice $ a, b \in A \! $ şi $ n \in \mathbb Z \! $

(vii). Dacă A este un inel unitar, $ a, b \in A, \; ab=ba \! $ şi $ n \in \mathbb N^*, \! $ avem egalitatea $ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k \! $ (prin definiţie $ a^0=1 \! $).


Egalitatea de la (vi) rezultă din (iv) iar (vii) se demonstrează prin inducţie matematică după n ţinând cont de faptul că $ C_n^k + C^{k+1}_n = C^{k+1}_{n+1} \! $ pentru orice $ n \in \mathbb N^* \! $ şi $ 0 \le k \le n . \! $


Definiţie. Prin unităţile $ U(A) \! $ ale inelului unitar A înţelegem unităţile monoidului $ (A, \cdot), \! $ adică $ U(A) = \{ a \in A \; | \; \exists b \in A \; a.î. \; ab=ba=1 \}. \! $

În mod evident, $ (U(A), \dot ) \! $ este grup.

De exemplu, $ U(\mathbb Z) = \{ \pm 1 \} \! $ iar dacă A este inel unitar şi $ n \in \mathbb N, \; n \ge 2, \! $ atunci $ U(M_n(A)) = \{M in M_n(A) | \; det (M) \neq 0 \}. \! $

Grupul $ (U(M)_n(A), \cdot) \! $ se notează prin $ GL_n(A) \! $ şi se numeşte grupul liniar general de grad n peste A.


Exemple de inele comutative Edit

Inel comutativ 1 Inel comutativ 2

Vezi şi Edit

Resurse Edit