Fandom

Math Wiki

Hiperbolă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Reprezentarea grafica a hiperbolei.png

Definiţie. Hiperbola este locul geometric al punctelor din planul euclidian \mathcal E_2 \! pentru care valoarea absolută a diferenţei distanţelor la două puncte fixe, distincte F_1 \! şi F_2 \! este constantă.


Fiind date punctele distincte F_1 \! şi F_2 \! din plan (focarele) cu F_1F_2 = 2c \! şi numărul pozitiv a<c, \! se numeşte hiperbolă mulţimea punctelor M ale planului pentru care modulul diferenţei distanţelor până la punctele F_1 \! şi F_2 \! este egal cu 2a \!:

|MF_1-MF_2| = 2a. \!

Ecuaţia canonică a hiperbolei, ale cărui focare sunt situate pe axa absciselor şi sunt simetrice faţă de originea sistemului de axe ortogonale, are forma:

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. \!   (1)
Reprezentare hiperbola.png

unde:

b^2= c^2-a^2>0. \!   (2)

Ecuaţia (1) este ecuaţia carteziană redusă a hiperbolei.

Dacă a = b, \! hiperbola se numeşte echilateră.

Ecuaţiile parametrice sunt:

\begin{cases} x = \pm a \cosh t & \\ & t \in \mathbb R \\ y= d \sinh t  & \end{cases} \!


Elementele principale ale hiperbolei sunt:

  • focarele: F_1 (-c, 0), F_2 (c, 0); \!
  • vârfurile: A'(-a, 0), A(a, 0); \!
  • semiaxele: a, b;
  • asimptotele: dreptele y = \pm \frac b a x; \!
  • directoarele: x = \pm \frac {a^2}{c}; \!
  • excentricitatea: e = \frac c a>1. \!

Axele Ox şi Oy ale reperului xOy sunt axe de simetrie ale hiperbolei iar originea reperului este centru de simetrie al hiperbolei.


Hiperbola dată de ecuaţia (1) reprezintă şi locul geometric al punctelor M(x, y) \in \mathcal E_2, \! care satisfac una din relaţiile:

\frac{\| \overline{MF_1} \|}{\delta (M, d_1)} = e \! sau \frac{\| \overline{MF_2} \|}{\delta (M, d_2)} = e, \!

unde dreptele d_1, d_2 \! sunt directoarele hiperbolei.

Tangenta la hiperbolă, într-un punct al acesteia, este bisectoarea unghiului razelor focale (proprietatea optică a hiperbolei).


Ecuaţia tangentei la hiperbolă:

y = mx \pm \sqrt {a^2 m^2 -b^2}. \!

Ecuaţia tangentei în punctul M(x_0, y_0) \! (punct ce aparţine hiperbolei!):

\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1, \; \; m = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac {x_0}{y_0}. \!

Pentru a determina ecuaţia tangentei la hiperbolă dintr-un punct exterior acesteia, avem variantele:

1. Se scrie ecuaţia tangentei de pantă dată şi se pune condiţia ca punctul să aparţină tangentei şi astfel se obţine m.

2. Se rezolvă sistemul:

y - y_0 = m(x-x_0) \!
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \!

cu condiţia \Delta =0. \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki