FANDOM


Prin funcţie complexă se înţelege orice funcţie cu valori complexe.


Definiţia 1. Spunem că funcţia reală de variabilă reală

$ f: (a, b) \longrightarrow \mathbb R \! $

este derivabilă în punctul $ t_0 \in (a, b) \! $ dacă există şi este finită limita

$ f'(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac {f(t)- f(t_0)}{t-t_0} \! $

numită derivata funcţiei f în punctul $ t_0. \! $


Observaţia 1. Definiţia anterioară nu poate fi extinsă direct la funcţiile de două variabile

$ f: D \subseteq \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R \! $

deoarece relaţia

$ f'(x_0, y_0) = \lim_{(x, y) \to (x_0), y_0} \frac {f(x, y) - f(x_0, y_0)}{(x, y) - (x_0, y_0)} \! $

este fără sens, împărţirea cu vectorul $ (x-x_0, y-y_0) = (x, y) - (x_0, y_0) \! $ nefiind definită.

Posibilitatea împărţirii cu un număr complex nenul permite însă definirea derivabilităţii unei funcţii de variabilă complexă urmând direct analogia cu cazul real.


Definiţia 2. Fie $ D \subseteq \mathbb C \! $ o mulţime deschisă. Spunem că funcţia complexă

$ f: D \longrightarrow \mathbb C \! $

este $ \mathbb C \! $-derivabilă (sau olomorfă) în punctul $ z_0 \in D \! $ dacă există şi este finită limita:

$ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac {f(z) - f(z_0)}{z-z_0} \! $

numită derivata funcţiei f în punctul $ z_0. \! $ În loc de $ f'(z_0) \! $ scriem uneori $ \frac {df}{dz} (z_0). \! $


Exemplul 1.

a) Funcţia

$ f: \mathbb C \longrightarrow \mathbb C, \; f(z)=z^3 \! $

este $ \mathbb C \! $-derivabilă în orice punct $ z_0 \in \mathbb C \! $

$ f'(z_0)= \lim_{z \to z_0} \frac {z^3-z^3_0}{z-z_0} = \lim_{z \to z_0} (z^2+z_0 z + z_0^2) = 3z_0^2 \! $

şi $ f'(z)=3z^2, \! $ adică avem:

$ (z^3)'=3z^2. \! $


3) Funcţia

$ f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z)=\overline z \! $

nu este $ \mathbb C \! $-derivabilă în $ z_0=1 \! $ deoarece limita

$ \lim_{z \to 1} \frac {\overline z -1}{z-1} \! $

nu există. Alegând şirul $ z_n=\frac{n}{n+1} \! $ cu $ \lim_{n \to \infty} z_n=1, \! $ obţinem:

$ \! $
$ \lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n -1}{z_n-1}=1 \! $

dar, alegând şirul $ z_n=1+ \frac{1}{n+1}i \! $ cu $ \lim_{n \to \infty} z_n = -1 \! $ obţinem

$ \! $
$ \lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n -1}{z_n-1}=-1 \! $


Observaţia 2. Bazându-ne pe identificarea lui $ \mathbb C \! $ cu $ \mathbb R^2 \! $

$ \mathbb C \rightarrow \mathbb R^2 \; : \; x+yi \mapsto (x, y) \! $

putem descrie orice funcţie complexă de o variabilă complexă

$ f:D \rightarrow \mathbb C \! $

cu ajutorul a două funcţii reale de câte două variabile reale

$ f(x+yi) = u(x, y) + v(x, y)i \! $

unde

$ u = \mathfrak {Re} f : D \rightarrow \mathbb R \! $ este partea reală a lui f
$ u = \mathfrak {Im} f : D \rightarrow \mathbb R \! $ este partea imaginară a lui f.


