Fandom

Math Wiki

Grup

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Un cuplu (G, *), \! format dintr-o mulţime nevidă G şi cu o lege de compoziţie "* \!" pe G, se numeşte grup dacă legea de compoziţie este asociativă, are element neutru şi orice element din M este simetrizabil.

Dacă, în plus, legea "* \!" este comutativă, atunci G se numeşte grup comutativ sau abelian.


Un cuplu (M, *) \! format cu o mulţime nevidă M şi o lege de compoziţie "* \!" pe M se numeşte monoid dacă legea "* \!" este asociativă şi are element neutru.


Reguli de simplificare într-un grup

Fie (G, *), \! un grup. Pentru orice a, b, c \in G \! avem:

a*b= a*c \Rightarrow b=c \! şi
b*a= c*a \Rightarrow b=c. \!

Grupuri de matrice Edit

GL_2 (\mathbb R) = \{ A \in \mathcal M_2(\mathbb R) \; | \; \mathit {det} A \neq 0 \} \!

înzestrat cu înmulţirea formează un grup numit grupul general liniar de grad 2.

Submulţimile

SL_2 (\mathbb R) = \{ A \in GL_2 (\mathbb R) \; | \; |A|=1 \}, \!
O(2) = \{ A \in GL_2 (\mathbb R) \; | \; {}^tA=A^{-1} \},\!
SO(2)= \{ A \in O(2) \; | \; \mathit {det}A =1 \}, \!

înzestrate cu înmulţirea matricelor formează grupuri de matrice, numite respectiv grupul special liniar de grad 2 peste \mathbb R, \! grupul ortogonal de grad 2 şi grupul ortogonal special de grad 2.


Pentru n \in \mathbb N^* \! pot fi definite grupurile SL_n (\mathbb Q), SL_n(\mathbb R) \! şi SL_n (\mathbb C), \! numite grupul special liniar de grad n peste \mathbb Q, \mathbb R, \! respectiv \mathbb C. \! De asemenea, pot fi introduse grupurile O(n) \! şi SO(n), \! numite respectiv grupul ortogonal de grad n şi grupul ortogonal special de grad n.

Morfism de grupuri Edit

Fie grupurile (G, \circ) \! şi (G', *). \! Funcţia f:G \rightarrow G' \! se numeşte morfism de grupuri dacă:

f(x \circ y) = f(x) * f(y), \; \forall x, y \in G. \!


Fie (G, \circ) \! şi (G', *). \! două grupuri. O funcţie f:G \rightarrow G' \! se numeşte izomorfism de grupuri dacă:

(1) f(x \circ y) = f(x) * f(y), \; \forall x, y \in G \!

(2) f este bijectivă.


Spunem că grupul G \! este izomorf cu grupul G' \! şi scriem G \simeq G', \! dacă există un izomorfism f:G \rightarrow G'. \! În caz contrar, spunem că grupul G \! nu este izomorf cu grupul G' \! şi scriem G \not \simeq G'. \!


Dacă G este grup, atunci un morfism (izomorfism) f:G \rightarrow G \! se numeşte endomorfism (respectiv automorfism) al grupului G.

Grup de permutări Edit

Fie A o mulţime finită cu n elemente, n \in \mathbb N^*. \! O funcţie bijectivă \sigma: A \rightarrow A \! se numeşte permutare a mulţimii A. Vom nota cu S_A \! mulţimea tuturor permutărilor mulţimii A.

Pentru \sigma , \pi \in S_A, \! compunerea permutărilor \sigma \! şi \pi \! este funcţia \sigma \circ \pi :A \rightarrow A, \! cu (\sigma \circ \pi) (x) = \sigma (\pi (x)), \; x \in A. \! Funcţia \sigma \circ \pi \! este de asemenea bijectivă, deci \sigma \circ \pi \in S_A. \! (S_A, \circ) \! este grup. Grupul permutărilor mulţimii \{1, 2, \cdots , n \} \! se notează (S_n, \circ). \!

Subgrup Edit

Fie (G, *) \! un grup şi H o parte stabilă a lui G. (H, *) \! se numeşte subgrup al lui G dacă (H, *) \! este grup.

Fie (G, \cdot) \! un grup de element neutru e şi a \in G. \! Spunem că a este element de ordin finit al grupului G dacă există m>0 \! astfel încât d^m=e .\!

Dacă a este element de ordin finit, atunci cel mai mic număr m>0 \! cu proprietatea a^m=e \! se numeşte ordinul lui a şi notăm ord \; a = m .\!

Grup de transformări geometrice Edit

O aplicaţie T: \mathcal P \rightarrow \mathcal P \! se numeşte transformare geometrică a planului \mathcal P. \! Vom spune că T este izometrie dacă T conservă distanţele dintre puncte:

d(T(A), T(B)) = d(A, B), \; \forall A, B \in \mathcal P. \!

Notăm cu \mathrm {Izom}(\mathcal P) \! mulţimea tuturor izometriilor planului \mathcal P. \! Dacă T_1 \! şi T_2 \! sunt izometrii, atunci şi T_1 \circ T_2 \! este o izometrie. (\mathrm {Izom}(\mathcal P), \circ) \! este un grup, numit grupul izometriilor planului \mathcal P.\!

Fie F o figură plană, F \subset \mathcal P \! şi T: \mathcal P \rightarrow \mathcal P \! o izometrie; notăm cu T(F) = \{ T(P) \; | \; P \in F \}. \! Spunem că T invariază (global) pe F dacă T(F)= F.\!

Notăm cu \mathrm {Sim} (F) \! mulţimea tuturor izometriilor care invariază pe F. \mathrm {Sim} (F) \! este un subgrup al grupului (\mathrm {Izom}(\mathcal P), \circ) \!, numit grupul de simetrie al lui F.

Fie n \in \mathbb N, \; n \ge 3 \! şi P_n \! un poligon regulat cu n laturi din planul \mathcal P. \! Grupul de simetrie al lui P_n \! se notează D_n = \mathrm{Sym}(P_n) \! şi se numeşte grupul diedral.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki