FANDOM


O fracţie continuă este de forma:

x= a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac {b_2}{a_2 + \frac {b_3}{a_3 + \ldots}}}, \!

unde a_0, a_1, \ldots \! şi b_1, b_2, \ldots \! sunt numere întregi.

Acest tip de fracţii au fost considerate pentru prima dată de către Wallis în lucrarea sa, Arithmetica infinitorum, 1653.


Orice x \in \mathbb R \! se poate reprezenta ca o fracţie continuă:

x=a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \ldots}} = [a_0; a_1, a_2, \ldots], \!

unde a_0 \in \mathbb Z \! şi a_i \in \mathbb N \! pentru orice i \ge 1. \!

Numerele raționale se reprezintă ca fracţii continue finite, folosind algoritmul lui Euclid. O fracţie continuă infinită se numeşte periodică dacă există numerele naturale nenule k, m \! astfel ca a_{k+i+j}= a_{k+j}, \; \forall i \in \mathbb N, \; \forall j \in \{ 1, 2, \ldots , m \}. \! În acest caz, fracţia continuă se reprezintă sub forma

\bigg [ a_0; a_1, a_2, \ldots , a_k, \overline {a_{k+1}}, a_{k+2}, \ldots , a_{k+m} \bigg ]. \!

O rădăcină reală irațională a unui polinom de gradul doi din \mathbb Z[X] \! se numeşte irațională pătratică. Un număr real se reprezintă printr-o fracţie continuă dacă şi numai dacă este o iraţională pătratică (Euler, Lagrange). Dacă r \in \mathbb Q, \; r>1, \! nu este un pătrat perfect, atunci:

\sqrt r = \bigg [ a_0; \overline {a_1, a_2, \ldots a_2, a_1, 2a_0}  \bigg ], \!

(Lagrange, Galois). În particular, dacă D \in \mathbb N^* \! este liber de pătrate, atunci \sqrt D \! se reprezintă printr-o fracţie continuă, având perioada de lungime m, astfel încât primele m-1 \! câturi parţiale formează un şir palindromic.

Lungimea l(\sqrt D) \! a perioadei fracţiei continue care reprezintă pe \sqrt D \! este mai mică decât 2D, \! iar câturile parţiale sunt mai mici decât 2 \sqrt D \! (Lagrange). Mai recent[1][2] s-a arătat că l(\sqrt D) =\mathcal O(\sqrt D \ln D), \! unde simbolul \mathcal O \! înseamnă asimptotic proporţional cu.

Note Edit

  1. Hickerson, Dean R. (1973), Length of Period of Simple Continued Fraction Expansion of \sqrt d, Pacific J. Math. 46: 429-432
  2. Podsypanin, E. V. (1982), Length of Period of a Quadratic Irrational, Journal of Soviet Mathematics 18: 919-923.

Fractii continue 1.png Fractii continue 2.png Fractii continue 3.png Fractii continue 4.png


Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki