FANDOM


Un cuplu $ (G, *), \! $ format dintr-o mulţime nevidă G şi cu o lege de compoziţie "$ * \! $" pe G, se numeşte grup dacă legea de compoziţie este asociativă, are element neutru şi orice element din M este simetrizabil.

Dacă, în plus, legea "$ * \! $" este comutativă, atunci G se numeşte grup comutativ sau abelian.


Un cuplu $ (M, *) \! $ format cu o mulţime nevidă M şi o lege de compoziţie "$ * \! $" pe M se numeşte monoid dacă legea "$ * \! $" este asociativă şi are element neutru.


Reguli de simplificare într-un grup

Fie $ (G, *), \! $ un grup. Pentru orice $ a, b, c \in G \! $ avem:

$ a*b= a*c \Rightarrow b=c \! $ şi
$ b*a= c*a \Rightarrow b=c. \! $

Grupuri de matrice Edit

$ GL_2 (\mathbb R) = \{ A \in \mathcal M_2(\mathbb R) \; | \; \mathit {det} A \neq 0 \} \! $

înzestrat cu înmulţirea formează un grup numit grupul general liniar de grad 2.

Submulţimile

$ SL_2 (\mathbb R) = \{ A \in GL_2 (\mathbb R) \; | \; |A|=1 \}, \! $
$ O(2) = \{ A \in GL_2 (\mathbb R) \; | \; {}^tA=A^{-1} \},\! $
$ SO(2)= \{ A \in O(2) \; | \; \mathit {det}A =1 \}, \! $

înzestrate cu înmulţirea matricelor formează grupuri de matrice, numite respectiv grupul special liniar de grad 2 peste $ \mathbb R, \! $ grupul ortogonal de grad 2 şi grupul ortogonal special de grad 2.


Pentru $ n \in \mathbb N^* \! $ pot fi definite grupurile $ SL_n (\mathbb Q), SL_n(\mathbb R) \! $ şi $ SL_n (\mathbb C), \! $ numite grupul special liniar de grad n peste $ \mathbb Q, \mathbb R, \! $ respectiv $ \mathbb C. \! $ De asemenea, pot fi introduse grupurile $ O(n) \! $ şi $ SO(n), \! $ numite respectiv grupul ortogonal de grad n şi grupul ortogonal special de grad n.

Morfism de grupuri Edit

Fie grupurile $ (G, \circ) \! $ şi $ (G', *). \! $ Funcţia $ f:G \rightarrow G' \! $ se numeşte morfism de grupuri dacă:

$ f(x \circ y) = f(x) * f(y), \; \forall x, y \in G. \! $


Fie $ (G, \circ) \! $ şi $ (G', *). \! $ două grupuri. O funcţie $ f:G \rightarrow G' \! $ se numeşte izomorfism de grupuri dacă:

(1) $ f(x \circ y) = f(x) * f(y), \; \forall x, y \in G \! $

(2) f este bijectivă.


Spunem că grupul $ G \! $ este izomorf cu grupul $ G' \! $ şi scriem $ G \simeq G', \! $ dacă există un izomorfism $ f:G \rightarrow G'. \! $ În caz contrar, spunem că grupul $ G \! $ nu este izomorf cu grupul $ G' \! $ şi scriem $ G \not \simeq G'. \! $


Dacă G este grup, atunci un morfism (izomorfism) $ f:G \rightarrow G \! $ se numeşte endomorfism (respectiv automorfism) al grupului G.

Grup de permutări Edit

Fie A o mulţime finită cu n elemente, $ n \in \mathbb N^*. \! $ O funcţie bijectivă $ \sigma: A \rightarrow A \! $ se numeşte permutare a mulţimii A. Vom nota cu $ S_A \! $ mulţimea tuturor permutărilor mulţimii A.

Pentru $ \sigma , \pi \in S_A, \! $ compunerea permutărilor $ \sigma \! $ şi $ \pi \! $ este funcţia $ \sigma \circ \pi :A \rightarrow A, \! $ cu $ (\sigma \circ \pi) (x) = \sigma (\pi (x)), \; x \in A. \! $ Funcţia $ \sigma \circ \pi \! $ este de asemenea bijectivă, deci $ \sigma \circ \pi \in S_A. \! $ $ (S_A, \circ) \! $ este grup. Grupul permutărilor mulţimii $ \{1, 2, \cdots , n \} \! $ se notează $ (S_n, \circ). \! $

Subgrup Edit

Fie $ (G, *) \! $ un grup şi H o parte stabilă a lui G. $ (H, *) \! $ se numeşte subgrup al lui G dacă $ (H, *) \! $ este grup.

Fie $ (G, \cdot) \! $ un grup de element neutru e şi $ a \in G. \! $ Spunem că a este element de ordin finit al grupului G dacă există $ m>0 \! $ astfel încât $ d^m=e .\! $

Dacă a este element de ordin finit, atunci cel mai mic număr $ m>0 \! $ cu proprietatea $ a^m=e \! $ se numeşte ordinul lui a şi notăm $ ord \; a = m .\! $

Grup de transformări geometrice Edit

O aplicaţie $ T: \mathcal P \rightarrow \mathcal P \! $ se numeşte transformare geometrică a planului $ \mathcal P. \! $ Vom spune că T este izometrie dacă T conservă distanţele dintre puncte:

$ d(T(A), T(B)) = d(A, B), \; \forall A, B \in \mathcal P. \! $

Notăm cu $ \mathrm {Izom}(\mathcal P) \! $ mulţimea tuturor izometriilor planului $ \mathcal P. \! $ Dacă $ T_1 \! $ şi $ T_2 \! $ sunt izometrii, atunci şi $ T_1 \circ T_2 \! $ este o izometrie. $ (\mathrm {Izom}(\mathcal P), \circ) \! $ este un grup, numit grupul izometriilor planului $ \mathcal P.\! $

Fie F o figură plană, $ F \subset \mathcal P \! $ şi $ T: \mathcal P \rightarrow \mathcal P \! $ o izometrie; notăm cu $ T(F) = \{ T(P) \; | \; P \in F \}. \! $ Spunem că T invariază (global) pe F dacă $ T(F)= F.\! $

Notăm cu $ \mathrm {Sim} (F) \! $ mulţimea tuturor izometriilor care invariază pe F. $ \mathrm {Sim} (F) \! $ este un subgrup al grupului $ (\mathrm {Izom}(\mathcal P), \circ) \! $, numit grupul de simetrie al lui F.

Fie $ n \in \mathbb N, \; n \ge 3 \! $ şi $ P_n \! $ un poligon regulat cu n laturi din planul $ \mathcal P. \! $ Grupul de simetrie al lui $ P_n \! $ se notează $ D_n = \mathrm{Sym}(P_n) \! $ şi se numeşte grupul diedral.

Vezi şi Edit

Resurse Edit