Fandom

Math Wiki

Hipocicloidă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Hipocicloide3.gif

Hipocicloida este curba descrisă de un punct de pe un cerc care rulează fără să alunece, pe un alt cerc fix, cercurile fiind interioare.

Hipocicloide4.gif

Se alege reperul xOy, format din doi diametri perpendiculari ai cercului fix de centru O, astfel încât axa Ox sa treaca prin punctul A, punct initial de contact între cercurile considerate. Se considera rularea cercului de centru O’ din pozitia A într-o pozitie arbitrara, cu N punct de contact între cercul fix si cercul mobil. Punctul A va trece în punctul M.

Reprezentare hipocicloida.png

Se notează:

\varphi = \widehat {NOx}, \; \varphi' = \widehat {MO'N} \!

în sens trigonometric, şi se obţine:

\overset {\frown} {AN} = \overset {\frown}{MN}\!

(în sens trigonometric), adică:

a \varphi = b \varphi' \!

de unde:

\varphi'= \frac a b \varphi.

şi deci:

\varphi' - \varphi = \frac {a-b}{b} \varphi.

relaţie care se va utiliza în cele ce urmează.

Din triunghiul OO'MM se obţine:

\overline {OM} = \overline {OO'} + \overline {O'M}, \!

din care rezultă:

x= pr_{Ox}\overline {OO'} + pr_{Ox}\overline {O'M}, \; \; y= pr_{Oy}\overline {OO'} + pr_{Oy}\overline {O'M} \!

Dar:

pr_{Ox} \overline {OO'} = \overline {OO'} \cdot \overline i = (a-b) \cos \varphi  \; \; pr_{Oy} \overline {OO'} = (a-b) \sin \varphi  \!
pr_{Ox} \overline {O'M} \cdot \overline i = - O'S = - b \cos (\widehat {MO'x''}) = - b \cos (\varphi' - \varphi -180^{\circ}) = \!
= b \cos (\varphi' - \varphi) = b \cos \frac {a-b}{b} \varphi, \!
pr_{Oy} \overline{O'M} = \overline{O'M} \cdot \overline j = SM = b \sin (\widehat {MO'x''}) = b \sin (\varphi' - \varphi - 180^{\circ}) = \!
= -b \sin (\varphi' - \varphi)  = -b \sin \frac {a-b}{b} \varphi. \!

Deoarece:

\widehat {MO'x''} + \widehat{x''O'O} + 180^{\circ} = \widehat {MO'N}, \!

(în sens trigonometric) adică

 \!


Exemple de hipocicloide.png


Vezi șiEdit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki