FANDOM


Teoremă

Dacă $ x_k \in \mathbb R $ şi $ a_k > 0 $, atunci:

$ \frac {x_1^2}{a_1} + \frac {x_2^2}{a_2} + \cdots + \frac {x_n^2}{a_n} \ge \frac {(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2}{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}, $   (inegalitatea lui Bergström)

cu egalitate dacă şi numai dacă:

$ \frac {x_1}{a_1} = \frac {x_2}{a_2} = \cdots = \frac {x_n}{a_n}. $


Generalizarea inegalităţii lui Bergström este dată de următoarea teoremă:

Teoremă

Dacă $ x_k \in \mathbb R $ şi $ a_k > 0, \; k \in \{ 1, 2, \cdots , n \}, $ atunci:

$ \frac {x_1^2} {a_1} + \frac {x_2^2} {a_2} + \cdots + \frac {x_n^2} {a_n} \ge \frac {(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2}{a_1 +a_2 + \cdots + a_n} + \max_{1 \le j < \le n} \frac {(a_i x_j - a_j x_i)^2}{a_i a_j (a_i + a_j)}. $

Resurse Edit