Fandom

Math Wiki

Fracție continuă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O fracţie continuă este de forma:

x= a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac {b_2}{a_2 + \frac {b_3}{a_3 + \ldots}}}, \!

unde a_0, a_1, \ldots \! şi b_1, b_2, \ldots \! sunt numere întregi.

Acest tip de fracţii au fost considerate pentru prima dată de către Wallis în lucrarea sa, Arithmetica infinitorum, 1653.


Orice x \in \mathbb R \! se poate reprezenta ca o fracţie continuă:

x=a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \ldots}} = [a_0; a_1, a_2, \ldots], \!

unde a_0 \in \mathbb Z \! şi a_i \in \mathbb N \! pentru orice i \ge 1. \!

Numerele raționale se reprezintă ca fracţii continue finite, folosind algoritmul lui Euclid. O fracţie continuă infinită se numeşte periodică dacă există numerele naturale nenule k, m \! astfel ca a_{k+i+j}= a_{k+j}, \; \forall i \in \mathbb N, \; \forall j \in \{ 1, 2, \ldots , m \}. \! În acest caz, fracţia continuă se reprezintă sub forma

\bigg [ a_0; a_1, a_2, \ldots , a_k, \overline {a_{k+1}}, a_{k+2}, \ldots , a_{k+m} \bigg ]. \!

O rădăcină reală irațională a unui polinom de gradul doi din \mathbb Z[X] \! se numeşte irațională pătratică. Un număr real se reprezintă printr-o fracţie continuă dacă şi numai dacă este o iraţională pătratică (Euler, Lagrange). Dacă r \in \mathbb Q, \; r>1, \! nu este un pătrat perfect, atunci:

\sqrt r = \bigg [ a_0; \overline {a_1, a_2, \ldots a_2, a_1, 2a_0}  \bigg ], \!

(Lagrange, Galois). În particular, dacă D \in \mathbb N^* \! este liber de pătrate, atunci \sqrt D \! se reprezintă printr-o fracţie continuă, având perioada de lungime m, astfel încât primele m-1 \! câturi parţiale formează un şir palindromic.

Lungimea l(\sqrt D) \! a perioadei fracţiei continue care reprezintă pe \sqrt D \! este mai mică decât 2D, \! iar câturile parţiale sunt mai mici decât 2 \sqrt D \! (Lagrange). Mai recent[1][2] s-a arătat că l(\sqrt D) =\mathcal O(\sqrt D \ln D), \! unde simbolul \mathcal O \! înseamnă asimptotic proporţional cu.

Note Edit

  1. Hickerson, Dean R. (1973), Length of Period of Simple Continued Fraction Expansion of \sqrt d, Pacific J. Math. 46: 429-432
  2. Podsypanin, E. V. (1982), Length of Period of a Quadratic Irrational, Journal of Soviet Mathematics 18: 919-923.

Fractii continue 1.png Fractii continue 2.png Fractii continue 3.png Fractii continue 4.png


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki