FANDOM


Să examinăm integrala:

$ U = \int_0^x \frac{d \nu}{1-\nu^2} =\arcsin x \! $   (1)

Valoarea integralei (2.1) este o funcţie de limita superioară a acesteia. Dacă vom examina limita superioară x ca funcţie de valorile integralei U, cu alte cuvinte, funcţia inversă, vom obţine o funcţie omogenă, regulată şi periodică:

$ x =\sin U \! $   (2)

În acest caz funcţia x ca limita de sus se obţine în urma inversiunii integralei (1).

Funcţiile eliptice, în general, sunt similare cu funcţiile trigonometrice şi sunt o generalizare a acestora. Introducem o nouă variabilă:

$ t = \sin \psi \! $   (3)

În consecinţă, integrala eliptică:

$ F(k, \psi) = \int_0^P \frac {d \psi}{1-k^2 \sin^2 \psi} \! $

ia forma:

$ F(k, \psi) = W = \int_0^{\sin \psi} \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} \! $   (4)

Prin analogie cu (1), inversând integrala (4) obţinem:

$ z= \sin \psi = snW = sn F(k, \psi) \! $   (5)

Examinăm limita superioară $ \phi \! $ a integralei eliptice menţionate:

$ W= F(k, \psi) = \int_0^F \frac{d \psi}{1-k^2 \sin^2 \psi} \! $   (6)

şi utilizând relaţia:

$ \varphi =amW \! $   (7)

vom numi limita superioară amplitudine, iar mărimea W - argument

$ W=\mathit{arg} \varphi \! $   (8)

Astfel, integralele (4) şi (6) generează două funcţii eliptice:

$ \varphi=am \; W \! $   (9)

şi

$ z=\sin \varphi = \sin amW = \mathit{sn} W \! $   (10)

Funcţia z se numeşte sinusul amplitudinii sau sinusul eliptic. Există încă două funcţii eliptice:

$ \Phi=\mathit{cn}W= \cos \varphi = \cos \mathit{am}W \! $   (11)
$ \Phi=dnW = \Delta \varphi = \sqrt{1-k^2 \sin^2 \varphi} = \frac{d \varphi}{dW} \! $   (12)

care se numesc cosinusul amplitudinii sau cosinusul eliptic şi, respectiv, delta amplitudine. Aceste funcţii au fost introduse de către Jacobi şi îi poartă numele.

Funcţiile Jacobi pot fi prezentate sub formă de şiruri de putere:

$ amx = x- \frac{k^2}{3!}x^3 + \frac{k^2(4+k^2)}{5!}x^5- \frac{k^2(16+44k^2+k^4)}{7!}+ \! $
$ +\frac{k^2(64+91k^2+408k^4+k^6)}{9!}x^9- \cdots , \! $   (13)
$ \mathit{sn} x= x-\frac{1+k^2}{3!}x^3 + \frac{1+14k^2+k^4}{5!}x^5- \frac{1+135k^2+135k^4+k^6}{7!}x^7+ \! $
$ + \frac{1+1228k^2+5478k^4+1128k^6+k^8}{9!}x^9 - \cdots , \! $   (14)
$ cn \; x= 1-\frac {1}{2!} x^2 + \frac{1+4k^2}{4!}x^4 - \frac{1-44k^2+16k^4}{6!}x^6 + \! $
$ + \frac{1+408k^2 + 912k^4+64k^6}{8!}x^8 - \cdots \! $   (15)
$ dn \; x= 1-\frac{k^2}{2!}x^2 + \frac{k^2(4+k^2)}{4!}x^4 - \frac{k^2(16+44k^2+k^4)}{6!}x^6 + \! $
$ + \frac{k^2(64+912k^2+408k^4+k^6)}{8!}x^8 - \cdots \! $   (16)

Din relaţiile (5) - (12) este evident că:

$ sn \; 0=0 \! $
$ cn \; 0=0 \! $
$ dn \; 0=1 \! $
$ k'=\sqrt{1-k^2} \! $

Pentru k =? funcţia $ sn \; x=\cos x, \! $ iar $ dn \; x=1. \! $ Pentru $ k=1 \! $ avem $ sn \; x= th \; x, \;\; cn\; x= dn \; x = sech \; x. \! $

Mai menţionăm că funcţiile Jacobi sunt funcţii bioperiodice cu perioadă primitivă: $ sn \; x \! $ are perioadele egale cu $ 4K(k) \! $ şi $ 2iK'(k), \; ch \; x - 4K(k) \! $ şi $ 2K(k) + 2iK'(k), \! $ iar $ dn \; x - 2K(k) \! $ şi $ 4iK'(k), \! $ unde $ K'(k) = K(k'). \! $

În continuare, pentru a exemplifica utilizarea funcţiilor şi integralelor eliptice, vom examina două tipuri de oscilatori neliniari cu un singur grad de libertate: pendulul gravitaţional (matematic) neliniar şi oscilatorul anarmonic.

Elliptic Functions and Integral 13 Elliptic Functions and Integral 14 Elliptic Functions and Integral 15 Elliptic Functions and Integral 16 Elliptic Functions and Integral 17 Elliptic Functions and Integral 18

Vezi şi Edit

Resurse Edit