Exemplul 2. a) În cazul funcţiei

$ f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z)=\overline z \! $

avem

$ f(x+yi) = x-yi \! $

adică

$ u(x, y)=x, \; v(x, y)=-y. \! $


b) În cazul funcţiei

$ f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z)=z^2 \! $

avem

$ f(x+yi) = (x+yi)^2 = (x^2-y^2)+2xyi \! $

şi prin urmare

$ u(x, y) =x^2-y^2, \; \; v(x, y) = 2xy. \! $


Observaţia 3. Conform definiţiei, funcţia

$ f: D \rightarrow \mathbb C, \; f(x+yi) = u(x, y) + v(x, y)i \! $

este $ \mathbb C \! $-derivabilă în $ z_0=x_0+y_0i \! $ dacă şi numai dacă există şi este finită limita:

$ \lim_{z \to z_0} \frac {f(z)- f(z_0)}{z-z_0}. \! $

Pentru ca

$ \lim_{z \to z_0} \frac {f(z)- f(z_0)}{z-z_0} = \alpha + \beta i \! $

este necesar ca

$ \lim_{t \to 0} \frac {f(z_0+t)- f(z_0)}{t} = \alpha + \beta i, \; \; \; \lim_{t \to 0} \frac {f(z_0+ti)- f(z_0)}{ti} = \alpha + \beta i, \! $

adică să aibă loc relaţiile

$ \lim_{t \to 0} \frac {u(x_0+t, y_0) - u(x_0, y_0)}{t} + \lim_{t \to 0} \frac {v(x_0+t, y_0) - v(x_0, y_0)}{t}i = \alpha + \beta i \! $
$ \lim_{t \to 0} \frac {u(x_0, y_0+t) - u(x_0, y_0)}{ti} + \lim_{t \to 0} \frac {v(x_0, y_0+t) - v(x_0, y_0)}{ti}i = \alpha + \beta i \! $

echivalente cu

$ \frac{\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) = \alpha =\frac{\partial v}{\partial x} (x_0, y_0), \; \; \frac{\partial v}{\partial x} (x_0, y_0) = \beta = - \frac{\partial u}{\partial y} (x_0, y_0) \! $


În particular, dacă f este $ \mathbb C \! $-derivabilă în $ z_0=x_0 +y_0 i \! $ atunci:


$ f'(x_0 + y_0i) = \frac {\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) + \frac {\partial v}{\partial x} (x_0, y_0)i. \! $


Teorema 1 (Cauchy-Riemann) Funcţia

$ f: D \rightarrow \mathbb C, \; \; f(x+yi) = u(x, y) + v(x, y) i \! $

definită pe mulţimea deschisă $ D \subseteq \mathbb C \! $ este $ \mathbb C \! $-derivabilă în punctul $ z_0= x_0 +y_0i \in D \! $ dacă şi numai dacă funcţiile reale

$ u: D \rightarrow \mathbb R, \; \; \; v: D \rightarrow \mathbb R \! $

sunt $ \mathbb R \! $-diferenţiabile în $ (x_0, y_0) \! $ şi verifică relaţiile Cauchy-Riemann:

$ \frac{\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac {\partial v}{\partial y} (x_0, y_0), \; \; \; \frac {\partial u}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac {\partial v}{\partial x} (x_0, y_0). \! $

În aceste condiţii

$ f'(x_0+y_0i) = \frac {\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) + \frac {\partial v}{\partial x} (x_0, y_0)i. \! $


Definiţia 3. Fie $ D \subseteq \mathbb C \! $ o mulţime deschisă. Spunem că funcţia

$ f: D \rightarrow \mathbb C \! $

este $ \mathbb C \! $-derivabilă (sau olomorfă) dacă este $ \mathbb C \! $-derivabilă în orice punct din D.


Exerciţiul 1. Să se arate că funcţia

$ f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; \; \; f(z)=z^2 \! $

este olomorfă şi să se determine $ f'(z). \! $

Rezolvare. Utilizăm teorema Cauchy-Riemann. Avem

$ f(x+yi) = (x+yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi \! $

şi prin urmare

$ u(x, y) = x^2-y^2, \; \; \; v(x, y) = 2 xy \! $

Functie complexa 5

Functie complexa 6

Functie complexa 7

Functie complexa 8

Vezi şi Edit

Resurse Edit