Fandom

Math Wiki

Funcție hiperbolică

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Graficele functiilor hiperbolice.gif

Graficele funcţiilor hiperbolice

Introducere Edit

Pe lângă funcţiile trigonometrice circulare, există şi funcţiile hiperbolice:

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \!
\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \!
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \!
sech \; x = \frac{1}{\cosh x} \!
csch \; x  = \frac{1}{\sinh x} \!
\coth x = \frac{1}{\tanh x}. \!
  (1)


În mod analog cu relaţia \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \! avem:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \!   (2)

Relaţia 1+ \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \! are ca analog:

1- \tanh^2 \theta = sech^2 \; x \!   (3)

Explicaţia acestor analogii rezidă în formulele \sin (ix) = i \sin x, \; \; \cos (ix) = i \cos x. \!


Funcţiile hiperbolice inverse sunt mai uşor de evaluat decât corespondentele lor circulare. Astfel:

y = \sinh x \; \Leftrightarrow \; x = \sinh^{-1}y. \!

Deci trebuie rezolvată ecuaţia în x:

y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}. \!

Obţinem ecuaţia de gradul al doilea:

2 e^x y = e^{2x} -1 \!

sau:

(e^x)^2  -2y (e^x) -1 =0. \!

Soluţiile sunt e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1} \! şi deoarece \sqrt {y^2 +1} > y, \! trebuie să luăm numai semnul pozitiv pentru a obţine un e^x \! pozitiv.

Utilizăm funcţia logaritm natural şi soluţia este:

Grafic sinus hiperbolic si inversa.png

Graficele funcţiei sinus hiperbolic şi al inversei sunt simetrice faţă de prima bisectoare a axelor.

x= \sinh^2 y = \ln (y + \sqrt {y^2+1}), \; \; (-\infty < y < + \infty) \!

Cum însă x \in (-\infty, + \infty), \! înseamnă că şi \sinh x \! parcurge întreg intervalul (-\infty, + \infty). \! Deci domeniul lui \sinh^{-1} y \! este (-\infty, + \infty). \! Graficul funcţiei inverse este simetricul celei directe faţă de prima bisectoare a axelor de coordonate.


Inversele funcţiilor hiperbolice Edit

Funcţiile hiperbolice inverse sunt date de:

\sinh^{-1} y = \ln (y+ \sqrt{y^2 + 1}) \!
\cosh^{-1} y = \ln (y \pm \sqrt{y^2 - 1}), \; \; y \ge 1 \!
\tanh^{-1} y = \frac 1 2 \ln \frac{1+ y}{1-y}, \; \; |y| <1 \!
\coth^{-1} y = \frac 1 2 \ln \frac{y +1}{y-1}, \; \; |y| >1  \!
     (4)

De obicei, formula pentru \cosh^{-1} \! se ia cu semnul plus.


Derivatele funcţiilor hipebolice Edit

\frac{d}{dx} \sinh x  = \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x  e^{-x}}{2} = \cosh h. \!

La fel, \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x. \! (nu apare semnul minus ca la funcţiile circulare!)

Utilizarea funcţiilor hiperbolice Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki