FANDOM


Bine ordonată
O mulțime ordonată A se numeşte bine ordonată dacă orice submulţime nevidă a sa are prim element.
Complet ordonată
O mulțime ordonată A se numeşte complet ordonată dacă orice submulţime nevidă şi majorată a sa are supremum.
Convexă (mulțime $ \sim \! $)
Fie A o mulțime ordonată şi $ X \subseteq A. \! $ X se numeşte convexă dacă pentru orice $ x, y \in X \! $ şi $ a \in A \! $ cu proprietatea $ x \le a \le y \! $ rezultă $ a \in X. \! $
Infimum
Fie A o mulțime ordonată şi $ X \subseteq A, \; X \neq \varnothing. \! $ Dacă mulţimea majoranţilor lui X are cel mai mare element $ a \in A, \! $ atunci a se numeşte infimumul mulţimii X şi se notează $ inf \; A. \! $
Majorant
Fie A o mulțime ordonată şi $ X \subseteq A. \! $ Un element $ a \in A \! $ se numeşte majorant al mulţimii X dacă:
$ x \le a \; \forall x \in X. \! $
Majorată (mulțime $ \sim \! $)
Fie A o mulțime ordonată şi $ X \subseteq A. \! $ Mulţimea X se numeşte majorată dacă:
$ \exists x \in X \! $ a.î. $ x \ge a \; \forall a \in A \! $
Maximal (element $ \sim \! $)
Elementul a al mulţimii ordonate A se numeşte element maximal dacă $ x \in A \! $ şi $ x \ge a \! $ implică $ x=a. \! $
Minimal (element $ \sim \! $)
Elementul a al mulţimii ordonate A se numeşte element maximal dacă $ x \in A \! $ şi $ x \le a \! $ implică $ x=a. \! $
Minorant
Fie A o mulțime ordonată şi $ X \subseteq A. \! $ Un element $ a \in A \! $ se numeşte minorant al mulţimii X dacă:
$ x \ge a \; \forall x \in X. \! $
Minorată (mulțime $ \sim \! $)
Fie A o mulțime ordonată şi $ B \subseteq A. \! $ Mulţimea X se numeşte minorată dacă:
$ \exists x \in X \! $ a.î. $ x \le a \; \forall a \in A \! $
Mulțime ordonată
Mulțimea A se numeşte ordonată dacă pe acesta s-a definit o relație de ordine.
Predecesor
Fie A o mulțime ordonată. Elementul $ y \in A \! $ se numeşte predecesorul lui $ x \in A \! $ dacă $ y<x \! $ şi $ y \le z < x \! $ implică $ y=z. \! $
Prim element
Fie A o mulțime ordonată. Elementul $ a \in A \! $ se numeşte prim element dacă $ x \ge a \; \forall x \in A. \! $
Relație de ordine
O relaţie binară $ \mathcal R \! $ în mulţimea A este o relaţie de ordine parţială dacă are următoarele proprietăţi: $ \mathcal R \! $ este relaţie parţială; $ \mathcal R \! $ este reflexivă; $ \mathcal R \! $ este antisimetrică; $ \mathcal R \! $ este tranzitivă, cu alte cuvinte, sunt satisfăcute simultan condiţiile:

1. $ (x, x) \in \mathcal R \; \forall x \in A. \! $
2. $ (x, y) \in \mathcal R \; \land \; (y, z) \in \mathcal R \; \Rightarrow \; (x, z) \in \mathcal R. \! $
3. $ (x, y) \in \mathcal R \; \land \; (y, x) \in \mathcal R \; \Rightarrow \; x=y. \! $

Total ordonată
O mulțime ordonată A se numeşte total ordonată (sau liniar ordonată) dacă:
$ \forall a, b \in A \; \Rightarrow \; a \le b \; \lor \; a \ge b. \! $
Succesor
Fie A o mulțime ordonată. Elementul $ y \in A \! $ se numeşte predecesorul lui $ x \in A \! $ dacă $ y>x \! $ şi $ y \ge z > x \! $ implică $ y=z. \! $
Supremum
Fie A o mulțime ordonată şi $ X \subseteq A, \; X \neq \varnothing. \! $ Dacă mulţimea majoranţilor lui X are cel mai mic element $ a \in A, \! $ atunci a se numeşte supremumul mulţimii X şi se notează $ sup \; A. \! $
Ultim element
Fie A o mulțime ordonată. Elementul $ a \in A \! $ se numeşte ultim element dacă $ x \le a \; \forall x \in A. \! $