FANDOM


Forma cea mai simplă Edit

(ax+by)^2 \le (a^2 + b^2) (x^2 + y^2)

Aplicatia ei:

  • în analiză: studiul seriilor infinite sau integrării produselor

Alte forme:

 | <x, y> |^2 \le  <x, x> \cdot <y, y>

 | \langle x, y \rangle |^2 \leq  \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle


 \langle x, y \rangle \le  ||x|| \cdot ||y||


 x_1, x_2, \ldots x_n \in \mathbb{C}

 y_1, y_2, \ldots y_n \in \mathbb{C}


 | x_1 \bar {y_1} + x_2 \bar{y_2} + \ldots x_n \bar {y_n}  |

Varianta integrală Edit

Teorema Hölder

Fie f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} două funcții integrabile și p, q \ge 1 cu \frac 1 p + \frac 1 q = 1

Atunci avem:

\int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \le \left ( \int_a^b {|f(x)|^p dx} \right )^{\frac 1 p} \cdot \left ( \int_a^b {|g(x)|^q dx} \right )^{\frac 1 q}

Demonstrație Edit

Dacă \int_a^b {|f(x)|^p dx} = 0 sau \int_a^b {|g(x)|^q dx} = 0 se obține că f este nulă aproape peste tot sau g este nulă aproape peste tot,deci fg este nulă aproape peste tot \Rightarrow

\int_a^b {f(x)g(x)} = 0 și se obține egalitatea:

Presupunem că  u= \int_a^b | f(x) |^p \succ 0 și  u= \int_a^b | g(x) |^q \succ 0.

Se arată (cu ajutorul derivatelor) că, dacă \frac 1 p +\frac 1 q = 1 șî \alpha + \beta \succ 0, atunci

\frac {\alpha^p}{p} + \frac {\beta^p}{q} \ge \alpha \beta   (1)

Luând \alpha = \frac {|f(x)|}{u^{\frac 1 p}} și \beta = \frac {|g(x)|}{v^{\frac 1 q}}, din relația (1) se obține inegalitatea:

\frac {|f(x)|^p}{pu} + \frac {|g(x)|^q}{qv}  \ge \frac {|f(x) \cdot g(x) |}{u^{\frac 1 p} \cdot v^{\frac 1 q}}.

Aplicând procedeul de integrare, se obține inegalitatea lui Hőlder. ȘI CICĂ AȘA SE REZOLVA , REZOLVAȚI COPII!

Teorema Cauchy-Schwartz-Buniakowski Edit

Fie f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} două funcții integrabile. Atunci avem:

\left (  \int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \right )^2 \le \left (  \int_a^b {|f(x)|^2 dx} \right ) \cdot \left (  \int_a^b {|g(x)|^2 dx} \right )

Demonstrație Edit

În inegalitatea integrală a lui Hölder punem p=q=2 \!

Alt mod de demonstraţie Edit

Inegalitatea CBS 1 Inegalitatea CBS 2 Inegalitatea CBS 3

Aplicația 1 Edit

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 1 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 2 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 3 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 4 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 5 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 6 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 7

Vezi şi Edit


Surse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.