Math Wiki

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz

1.032pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Forma cea mai simplă Edit

(ax+by)^2 \le (a^2 + b^2) (x^2 + y^2)

Aplicatia ei:

  • în analiză: studiul seriilor infinite sau integrării produselor

Alte forme:

 | <x, y> |^2 \le  <x, x> \cdot <y, y>

 | \langle x, y \rangle |^2 \leq  \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle

 \langle x, y \rangle \le  ||x|| \cdot ||y||

 x_1, x_2, \ldots x_n \in \mathbb{C}

 y_1, y_2, \ldots y_n \in \mathbb{C}

 | x_1 \bar {y_1} + x_2 \bar{y_2} + \ldots x_n \bar {y_n}  |

Varianta integrală Edit

Teorema Hölder

Fie f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} două funcții integrabile și p, q \ge 1 cu \frac 1 p + \frac 1 q = 1

Atunci avem:

\int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \le \left ( \int_a^b {|f(x)|^p dx} \right )^{\frac 1 p} \cdot \left ( \int_a^b {|g(x)|^q dx} \right )^{\frac 1 q}

Demonstrație Edit

Dacă \int_a^b {|f(x)|^p dx} = 0 sau \int_a^b {|g(x)|^q dx} = 0 se obține că f este nulă aproape peste tot sau g este nulă aproape peste tot,deci fg este nulă aproape peste tot \Rightarrow

\int_a^b {f(x)g(x)} = 0 și se obține egalitatea:

Presupunem că  u= \int_a^b | f(x) |^p \succ 0 și  u= \int_a^b | g(x) |^q \succ 0.

Se arată (cu ajutorul derivatelor) că, dacă \frac 1 p +\frac 1 q = 1 șî \alpha + \beta \succ 0, atunci

\frac {\alpha^p}{p} + \frac {\beta^p}{q} \ge \alpha \beta   (1)

Luând \alpha = \frac {|f(x)|}{u^{\frac 1 p}} și \beta = \frac {|g(x)|}{v^{\frac 1 q}}, din relația (1) se obține inegalitatea:

\frac {|f(x)|^p}{pu} + \frac {|g(x)|^q}{qv}  \ge \frac {|f(x) \cdot g(x) |}{u^{\frac 1 p} \cdot v^{\frac 1 q}}.

Aplicând procedeul de integrare, se obține inegalitatea lui Hőlder.

Teorema Cauchy-Schwartz-Buniakowski Edit

Fie f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} două funcții integrabile. Atunci avem:

\left (  \int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \right )^2 \le \left (  \int_a^b {|f(x)|^2 dx} \right ) \cdot \left (  \int_a^b {|g(x)|^2 dx} \right )

Demonstrație Edit

În inegalitatea integrală a lui Hölder punem p=q=2 \!

Alt mod de demonstraţie Edit

Inegalitatea CBS 1.png Inegalitatea CBS 2.png Inegalitatea CBS 3.png

Aplicația 1 Edit

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 1.png Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 2.png Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 3.png Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 4.png Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 5.png Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 6.png Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz 7.png

Vezi şi Edit

Surse Edit

Ad blocker interference detected!

Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki