Fandom

Math Wiki

Funcție complexă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Prin funcţie complexă se înţelege orice funcţie cu valori complexe.


Definiţia 1. Spunem că funcţia reală de variabilă reală

f: (a, b) \longrightarrow \mathbb R \!

este derivabilă în punctul t_0 \in (a, b) \! dacă există şi este finită limita

f'(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac {f(t)- f(t_0)}{t-t_0} \!

numită derivata funcţiei f în punctul t_0. \!


Observaţia 1. Definiţia anterioară nu poate fi extinsă direct la funcţiile de două variabile

f: D \subseteq \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R \!

deoarece relaţia

f'(x_0, y_0) = \lim_{(x, y) \to (x_0), y_0} \frac {f(x, y) - f(x_0, y_0)}{(x, y) - (x_0, y_0)} \!

este fără sens, împărţirea cu vectorul (x-x_0, y-y_0) = (x, y) - (x_0, y_0) \! nefiind definită.

Posibilitatea împărţirii cu un număr complex nenul permite însă definirea derivabilităţii unei funcţii de variabilă complexă urmând direct analogia cu cazul real.


Definiţia 2. Fie D \subseteq \mathbb C \! o mulţime deschisă. Spunem că funcţia complexă

f: D \longrightarrow \mathbb C \!

este \mathbb C \!-derivabilă (sau olomorfă) în punctul z_0 \in D \! dacă există şi este finită limita:

f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac {f(z) - f(z_0)}{z-z_0} \!

numită derivata funcţiei f în punctul z_0. \! În loc de f'(z_0) \! scriem uneori \frac {df}{dz} (z_0). \!


Exemplul 1.

a) Funcţia

f: \mathbb C \longrightarrow \mathbb C, \; f(z)=z^3 \!

este \mathbb C \!-derivabilă în orice punct z_0 \in \mathbb C \!

f'(z_0)= \lim_{z \to z_0} \frac {z^3-z^3_0}{z-z_0} = \lim_{z \to z_0} (z^2+z_0 z + z_0^2) = 3z_0^2 \!

şi f'(z)=3z^2, \! adică avem:

(z^3)'=3z^2. \!


3) Funcţia

f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z)=\overline z \!

nu este \mathbb C \!-derivabilă în z_0=1 \! deoarece limita

\lim_{z \to 1} \frac {\overline z -1}{z-1} \!

nu există. Alegând şirul z_n=\frac{n}{n+1} \! cu \lim_{n \to \infty} z_n=1, \! obţinem:

 \!
\lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n -1}{z_n-1}=1 \!

dar, alegând şirul z_n=1+ \frac{1}{n+1}i \! cu \lim_{n \to \infty} z_n = -1 \! obţinem

 \!
\lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n -1}{z_n-1}=-1 \!


Observaţia 2. Bazându-ne pe identificarea lui \mathbb C \! cu \mathbb R^2 \!

\mathbb C \rightarrow \mathbb R^2 \; : \; x+yi \mapsto (x, y) \!

putem descrie orice funcţie complexă de o variabilă complexă

f:D \rightarrow \mathbb C \!

cu ajutorul a două funcţii reale de câte două variabile reale

f(x+yi) = u(x, y) + v(x, y)i \!

unde

u = \mathfrak {Re} f : D \rightarrow \mathbb R \! este partea reală a lui f
u = \mathfrak {Im} f : D \rightarrow \mathbb R \! este partea imaginară a lui f.


Exemplul 2. a) În cazul funcţiei

f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z)=\overline z \!

avem

f(x+yi) = x-yi \!

adică

u(x, y)=x, \; v(x, y)=-y. \!


b) În cazul funcţiei

f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z)=z^2 \!

avem

f(x+yi) = (x+yi)^2 = (x^2-y^2)+2xyi \!

şi prin urmare

u(x, y) =x^2-y^2, \; \; v(x, y) = 2xy. \!


Observaţia 3. Conform definiţiei, funcţia

f: D \rightarrow \mathbb C, \; f(x+yi) = u(x, y) + v(x, y)i \!

este \mathbb C \!-derivabilă în z_0=x_0+y_0i \! dacă şi numai dacă există şi este finită limita:

\lim_{z \to z_0} \frac {f(z)- f(z_0)}{z-z_0}. \!

Pentru ca

\lim_{z \to z_0} \frac {f(z)- f(z_0)}{z-z_0} = \alpha + \beta i \!

este necesar ca

\lim_{t \to 0} \frac {f(z_0+t)- f(z_0)}{t} = \alpha + \beta i,  \; \; \; \lim_{t \to 0} \frac {f(z_0+ti)- f(z_0)}{ti} = \alpha + \beta i, \!

adică să aibă loc relaţiile

\lim_{t \to 0} \frac {u(x_0+t, y_0) - u(x_0, y_0)}{t} + \lim_{t \to 0} \frac {v(x_0+t, y_0) - v(x_0, y_0)}{t}i = \alpha + \beta i \!
\lim_{t \to 0} \frac {u(x_0, y_0+t) - u(x_0, y_0)}{ti} + \lim_{t \to 0} \frac {v(x_0, y_0+t) - v(x_0, y_0)}{ti}i = \alpha + \beta i \!

echivalente cu

\frac{\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) = \alpha =\frac{\partial v}{\partial x} (x_0, y_0), \; \; \frac{\partial v}{\partial x} (x_0, y_0) = \beta = - \frac{\partial u}{\partial y} (x_0, y_0) \!


În particular, dacă f este \mathbb C \!-derivabilă în z_0=x_0 +y_0 i \! atunci:


f'(x_0 + y_0i) = \frac {\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) + \frac {\partial v}{\partial x} (x_0, y_0)i. \!


Teorema 1 (Cauchy-Riemann) Funcţia

f: D \rightarrow \mathbb C, \; \; f(x+yi) = u(x, y) + v(x, y) i \!

definită pe mulţimea deschisă D \subseteq \mathbb C \! este \mathbb C \!-derivabilă în punctul z_0= x_0 +y_0i \in D \! dacă şi numai dacă funcţiile reale

u: D \rightarrow \mathbb R, \; \; \; v: D \rightarrow \mathbb R \!

sunt \mathbb R \!-diferenţiabile în (x_0, y_0) \! şi verifică relaţiile Cauchy-Riemann:

\frac{\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac {\partial v}{\partial y} (x_0, y_0), \; \; \; \frac {\partial u}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac {\partial v}{\partial x} (x_0, y_0). \!

În aceste condiţii

f'(x_0+y_0i) = \frac {\partial u}{\partial x} (x_0, y_0) + \frac {\partial v}{\partial x} (x_0, y_0)i. \!


Definiţia 3. Fie D \subseteq \mathbb C \! o mulţime deschisă. Spunem că funcţia

f: D \rightarrow \mathbb C \!

este \mathbb C \!-derivabilă (sau olomorfă) dacă este \mathbb C \!-derivabilă în orice punct din D.


Exerciţiul 1. Să se arate că funcţia

f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; \; \; f(z)=z^2 \!

este olomorfă şi să se determine f'(z). \!

Rezolvare. Utilizăm teorema Cauchy-Riemann. Avem

f(x+yi) = (x+yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi \!

şi prin urmare

u(x, y) = x^2-y^2, \; \; \; v(x, y) = 2 xy \!

Functie complexa 5.png

Functie complexa 6.png

Functie complexa 7.png

Functie complexa 8.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki