Fandom

Math Wiki

Gravitație

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Math-problems-gravitational-constant.jpg

Câmpul forțelor atractive, determinat de ansamblul materiei din Univers în conformitate cu legea atracției universale. Constituie un câmp potențial, fiind deosebit de puternic in vecinatatea unui astru; de aceea, local el poate fi considerat ca provenind numai de la astrul respectiv, acesta fiind si acceptiunea sa curenta. Este caracterizat de intensitatea câmpului gravitațional, denumita si acceleratie gravitationala. Orice corp creeaza in jurul sau câmp gravitațional si de asemenea sufera actiunea campului gravitational creat de alte corpuri.


Studiul mișcării planetelor își are începuturile în astronomie, în observațiile și analizele asupra traiectoriilor Soarelui, a Lunii și a celor cinci planete vizibile cu ochiul liber (Mercur, Venus, Marte, Jupiter și Saturn). Cuvântul planetă derivă din greacă, unde inseamnă dorință. Ei studiau aceste corpuri care "stăteau cumva atârnate deasupra capului lor", considerându-le ca divine și multe dintre activitățile zilnice crezând că sunt influențate de poziția lor. De aceea doreau să le prezică viitoarele poziții.

Astronomul grec Ptolemeu a propus un sistem în care Pământul era în centru și toate celelate planete, Soarele, Luna se învârteau în jurul său. Alegând o combinație anume de mase și viteze, el putea să prezică mișcarea planetelor cu o acuratețe destul de bună. Schema lui a fost adoptată și a supraviețuit mai mult de 1000 ani, până la Copernicus. Acesta a stabilit modelul heliocentric, mult mai simplu, în care Soarele este în centru și a demonstrat că toate măsurătorile verifică acest lucru. Tycho Brahe (1546-1601), care s-a născut la trei ani după moartea lui Copernicus, a imaginat un sistem în care Pământul era în centru, Soarele și Luna se roteau în jurul său, iar celelate planete se roteau în jurul Soarelui. Oricum, după el au rămas însemnări multiple cu o acuratețe de 2 minute de arc (un minut de arc are 1/60 grade). Observațiile lui Tycho au fost moștenite de către Kepler (1571-1630), care a obținut cele trei legi empirice ale sale.

Legile lui Kepler. Legea atracției universale (gravitaționale Edit

Legea a doua a lui Kepler.png

Fig. 1

Legile de mișcare ale planetelor în jurul Soarelui au fost stabilite de Johannes Kepler după calcule de aproape două decenii, pe baza observațiilor de mare precizie ale lui Tycho Brahe și ele au următorul enunț: 1. Planetele se mișcă în jurul Soarelui pe traiectorii eliptice, Soarele aflându-se în unul din focare

2. Razele vectoare, duse de la Soare la planetă, descriu arii egale în timpi egali, adică viteza areolară sau sectorială este constantă (Fig. 1)

3. Pătratele timpilor de revoluție ale planetelor în jurul Soarelui sunt proporționale cu cuburile semiaxelor mari ale elipselor

T^2 = k \cdot r^3 \!   (1)
Aria elementara descrisa de raza vectoare.png

Fig. 2

Pentru a scrie aria descrisă de raza vectoare, folosim formula ariei triunghiului (produsul laturilor cu sinusul unghiului dintre ele):

\Delta S \cong \frac 1 2 r (r+ \Delta r) \sin (\Delta \varphi) \overset {\Delta \varphi \to 0}{\longrightarrow} dS = \frac{r^2 d \varphi}{2} \overset {sau}{=} \frac{|\vec r||d \vec r| \sin (\vec r, d \vec r)}{2} \Rightarrow

\Rightarrow d \vec S = \frac 1 2 \vec r \times d \vec r \!   (2)

Ultima expresie ne arată că aria elementară se poate reprezenta printr-un vector perpendicular pe arie (Fig.2).


Viteza areolară se definește ca fiind variația ariei descrise de raza vectoare a planetei în unitatea de timp:

\vec \Omega = \frac{d \vec S}{dt} = \frac 1 2 \vec r \times \frac{d \vec r}{dt} = \frac 1 2 \vec r \times \vec v = \frac{1}{2m} \vec r \times \vec p = \frac{1}{2m} \vec L \!   (3)

Pentru mișcarea plană, formula vitezei areolare devine:

\Omega = \frac{dS}{dt} = \frac 1 2 r^2 \frac{d \varphi}{dt} = \frac 1 2 r^2 \dot \varphi \; \longrightarrow \; L=2m \Omega = mr^2 \dot \varphi = I \dot \varphi \!   (4)


Legea a doua ne spune că viteza areolară este constantă, dar folosind ultima expresie se poate spune că vectorul moment cinetic al planetei față de Soare este constant.

Din legile lui Kepler, pe baza legii fundamentale a dinamicii, Newton a dedus legea atracției universale. Dacă aproximăm traiectoria eliptică a planetelor cu un cerc, atunci vitezele unghiulară și liniară sunt constante, iar asupra planetei se exercită o forță centripetă:

F=m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r = 4 \pi^2 m \frac{r}{T^2} \; \; \overset {legea \; 3 \; Kepler}{\longrightarrow} \; F=\frac{4 \pi^2}{k} \frac{m}{r^2} \sim \frac{m^2}{r} \!   (5)


Deci forța exercitată de Soare asupra planetei este proporțională cu masa planetei și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele. Dar conform principiului trei al mecanicii, o forță egală și de sens contrar se exercită din partea planetei asupra Soarelui, deci forța atracției dintre ele trebuie să fie proporțională și cu masa Soarelui. Alegând convenabil constanta, se scrie expresia forței atracției universale:

\begin{vmatrix} ----------- \\ \\ \mathbf {F= - \gamma \frac{Mm}{r^2}} \\  \\ ----------- \end{vmatrix} \!   (5)

unde m este masa planetei, M este masa Soarelui (sau a celuilalt corp între care se exercită forțele reciproc), r este distanța dintre ele, iar \gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} N \frac{m^2}{kg^2} \! este constanta atracției universale. Forțele gravitaționale sunt importante numai dacă unul din corpuri are dimensiuni astronomice (om-Pământ) sau ambele (între corpuri cerești).

Câmp gravitațional Edit

Camp gravitational 1.png

Camp gravitational 2.png

Camp gravitational 3.png

Camp gravitational 4.png

Camp gravitational 5.png

Camp gravitational 6.png

Resurse Edit

Vezi și Edit

Also on Fandom

Random Wiki