FANDOM


Forma cea mai simplă Edit

$ (ax+by)^2 \le (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) $

Aplicatia ei:

  • în analiză: studiul seriilor infinite sau integrării produselor

Alte forme:

$ | <x, y> |^2 \le <x, x> \cdot <y, y> $

$ | \langle x, y \rangle |^2 \leq \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle $


$ \langle x, y \rangle \le ||x|| \cdot ||y|| $


$ x_1, x_2, \ldots x_n \in \mathbb{C} $

$ y_1, y_2, \ldots y_n \in \mathbb{C} $


$ | x_1 \bar {y_1} + x_2 \bar{y_2} + \ldots x_n \bar {y_n} | $

Varianta integrală Edit

Teorema Hölder

Fie $ f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $ două funcții integrabile și $ p, q \ge 1 $ cu $ \frac 1 p + \frac 1 q = 1 $

Atunci avem:

$ \int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \le \left ( \int_a^b {|f(x)|^p dx} \right )^{\frac 1 p} \cdot \left ( \int_a^b {|g(x)|^q dx} \right )^{\frac 1 q} $

Demonstrație Edit

Dacă $ \int_a^b {|f(x)|^p dx} = 0 $ sau $ \int_a^b {|g(x)|^q dx} = 0 $ se obține că f este nulă aproape peste tot sau g este nulă aproape peste tot,deci fg este nulă aproape peste tot $ \Rightarrow $

$ \int_a^b {f(x)g(x)} = 0 $ și se obține egalitatea:

Presupunem că $ u= \int_a^b | f(x) |^p \succ 0 $ și $ u= \int_a^b | g(x) |^q \succ 0 $.

Se arată (cu ajutorul derivatelor) că, dacă $ \frac 1 p +\frac 1 q = 1 $ șî $ \alpha + \beta \succ 0 $, atunci

$ \frac {\alpha^p}{p} + \frac {\beta^p}{q} \ge \alpha \beta $   (1)

Luând $ \alpha = \frac {|f(x)|}{u^{\frac 1 p}} $ și $ \beta = \frac {|g(x)|}{v^{\frac 1 q}} $, din relația (1) se obține inegalitatea:

$ \frac {|f(x)|^p}{pu} + \frac {|g(x)|^q}{qv} \ge \frac {|f(x) \cdot g(x) |}{u^{\frac 1 p} \cdot v^{\frac 1 q}} $.

Aplicând procedeul de integrare, se obține inegalitatea lui Hőlder.

Teorema Cauchy-Schwartz-Buniakowski Edit

Fie $ f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $ două funcții integrabile. Atunci avem:

$ \left ( \int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \right )^2 \le \left ( \int_a^b {|f(x)|^2 dx} \right ) \cdot \left ( \int_a^b {|g(x)|^2 dx} \right ) $

Demonstrație Edit

În inegalitatea integrală a lui Hölder punem $ p=q=2 \! $

Alt mod de demonstraţie Edit

Inegalitatea CBS 1 Inegalitatea CBS 2 Inegalitatea CBS 3

Aplicația 1 Edit

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 1 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 2 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 3 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 4 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 5 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 6 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 7

Vezi şi Edit


Surse Edit