FANDOM


Hipocicloide3

Hipocicloida este curba descrisă de un punct de pe un cerc care rulează fără să alunece, pe un alt cerc fix, cercurile fiind interioare.

Hipocicloide4

Se alege reperul xOy, format din doi diametri perpendiculari ai cercului fix de centru O, astfel încât axa Ox sa treaca prin punctul A, punct initial de contact între cercurile considerate. Se considera rularea cercului de centru O’ din pozitia A într-o pozitie arbitrara, cu N punct de contact între cercul fix si cercul mobil. Punctul A va trece în punctul M.

Reprezentare hipocicloida

Se notează:

$ \varphi = \widehat {NOx}, \; \varphi' = \widehat {MO'N} \! $

în sens trigonometric, şi se obţine:

$ \overset {\frown} {AN} = \overset {\frown}{MN}\! $

(în sens trigonometric), adică:

$ a \varphi = b \varphi' \! $

de unde:

$ \varphi'= \frac a b \varphi. $

şi deci:

$ \varphi' - \varphi = \frac {a-b}{b} \varphi. $

relaţie care se va utiliza în cele ce urmează.

Din triunghiul OO'MM se obţine:

$ \overline {OM} = \overline {OO'} + \overline {O'M}, \! $

din care rezultă:

$ x= pr_{Ox}\overline {OO'} + pr_{Ox}\overline {O'M}, \; \; y= pr_{Oy}\overline {OO'} + pr_{Oy}\overline {O'M} \! $

Dar:

$ pr_{Ox} \overline {OO'} = \overline {OO'} \cdot \overline i = (a-b) \cos \varphi \; \; pr_{Oy} \overline {OO'} = (a-b) \sin \varphi \! $
$ pr_{Ox} \overline {O'M} \cdot \overline i = - O'S = - b \cos (\widehat {MO'x''}) = - b \cos (\varphi' - \varphi -180^{\circ}) = \! $
$ = b \cos (\varphi' - \varphi) = b \cos \frac {a-b}{b} \varphi, \! $
$ pr_{Oy} \overline{O'M} = \overline{O'M} \cdot \overline j = SM = b \sin (\widehat {MO'x''}) = b \sin (\varphi' - \varphi - 180^{\circ}) = \! $
$ = -b \sin (\varphi' - \varphi) = -b \sin \frac {a-b}{b} \varphi. \! $

Deoarece:

$ \widehat {MO'x''} + \widehat{x''O'O} + 180^{\circ} = \widehat {MO'N}, \! $

(în sens trigonometric) adică

$ \! $


Exemple de hipocicloide


Vezi șiEdit

Resurse Edit