FANDOM


Joseph-lagrange

Joseph-Louis Lagrange

$ \left (\sum_{i=1}^n a^2_i \right ) \cdot \left (\sum_{i=1}^n b^2_i \right ) =\left (\sum_{i=1}^n a_i b_i \right )^2 + \sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i )^2 $

unde $ a_i \in \mathbb C, \; \forall i \in \overline {1, n} $ şi $ b_i \in \mathbb C, \; \forall i \in \overline {1, n}. $


Relaţia este un caz particular al identităţii Binet–Cauchy.

Caz particular Edit

Considerăm vectorii $ \vec a (a_x, a_y, a_z), \vec b (b_x, b_y, b_z). \! $

Atunci:

$ (a_yb_z - a_zb_y)^2+ (a_zb_x-a_xb_z)^2+ (a_xb_y-a_yb_x)^2 + \! $
$ + (a_xb_x+ a_yb_y+a_zb_z)^2= (a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b^2_x+b^2_y+b^2_z). \! $


Identităţi similare Edit

$ \sum_{1 \le i<j \le n} (a_i - a_j) (b_i - b_j) = n \sum_{i=1}^n a_i b_i - \left ( \sum_{i=1}^n a_i \right ) \cdot \left ( \sum_{i=1}^n b_i \right ) . $


$ \sum_{1 \le i<j \le n} (a_i + a_j) (b_i + b_j) = (n-2) \sum_{i=1}^n a_i b_i + \left ( \sum_{i=1}^n a_i \right ) \cdot \left ( \sum_{i=1}^n b_i \right ) . $


Vezi şi Edit