Fandom

Math Wiki

Inel

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţii Edit

În cele ce urmează, se lucrează numai cu inele unitare.

Un triplet (A, +, \cdot), \! unde A este o mulţime nevidă iar "+" şi "\cdot \!" sunt două legi de compoziţie pe A (numite adunare şi înmulţire), se numeşte inel dacă:

  (G): (A, +) \! este grup abelian (comutativ)

  (M): (A, \cdot) \! este monoid

  (D): înmulţirea este distributivă la stânga şi la dreapta faţă de adunare:

\forall x, y, z \in A, \; x(y+z) = xy + xz, \; \; (y+z)x= yx+zx. \!


În cele ce urmează (dacă nu este pericol de confuzie) când vom vorbi despre un inel A, vom pune în evidenţă doar mulţimea A (operaţiile aditivă şi multiplicativă subînţelegându-se).


Notăm prin 0 elementul neutru al operaţiei de adunare, iar pentru a \in A, \! prin "-a \!" vom nota opusul lui a.


Dacă în inelul A legea de compoziţie "\cdot \!" admite element unitate, notat prin 1, vom spune că inelul A este unitar.

Spunem că inelul A nu are divizori ai lui zero, dacă x \neq 0, \; y \neq 0 \; \Rightarrow \; xy \neq 0; \! în caz contrar spunem că A este inel cu divizori ai lui zero.


Dacă A este un inel unitar şi 0=1, \! vom spune despre A că este inelul nul. În caz contrar, vom spune că A este inel nenul.

Un inel A se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma:

(M_3) \; xy=yx , \; \forall x, y \in A. \!

Un inel comutativ, cu cel puţin două elemente şi fără divizori ai lui zero, se numeşte domeniu de integritate (sau inel integru).

Morfism de inele Edit

Fie inelele (A, +, \cdot), \! şi (A, \oplus, \odot). \! O funcţie  f: A \rightarrow A' \! se numeşte morfism de inele dacă, \forall x, y \in A: \!

1) f(x +y) = f(x) \oplus f(y); \!

2) f(x \cdot y) = f(x) \odot f(y); \!

3) f(1) = 1', \! unde 1 este unitatea inelului A şi 1' \! unitatea lui A'. \!

Un morfism de inele bijectiv se numeşte izomorfism. Vom spune că inelul A este izomorf cu inelul A', \! şi scriem A \simeq A', \! dacă există cel puţin un izomorfism f: A \rightarrow A'. \!

Subinel Edit

Elementele inversabile ale unui inel A se numesc unităţi ale lui A. Notăm cu U(A) \! mulţimea subunităţilor inelului A.

Fie A un inel; U(A) \! este grup în raport cu operaţia indusă de înmulţirea lui A, numit grupul unităţilor inelului A.

Fie (A, + , \cdot) \! un inel cu elementul unitate notat 1 şi S \subset A; \! S se numeşte subinel al lui A dacă (S, +, \cdot) \! este inel şi 1 \in S. \!

Exemple de inele Edit

1. Se poate demonstra că (\mathbb Z, +, \cdot) \! este inel comutativ unitar.


2. Dacă vom considera A = 2 \mathbb Z = \{ 2n \; : \; n \in \mathbb Z \}, \! atunci (A, +, \cdot) \! este exemplu de inel comutativ neunitar (căci 1 \not \in 2 \mathbb Z \!).


3. Numerele complexe a + bi, \! cu a, b \in \mathbb Z \! se numesc întregi ai lui Gauss (de exemplu: 2+3i, \; -1+2i, \; 4=4+0i, \; i=0 +1 \cdot i \! sunt întregi ai lui Gauss). Notăm \mathbb Z[i] = \{ a+bi \; | \; a, b \in \mathbb Z \} \! mulţimea întregilor lui Gauss. (\mathbb Z[i], +) \! este un inel integru.


4. Fie I o mulţime nevidă şi A un inel. Notăm A^I = \{ f \; | \; f: I \rightarrow A \} \! mulţimea tuturor funcţiilor f: I \rightarrow A. \! Pentru f, g \in A^I \! şi x \in I , \! f(x) \! şi g(x) \! sunt elemente ale inelului A. Putem defini astfel funcţiile f + g : I \rightarrow A, \; (f+g) (x) = f(x)+ g(x), \; x \in I \! şi fg: I \rightarrow A, \; (fg)(x) = f(x) \cdot g(x) \! numite suma, respectiv produsul funcţiei f cu funcţia g.


5. Fie A un inel comutativ. Notăm A[X] \! mulţimea polinoamelor cu coeficienţi în A. (A[X], +, \cdot) \! este inel.


6. Fie f \in A[X]. \! Funcţia f^*: A \rightarrow A \! definită prin f^*(x) = f(x) \in A, \; \forall x \in A, \! este numită funcţia polinomială asociată polinomului f. Vom nota funcţia f tot cu f.


7. Zerourile funcţiei polinomiale f, se numesc rădăcini (din A) ale polinomului f. Aşadar, un element \alpha \in A este rădăcină (din A) a polinomului f \in A[X] \! dacă f(\alpha) =0. \!


8. Dacă \mathbb Z_n \! este mulţimea claselor de resturi modulo n, atunci (\mathbb Z_n, +, \cdot ) \! este inel unitar comutativ cu n elemente.


9. Vezi şi Inel de matrici


Observaţie. Dacă A este un inel unitar, rezultă că adunarea de pe A este comutativă.

Într-adevăr, calculând pentru a, b \in A, \! (a+b)(1+1) \! în două moduri (ţinând cont de distributivitatea la stânga şi la dreapta înmulţirii faţă de adunare) obţinem egalitatea:

a+a+b+b = a+b+a +b, \!

de unde

a+b=b+a. \!


Observaţie. Notarea generică cu litera A a unui inel oarecare se explică prin aceea că în limba franceză noţiunea matematică corespunzătoare se traduce prin anneau.

În anumite cărţi, un inel oarecare se notează prin R de la faptul că în limba engleză noţiunea matematică de inel se traduce prin ring.


Propoziţie. Dacă A este un inel, atunci:

(i). a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0, \! pentru orice a \in A \!

(ii). a (-b) = (-a)b = -(ab) \! şi (-a)(-b) = ab, \! pentru orice a, b \in A \!

(iii). a(b-c) = ab-ac \! şi (a-b)c=ac-bc, \! pentru orice a, b \in A \!

(iv). a(b_1+b_2 + \cdots + b_n)= ab_1+ ab_2 + \cdots + ab_n \! şi (a_1+a_2+ \cdots + a_n)b= a_1b+ a_2b + \cdots + a_nb,  \! pentru orice a, b, a_i, b_i \in A, 1 \le 1 \le n \!

(v). Dacă a, b \in A, \; n \in \mathbb N^* \! şi ab=ba \! avem egalităţile:

a^n-b^n= (a-b)(a^{n-1}+ a^{n-2}b+ \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}) \!
a^{2n+1}+b^{2n+1}= (a+b)(a^{2n}- a^{2n-1}b+ \cdots - ab^{2n-1} + b^{2n}). \!


Demonstraţie.

(i). Totul rezultă din 0+0=0.

(ii). Totul rezultă din (i) şi din aceea că b+(-b)=0.

(iii). Rezultă din (ii).

(iv). Se face inducţie matematică după n.

(v). Se fac calculele în membrul drept. QED.


Observaţie. Definind pentru a \in A \! şi n \in \mathbb Z \!


na= \begin{cases} \underset{n \; ori}{\underbrace{a+ \cdots + a}} & daca \; n>0 \\ \\ 0 & daca \; n=0 \\ \\ \underset{-n \; ori}{\underbrace{(-a)+ \cdots + (-a)}} & daca \; n<0,  \end{cases} \!

atunci

(vi). a(nb) = (na)b = n(ab) \! pentru orice a, b \in A \! şi n \in \mathbb Z \!

(vii). Dacă A este un inel unitar, a, b \in A, \; ab=ba \! şi n \in \mathbb N^*, \! avem egalitatea (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k \! (prin definiţie a^0=1 \!).


Egalitatea de la (vi) rezultă din (iv) iar (vii) se demonstrează prin inducţie matematică după n ţinând cont de faptul că C_n^k + C^{k+1}_n = C^{k+1}_{n+1} \! pentru orice n \in \mathbb N^* \! şi 0 \le k \le n . \!


Definiţie. Prin unităţile U(A) \! ale inelului unitar A înţelegem unităţile monoidului (A, \cdot), \! adică Nu s-a putut interpreta (eroare lexicală): U(A) = \{ a \in A \; | \; \exists b \in A \; a.î. \; ab=ba=1 \}. \!


În mod evident, (U(A), \dot ) \! este grup.

De exemplu, U(\mathbb Z) = \{ \pm 1 \} \! iar dacă A este inel unitar şi n \in \mathbb N, \; n \ge 2, \! atunci U(M_n(A)) = \{M in M_n(A) | \; det (M) \neq 0  \}. \!

Grupul (U(M)_n(A), \cdot) \! se notează prin GL_n(A) \! şi se numeşte grupul liniar general de grad n peste A.


Exemple de inele comutative Edit

Inel comutativ 1.png Inel comutativ 2.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki