Fandom

Math Wiki

Funcție armonică

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Generalităţi Edit

Funcţiile armonice sunt definite pe mulțimi deschise‎, submulţimi ale spațiilor euclidiene‎. Fie \Omega \! o submulţime nevidă, deschisă a lui \mathbb R^n, \; n \in \mathbb N^*. \! O funcție u: \Omega \rightarrow \mathbb C, \! de două ori diferențiabilă cu diferenţialele continui, este armonică pe \Omega \! dacă:

\Delta u \equiv 0, \!

unde \Delta = D_1^2 + D_2^2 + \cdots + D_n^2 \! şi D_j^2 \! este derivata parţială de ordinul doi după variabila din poziţia j. Operatorul diferențial‎‎ \Delta \! este numit laplacian, iar ecuaţia \Delta u \equiv 0, \! este numită ecuația Laplace.

Spunem că o funcţie u, definită pe o mulţime E \subset \mathbb R^n \! (care nu este neapărat deschisă), este armonică dacă poate fi extinsă către o funcţie armonică definită pe o mulţime ce include pe E.


Exemple Edit

1) u(x) = x_1^2 + x_2 ^2 - 2 x_3^2 + i x_2. \!

2) u: \mathbb R^n \setminus \{ 0 \}, \;  u(x) = |x|^{2-n}, \!

unde n>2.  \!

Proprietăţi Edit

Dacă k este un număr natural, notăm cu \mathcal C^k (\Omega) \! mulţimea funcţiilor de k ori derivabile cu derivatele continui şi definite pe \Omega \subset \mathbb R^n. \! Remarcăm că, pentru orice E \subset \mathbb R^n, \! mulţimea \mathcal C^{\infty} (E) \! este inclusă în \mathcal C^k (E) \! pentru orice k \in \mathbb N^*. \!

Pentru orice E \subset \mathbb R^n, \! notăm cu \mathcal C(E) \! mulţimea funcţiilor continue definite pe E.


Deoarece laplacianul este liniar pe \mathcal C^2 (\Omega), \! suma şi produsul scalar al funcţiilor armonice sunt funcţii armonice.


Pentru y \in \mathbb R^n \! şi u o funcţie definită pe \Omega \subset \mathbb R^n, \! definim translatatul cu y al lui u ca fiind o funcţie care în x are valoarea u(x-y). \! Se poate demonstra că translaţiile funcţiilor armonice sunt funcţii armonice.


Pentru un număr pozitiv r definim r-dilataţia lui u ca fiind o funcţie u_r \! cu:

u_r (x) = u(rx) \!

şi care este definită pe \frac 1 r \Omega = \{ \frac 1 r w \ : w \in \Omega \}. \! Dacă u \in \mathcal C^2(\Omega), \! atunci un calcul simplu arată că:

\Delta (u_r) = r^2 (\Delta u)_r \! pe mulţimea \frac  1 r \Omega. \!

Deci dilatarea unei funcţii armonice este de asemenea armonică.


Să remarcă similaritatea dintre formulele laplacianului

\Delta=D_1^2 + D_2^2 + \cdots + D_n^2 \!

şi a funcţiei

|x|^2 = x_1^2 + x_2 ^2 + \cdots + x_n^2, \!

ale cărei mulțimi-nivel sunt sfere centrate în origine.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki