FANDOM


Generalităţi Edit

Funcţiile armonice sunt definite pe mulțimi deschise‎, submulţimi ale spațiilor euclidiene‎. Fie $ \Omega \! $ o submulţime nevidă, deschisă a lui $ \mathbb R^n, \; n \in \mathbb N^*. \! $ O funcție $ u: \Omega \rightarrow \mathbb C, \! $ de două ori diferențiabilă cu diferenţialele continui, este armonică pe $ \Omega \! $ dacă:

$ \Delta u \equiv 0, \! $

unde $ \Delta = D_1^2 + D_2^2 + \cdots + D_n^2 \! $ şi $ D_j^2 \! $ este derivata parţială de ordinul doi după variabila din poziţia j. Operatorul diferențial‎‎ $ \Delta \! $ este numit laplacian, iar ecuaţia $ \Delta u \equiv 0, \! $ este numită ecuația Laplace.

Spunem că o funcţie u, definită pe o mulţime $ E \subset \mathbb R^n \! $ (care nu este neapărat deschisă), este armonică dacă poate fi extinsă către o funcţie armonică definită pe o mulţime ce include pe E.


Exemple Edit

1) $ u(x) = x_1^2 + x_2 ^2 - 2 x_3^2 + i x_2. \! $

2) $ u: \mathbb R^n \setminus \{ 0 \}, \; u(x) = |x|^{2-n}, \! $

unde $ n>2. \! $

Proprietăţi Edit

Dacă k este un număr natural, notăm cu $ \mathcal C^k (\Omega) \! $ mulţimea funcţiilor de k ori derivabile cu derivatele continui şi definite pe $ \Omega \subset \mathbb R^n. \! $ Remarcăm că, pentru orice $ E \subset \mathbb R^n, \! $ mulţimea $ \mathcal C^{\infty} (E) \! $ este inclusă în $ \mathcal C^k (E) \! $ pentru orice $ k \in \mathbb N^*. \! $

Pentru orice $ E \subset \mathbb R^n, \! $ notăm cu $ \mathcal C(E) \! $ mulţimea funcţiilor continue definite pe E.


Deoarece laplacianul este liniar pe $ \mathcal C^2 (\Omega), \! $ suma şi produsul scalar al funcţiilor armonice sunt funcţii armonice.


Pentru $ y \in \mathbb R^n \! $ şi u o funcţie definită pe $ \Omega \subset \mathbb R^n, \! $ definim translatatul cu y al lui u ca fiind o funcţie care în x are valoarea $ u(x-y). \! $ Se poate demonstra că translaţiile funcţiilor armonice sunt funcţii armonice.


Pentru un număr pozitiv r definim r-dilataţia lui u ca fiind o funcţie $ u_r \! $ cu:

$ u_r (x) = u(rx) \! $

şi care este definită pe $ \frac 1 r \Omega = \{ \frac 1 r w \ : w \in \Omega \}. \! $ Dacă $ u \in \mathcal C^2(\Omega), \! $ atunci un calcul simplu arată că:

$ \Delta (u_r) = r^2 (\Delta u)_r \! $ pe mulţimea $ \frac 1 r \Omega. \! $

Deci dilatarea unei funcţii armonice este de asemenea armonică.


Să remarcă similaritatea dintre formulele laplacianului

$ \Delta=D_1^2 + D_2^2 + \cdots + D_n^2 \! $

şi a funcţiei

$ |x|^2 = x_1^2 + x_2 ^2 + \cdots + x_n^2, \! $

ale cărei mulțimi-nivel sunt sfere centrate în origine.

Vezi şi Edit

Resurse Edit