FANDOM


Graficele functiilor hiperbolice

Graficele funcţiilor hiperbolice

Introducere Edit

Pe lângă funcţiile trigonometrice circulare, există şi funcţiile hiperbolice:

$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \! $
$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \! $
$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \! $
$ sech \; x = \frac{1}{\cosh x} \! $
$ csch \; x = \frac{1}{\sinh x} \! $
$ \coth x = \frac{1}{\tanh x}. \! $
  (1)


În mod analog cu relaţia $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \! $ avem:

$ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \! $   (2)

Relaţia $ 1+ \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \! $ are ca analog:

$ 1- \tanh^2 \theta = sech^2 \; x \! $   (3)

Explicaţia acestor analogii rezidă în formulele $ \sin (ix) = i \sin x, \; \; \cos (ix) = i \cos x. \! $


Funcţiile hiperbolice inverse sunt mai uşor de evaluat decât corespondentele lor circulare. Astfel:

$ y = \sinh x \; \Leftrightarrow \; x = \sinh^{-1}y. \! $

Deci trebuie rezolvată ecuaţia în x:

$ y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}. \! $

Obţinem ecuaţia de gradul al doilea:

$ 2 e^x y = e^{2x} -1 \! $

sau:

$ (e^x)^2 -2y (e^x) -1 =0. \! $

Soluţiile sunt $ e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1} \! $ şi deoarece $ \sqrt {y^2 +1} > y, \! $ trebuie să luăm numai semnul pozitiv pentru a obţine un $ e^x \! $ pozitiv.

Utilizăm funcţia logaritm natural şi soluţia este:

Grafic sinus hiperbolic si inversa

Graficele funcţiei sinus hiperbolic şi al inversei sunt simetrice faţă de prima bisectoare a axelor.

$ x= \sinh^2 y = \ln (y + \sqrt {y^2+1}), \; \; (-\infty < y < + \infty) \! $

Cum însă $ x \in (-\infty, + \infty), \! $ înseamnă că şi $ \sinh x \! $ parcurge întreg intervalul $ (-\infty, + \infty). \! $ Deci domeniul lui $ \sinh^{-1} y \! $ este $ (-\infty, + \infty). \! $ Graficul funcţiei inverse este simetricul celei directe faţă de prima bisectoare a axelor de coordonate.


Inversele funcţiilor hiperbolice Edit

Funcţiile hiperbolice inverse sunt date de:

$ \sinh^{-1} y = \ln (y+ \sqrt{y^2 + 1}) \! $
$ \cosh^{-1} y = \ln (y \pm \sqrt{y^2 - 1}), \; \; y \ge 1 \! $
$ \tanh^{-1} y = \frac 1 2 \ln \frac{1+ y}{1-y}, \; \; |y| <1 \! $
$ \coth^{-1} y = \frac 1 2 \ln \frac{y +1}{y-1}, \; \; |y| >1 \! $
     (4)

De obicei, formula pentru $ \cosh^{-1} \! $ se ia cu semnul plus.


Derivatele funcţiilor hipebolice Edit

$ \frac{d}{dx} \sinh x = \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x e^{-x}}{2} = \cosh h. \! $

La fel, $ \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x. \! $ (nu apare semnul minus ca la funcţiile circulare!)

Utilizarea funcţiilor hiperbolice Edit

Resurse Edit